matura.mk› За наставници
Геометрија во простор

Стереометрија чекор по чекор

Геометрија во простор на едно место: 11 модули со видео-лекции и 3D приказ, решени задачи, генератор на задачи со нови бројки, квиз и шпаргала. За час, за домашна работа и за повторување пред тест.

11модули · ~7 ч вкупно
110решени задачи
0/11готови модули
Повлечи за да ја вртиш · најкраток пат A → C₁
00

Преглед

11 модули · ~7 чпрогресот се памти во прелистувачот
Типови задачи и како се решаваат
Тип задачаКако се решаваМодул
„Дали е точно…“, „Може ли…“аксиоми + замисли коцка; „Не“ = најди контрапример01
Докажи тврдење (С1, С2, паралелност, разминувачки)готови шаблони од 2–4 реда01, 04, 05
Темиња, рабови, ѕидови; мрежи на коцка и тетраедар2n · 3n · n+2 и n+1 · 2n · n+1; коцката има 11 мрежи02
Најкраток пат по површинаодвиткај → права линија → Питагора или косинусна → земи најмал03
Изброј паралелни / разминувачки паровирабови × колку пара има секој ÷ 204, 05
Растојание во коцка (точка–права, права–права, точка–рамнина)три нормали или координати05
Паралелна проекција на отсечкаc = (na + mb)/(m + n)06
Вектори: упрости, должинанадоврзување и замена со еднаков вектор07
Агол права–рамнина, три нормали, диедарпроекција на правата; правоаголен триаголник08
Волумен на паралелопипед, топење коцки, ротирана коцкаV = abc·sinφ·sinψ; волуменот се собира09, 10
P и V на призма и пирамидаправоаголни триаголници: (H, d, D), (H, r, h), (H, R, s)10, 11
Ознаки. Задачите се нумерирани по модул (пр. 3.2 е втората задача во модулот 3). Кај броење: В = врвови, Р = рабови, С = ѕидови. Кај формули: B = основа, M = обвивка, P = плоштина, V = волумен.

Совет: прво нацртај, па пиши. Задача за P и V = најди правоаголен триаголник!

▶

Видеа: основите

6 видеа · ~13 минмакедонски глас + титлови

Гледај ги пред модулите. Тоа е алатот што ти треба за речиси сите задачи: правоаголен триаголник, плоштини, призма, пирамида, најкраток пат и прави во простор. Гласот е компјутерски, па титловите се тука ако нешто не се разбира.

Видео 1 · Правоаголен триаголникПитагора, sin/cos/tg, вредности за 30°, 45°, 60°, дијагонала на квадрат, висина на рамностран △.2:45 мин
Видео 2 · Плоштини на основиПравоаголник, триаголник, рамностран △, шестаголник, паралелограм, ромб, трапез, Херон.2:04 мин
Видео 3 · Призма: P, V и дијагоналиP = 2B + M, V = B·H, дијагоналите d и D, аголот φ, решен пример, коса призма.2:08 мин
Видео 4 · Пирамида: трите триаголнициV = ⅓BH, апотема, (H, r, h), (H, R, s), r и R за основите, решен пример.2:18 мин
Видео 5 · Најкраток пат и косинусна теоремаОдвиткување, √5 кај коцка, косинусна со 135°, квадар 5×4×3 → √74.2:03 мин
Видео 6 · Прави и рамнини во просторПаралелни, разминувачки, права ∥ рамнина, агол права–рамнина, три нормали, диедар.2:02 мин
01

Основи: точка, права, рамнина

20 мин„Дали е точно…“ и докази

Замисли ја училницата. Точка е дамка без големина, права е бескрајно затегнат конец, рамнина е бескрајно тенок лист (подот, ѕидот, таблата). Стереометрија = геометрија во цела соба, не на лист.

Видео-лекција
Точка, права, рамнина

Аксиоми (не се докажуваат)

  1. А1
    Низ 2 точки минува точно 1 права.
  2. А2
    Низ 3 неколинеарни точки минува точно 1 рамнина.Маса на 3 ногарки никогаш не се клати.
  3. А3
    Ако 2 рамнини имаат 1 заедничка точка, се сечат по цела права.
  4. А4
    Постојат 4 точки што не лежат во една рамнина.
  5. А5
    Во секоја рамнина важи сè од планиметрија.

Две рамнини

  • 1
    се сечат по една права
  • 2
    се поклопуваат (α ≡ β)
  • 3
    немаат заеднички точки → паралелни

Често и α ≡ β ги сметаме за паралелни. Тогаш важи теоремата: релацијата „е паралелна на“ во множеството рамнини е еквиваленција, бидејќи е:

  • рефлексивна
    α ∥ α (секоја рамнина е паралелна сама со себе)
  • симетрична
    α ∥ β ⇒ β ∥ α
  • транзитивна
    α ∥ β и β ∥ γ ⇒ α ∥ γ
Прикажи:

Тврдења со доказ

  1. С1
    Ако правата c има 2 заеднички точки A и B со α, тогаш цела c лежи во α.Доказ: низ A и B минува единствена права (А1). Во α исто така има права низ A и B (А5). Двете прави мора да се совпаѓаат, значи c ⊂ α. ∎
  2. С2
    Низ права и точка надвор од неа минува единствена рамнина.Доказ: земи 2 точки од правата и дадената точка. Тоа се 3 неколинеарни точки → А2 дава единствена рамнина. ∎
  3. С3
    Низ 2 прави што се сечат минува единствена рамнина.Доказ: A = a ∩ b, земи B ∈ b, B ≠ A. Сега имаме права a и точка B надвор од неа → С2. ∎
Задачи
1.14 точки не припаѓаат на една рамнина. Може ли 3 од нив да припаѓаат на една права?Не

Доказ со противречност.

  1. Да претпоставиме дека 3 точки лежат на една права a.
  2. Тогаш низ правата a и 4-тата точка минува рамнина (С2).
  3. Значи сите 4 точки се во таа рамнина, што е спротивно на претпоставката. ∎
1.2Може ли 2 различни рамнини да имаат 2 заеднички прави?Не може

Ако имаат 2 заеднички прави, имаат и 3 неколинеарни заеднички точки. По А2 низ нив минува само една рамнина, па рамнините се совпаѓаат. Две различни рамнини се сечат по само една права (А3).

1.3Дали е точно: секоја права што ја сече секоја од две дадени прави што се сечат, лежи во рамнината на тие прави?Не

Контрапример: правата може да минува низ пресечната точка на двете прави и да излегува од рамнината (пр. во коцка AA₁ ги сече и AB и AD, а не лежи во ABCD). Ако ги сече во 2 различни точки, тогаш лежи (С1).

1.4Дадени се права и точка надвор од неа. Докажи дека сите прави што ја сечат дадената права и минуваат низ точката лежат во една рамнина.од С2 и С1
  1. Нека правата е a, точката B ∉ a. По С2 низ a и B минува единствена рамнина α.
  2. Права b низ B ја сече a во точка A. Тогаш A ∈ α и B ∈ α.
  3. b има 2 заеднички точки со α → по С1 цела b ⊂ α. Тоа важи за секоја таква права. ∎
1.5Конечен број прави, секои 2 се сечат. Докажи: или сите лежат во една рамнина, или сите минуваат низ 1 точка.С3 + С1
  1. Земи 2 од правите, a и b, што се сечат во O. Низ нив минува рамнина α (С3).
  2. Секоја друга права c ги сече и a и b. Ако ги сече во 2 различни точки, тие се во α, па c ⊂ α (С1).
  3. Ако c минува низ O и не е во α, тогаш секоја следна права мора да ги сече и c, a и b. Тоа е можно само ако и таа минува низ O. Значи или сите се во α, или сите минуваат низ O. ∎
Броење

n точки, никои 3 на права → прави

n(n−1)/2. Пример: 5 точки → 10 прави.

n точки, никои 4 во рамнина → рамнини

n(n−1)(n−2)/6. Пример: 5 точки → 10, 6 точки → 20.

На колку најмногу делови рамнини го делат просторот?

1 рамнина → 2 · 2 → 4 · 3 → 8 · 4 → 15.

Уште задачи
1.6Дали секои а) 3 точки б) 4 точки лежат во една рамнина?а) Да б) Не

3 точки секогаш (ако се на права — бесконечно многу рамнини, ако не — точно една). 4 точки не мора: А4 вели дека постојат 4 некомпланарни (темињата на тетраедар).

1.7Кружница има 2 заеднички точки со рамнина. Лежи ли во неа?Не

Замисли обрач што стои исправен на подот и го пробива: 2 точки на подот, а остатокот е надвор. (Ако има 3 заеднички точки — тогаш лежи.)

1.83 темиња на паралелограм се во α. Четвртото? / 2 темиња + пресекот на дијагоналите во α?Да / Не

3 темиња одредуваат рамнина → цел паралелограм е во неа. Но ако 2-те темиња се спротивни (A и C), пресекот на дијагоналите е на истата права AC → 3 колинеарни точки не одредуваат рамнина → B и D не мора да се во α.

1.9Правите a, b, c попарно се сечат. Мора ли да лежат во една рамнина?Не мора

Трите рабови на коцка од едно теме (AB, AD, AA₁) попарно се сечат во A, а не се во една рамнина. Ако се сечат во 3 различни точки — тогаш се во една рамнина.

1.10Најди ја грешката на цртежот: α и β се сечат, A, B, C припаѓаат на дветеA, B, C мора да се колинеарни

Две рамнини се сечат само по една права (А3). Секоја заедничка точка мора да е на таа права → A, B, C се на една права. Исто: ако a, b, c попарно се сечат и ја сечат α во A, B, C, тогаш A, B, C мора да се колинеарни.

1.114 точки не во рамнина: можат ли 3 да се на права? Затворена искршена од 3 / 4 отсечки надвор од рамнина?Не · Не · Да

Ако 3 се на права, тие со 4-тата точка одредуваат рамнина (С2) → сите 4 би биле во неа. Искршена од 3 дела е триаголник → секогаш во рамнина. Од 4 дела: A→B→C→D→A каде D е над рамнината ABC → може.

1.12a ∩ b = C, a ⊂ α, b ⊂ β (α ≠ β). Каде минува пресечната права на α и β?низ C

C е на a (значи во α) и на b (значи во β) → C е заедничка точка → лежи на пресечната права.

1.13Докази: точки надвор од рамнина; прави низ точка што сечат права; конечно многу прави што се сечатА4, С1, С2, С3
  1. Секоја рамнина има точки надвор од неа: по А4 постојат 4 некомпланарни точки → барем една не е во α.
  2. Права a, точка B ∉ a. Сите прави низ B што ја сечат a лежат во една рамнина: по С2 низ a и B има рамнина α. Права b низ B што ја сече a во A има 2 точки (A и B) во α → по С1 b ⊂ α.
  3. Конечно многу прави, секои две се сечат → или сите во една рамнина, или сите низ една точка: земи a и b (рамнина α). Секоја друга c или минува низ пресекот на a и b, или ги сече во 2 различни точки → лежи во α.
02

Полиедри и мрежи

25 минлесни поени

Полиедар е тело составено од многуаголници (ѕидови). Нивните страни се рабови, а аглите се темиња (врвови). Ако површината се расече по некои рабови и се распостели на рамнина така што секој ѕид има заеднички раб со некој друг, таа слика е мрежа (скелет) на полиедарот.

Видео-лекција
Броење темиња, рабови, ѕидови

Формули

ТелоВрвовиРабовиЅидови
Коцка, квадар, паралелопипед8126
n-аголна призма2n3nn + 2
n-аголна пирамидаn + 12nn + 1

Проверка: врвови − рабови + ѕидови = 2

Поими

  • призма
    2 еднакви паралелни основи + бочни ѕидови паралелограми. Сите бочни рабови се паралелни. Права: бочните рабови се нормални на основата. Правилна: права + основата е правилен многуаголник.
  • пирамида
    основа n-аголник + бочни ѕидови триаголници со заеднички врв S. Правилна: основата е правилен многуаголник и бочните рабови се еднакви.
Мрежи

Сите 11 мрежи на коцка

Правило: никогаш 4 квадрати во форма 2×2, никогаш повеќе од 4 во ред, и секој квадрат мора да има свое место кога ќе свиткаш. Ако не си сигурен, означи една страна како „дно“ и замисли како се свиткуваат другите.

Мрежи на правилен тетраедар

Третата слика не е мрежа, бидејќи 4 триаголници имаат исто теме. Кај тетраедарот во секое теме се среќаваат точно 3.

Задачи
2.1Полиедар со 12 ѕида, сите петаголници. Колку рабови има?30

Секој раб е страна на точно 2 ѕида, па секој раб се брои двапати.

  1. 12 ѕида · 5 страни = 60.
  2. 60 / 2 = 30 рабови.
2.2Дали постои полиедар чии ѕидови се сите квадрати, а не е коцка?Да, просторен крст

Залепи по една коцка на секој ѕид од централна коцка (просторен крст). Сите ѕидови се квадрати, а телото не е коцка.

2.3Дали постои полиедар со 11 рабови?Да
  1. Земи четириаголна пирамида: 5 темиња, 8 рабови, 5 ѕида.
  2. Отсечи мало ќоше кај едно теме од основата (таму влегуваат 3 раба). Се добиваат 3 нови рабови и 1 нов ѕид (триаголник).
  3. 8 + 3 = 11 рабови. Проверка: 7 − 11 + 6 = 2 ✓. (Единствениот број над 6 за кој нема полиедар е 7.)
2.4Докажи: бројот на ѕидови со непарен број страни е парен.противречност
  1. Секој раб е страна на точно 2 ѕида → збирот на страните на сите ѕидови е парен.
  2. Нека N = број ѕидови со непарен број страни, SN = збирот на нивните страни, SP = збирот кај ѕидовите со парен број страни. SN + SP е парен.
  3. SP е секогаш парен. Ако N е непарен, SN е збир од непарен број непарни броеви → непарен.
  4. Тогаш SN + SP е непарен — противречност. Значи N е парен. ∎
Уште задачи
2.5Постои ли призма со а) 4 б) 6 в) 12 г) 21 раб?Не · Не · Да · Да

Призма има 3n рабови, n ≥ 3.

  1. 4 и 6: 3n = 4 нема цел n; 3n = 6 → n = 2 (нема 2-аголник) → не.
  2. 12 → n = 4 (четириаголна) → да. 21 → n = 7 (седумаголна) → да.
2.6Каква е основата на призма што има а) 18 рабови б) 24 врва в) 36 ѕида?6-аг · 12-аг · 34-аг
  1. 3n = 18 → n = 6 → шестаголник.
  2. 2n = 24 → n = 12 → дванаесетаголник.
  3. n + 2 = 36 → n = 34 → триесетичетириаголник.
2.7Пирамида со 10 / 6 / 24 / 33 рабови? Основа ако има 8 ребра / 22 врва / 60 ѕида?Да Да Да Не · 4 · 21 · 59
  1. Пирамида има 2n рабови → мора да е парен број: 10 (n=5), 6 (n=3), 24 (n=12) → да; 33 е непарен → не.
  2. 2n = 8 → четириаголник; n + 1 = 22 → 21-аголник; n + 1 = 60 → 59-аголник.
2.8Полиедар: 6 врва, во секој влегуваат 4 ребра. / 12 ѕида, сите петаголници. Колку рабови?12 · 30

Трик: секој раб има 2 краја и лежи на 2 ѕида → сè се брои двапати → дели со 2.

  1. 6·4/2 = 12.
  2. 12·5/2 = 30.
2.9Постои ли полиедар со 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 рабови?Не, тетраедар, Не, ...
  1. 5 → не; 6 → тетраедар; 7 → не; 8 → четириаголна пирамида; 9 → триаголна призма; 10 → петаголна пирамида; 11 → да (задача 2.3).
  2. Најмалку рабови има тетраедарот (6). 7 е единствениот број над 6 што не може.
2.10Мрежи: кои се мрежи на правилен тетраедар / призма / пирамида?види правило
  1. Правилен тетраедар: во секое теме се среќаваат 3 триаголници. Фигура каде 4 триаголници имаат заедничка точка не е мрежа (фигура 3).
  2. Мрежа на призма: 2 еднакви основи + n правоаголници во ред. Мрежа на пирамида: основа + n триаголници околу неа.
  3. Правилна петокрака ѕвезда → правилна петаголна пирамида. 6 правоаголници + 2 шестаголници → правилна шестаголна призма.
03

Најкраток пат по површина

30 минчест тип задача

Цртаме мрежа на полиедарот на чија површина треба да се најде најкраткиот пат меѓу 2 точки. На мрежата најкраткиот пат е права линија. Потоа Питагора, или косинусна теорема ако аголот не е прав.

Видео-лекција
Одвиткај и пресметај

Рецепт

  1. 1
    Нацртај ги ѕидовите преку кои може да оди патот, раширени во рамнина.
  2. 2
    Спои ги почетокот и крајот со права линија.
  3. 3
    Прав агол → Питагора. Друг агол (105°, 120°, 135°) → косинусна: c² = a² + b² − 2ab·cos γ.
  4. 4
    Пробај ги сите можни мрежи и земи го најмалиот резултат.

Косинуси што ти требаат

cos 120° = −½ · cos 135° = −√2/2 · cos 105° = √2(1 − √3)/4

Задачи
3.1Правилен единичен тетраедар ABCD: најкраток пат меѓу средините на AB и CD.1

Мрежа од 2 соседни ѕида = ромб. Средините E и F се на спротивни страни, EF е паралелна со страната → EF = 1.

3.2Правилен тетраедар со раб 20 cm, точки E и F на 7 cm од темињата D и C (на висините на два ѕида).20 cm
  1. Висина на ѕидот: h = √(20² − 10²) = √300 = 10√3.
  2. Пат преку работ AB: EF = 2(√300 − 7) = 20√3 − 14 ≈ 20,64.
  3. Пат преку 3 ѕида (мрежа DBC + соседните): E и F се на иста височина → EF е паралелна на DC → EF = 20.
  4. 20 < 20√3 − 14 → најкраткиот пат е 20.
3.3Правилна четириаголна пирамида SABCD, сите рабови 1. Најкраток пат од A до средината E на SC.√7/2
  1. Мрежа: ѕидовите SAB и SBC (два рамнострани триаголника).
  2. BE е висина во △SBC → EB² + (½)² = 1² → EB = √3/2, и ∠ABE = 60° + 30° = 90°.
  3. AE² = EB² + AB² = ¾ + 1 = 7/4 → AE = √7/2 ≈ 1,32.
3.4Правилна тристрана призма ABCA₁B₁C₁, сите рабови 1. Најкраток пат од A до средината D на B₁C₁.√(7+2√3)/2
  1. Мрежа: ѕидот ABB₁A₁ + горната основа A₁B₁C₁ одвиткана до него.
  2. △ABB₁: AB₁ = √(1² + 1²) = √2, и ABB₁A₁ е квадрат → ∠A₁B₁A = 45°. Основата е рамностран △ → ∠A₁B₁C₁ = 60°. B₁D = ½.
  3. ∠DB₁A = 45° + 60° = 105°, cos105° = √2/2·½ − √2/2·√3/2 = √2(1 − √3)/4.
  4. Косинусна: AD² = 2 + ¼ − 2·½·√2·cos105° = 9/4 − (1 − √3)/2 = (7 + 2√3)/4.
  5. AD = √(7 + 2√3)/2 ≈ 1,62. (Само преку 2 бочни ѕида би било √13/2 ≈ 1,80, подолго.)
3.5Единична коцка ABCDA₁B₁C₁D₁: најкраток пат по површината од A до C₁.√5

Прв начин: мрежа каде горниот ѕид е одвиткан.

  1. A₁C₁ е дијагонала на квадрат → A₁C₁ = √2 и ∠C₁A₁B₁ = 45°.
  2. Во мрежата ∠AA₁C₁ = 90° + 45° = 135°.
  3. Косинусна во △AA₁C₁: AC₁² = 1² + (√2)² − 2·1·√2·cos135° = 1 + 2 + 2 = 5.
  4. AC₁ = √5. (Побрзо: мрежа од 2 соседни ѕида = правоаголник 2 × 1 → √(4 + 1).)
3.6Три раба на паралелопипед (квадар) се 5, 4, 3. Најкраток пат по површината од A до C₁.√74

Има 3 случаи (која страна е основа).

  1. Основа 5 × 3 и 5 × 4: катети 5 и 4 + 3 = 7 → √(25 + 49) = √74.
  2. Основа 4 × 3: катети 4 и 5 + 3 = 8 → √(64 + 16) = √80.
  3. Третата можност: √(9² + 3²) = √90.
  4. √74 < √80 < √90 → најкраток е √74 ≈ 8,60. Правило: собери ги двата најмали раба (4 + 3).
3.7Полиедар со сите двострани агли прави („Г-форма“, рабови 2 и 1). Најкраток пат од B до C₂.√13
  1. Мрежа I: △BCC₂ со катети 2 и 1 + 2 = 3 → BC₂ = √(9 + 4) = √13 ≈ 3,61.
  2. Мрежа II: BD₁ + D₁C₂ = √((2+1)² + 1) + 1 = √10 + 1 ≈ 4,16.
  3. Мрежа III: √((2 + 2 + 1)² + 2²) = √29 ≈ 5,39.
  4. Најкраток: √13.
3.8Правилна шестаголна призма, основен раб 1, бочен раб 2. Најкраток пат од A до D₁.√13
  1. Мрежа I (бочен ѕид + горна основа): B₁D₁ = √3 (мала дијагонала на шестаголникот). AD₁² = AB² + (BB₁ + B₁D₁)² = 1 + (2 + √3)² = 8 + 4√3 → AD₁ = 2√(2 + √3) ≈ 3,86.
  2. Мрежа II (3 бочни ѕида): правоаголник 3 × 2 → AD₁ = √(3² + 2²) = √13 ≈ 3,61.
  3. Најкраток е √13. (Ако бочниот раб е 1, тогаш победува мрежата со основата: √(5 + 2√3) ≈ 2,91 < √10.)
Уште задачи
3.9Најмала должина на јамка низ која може да се провлече единичен тетраедар2

Пресекот паралелен на 2 спротивни рабови е правоаголник EFGH со периметар 2 (страните се паралелни на рабовите). Тетраедарот се провлекува почнувајќи со работ AD, движејќи се кон BC. Одговор: 2.

3.10Пресек на единичен тетраедар што ги сече сите 4 ѕида, со најмал периметар2

Одвиткај ги 4-те ѕида во лента; затворениот пат станува права отсечка со должина 2. Секој пресек паралелен на 2 спротивни рабови има периметар точно 2.

3.11Пресек на единична коцка што ги сече сите 6 ѕида, со најмал периметар3√2

Правилниот шестаголник низ средините на 6 рабови. Секоја страна = √2/2, периметар 6·√2/2 = 3√2 ≈ 4,24. Во мрежата (6 ѕида „по скали“) ова е права отсечка.

04

Паралелни прави и рамнини

25 минтеореми + докази

Сè се учи на коцка. Две прави се паралелни ако лежат во една рамнина и не се сечат. Права е паралелна на рамнина ако немаат ниту една заедничка точка.

Видео-лекција
Паралелни, се сечат, разминувачки
Раб: или кликни на раб
избранпаралелнисе сечатразминувачки

Теореми

  1. Т1
    Низ точка надвор од права минува единствена права паралелна на дадената.Доказ: низ точката A и правата b има единствена рамнина α (С2). Секоја права низ A паралелна на b мора да лежи во α, а во рамнина паралелата е единствена. ∎
  2. Т2
    Две прави паралелни на трета се паралелни меѓу себе.
  3. Т3
    Ако рамнината α минува низ права a ∥ β и ја сече β по права b, тогаш b ∥ a.
  4. Т4
    Ако a не лежи во β и a е паралелна на права b што лежи во β, тогаш a ∥ β.Најчест признак за докази.
  5. Т5
    2 прави што се сечат во α се паралелни на 2 прави во β ⇒ α ∥ β.
Задачи
4.1Отсечките AA₁ и CC₁ се еднакви по должина и паралелни. Докажи AC ∥ A₁C₁.паралелограм
  1. AA₁ ∥ CC₁ → лежат во една рамнина, па ACC₁A₁ е четириаголник во рамнина.
  2. Пар спротивни страни (AA₁ и CC₁) се еднакви и паралелни → ACC₁A₁ е паралелограм.
  3. Спротивните страни на паралелограм се паралелни → AC ∥ A₁C₁. ∎
4.2Во паралелопипед ABCDA₁B₁C₁D₁ докажи дека AD₁ и BC₁ се паралелни.ABC₁D₁ паралелограм
  1. AB ∥ DC и DC ∥ D₁C₁ (ѕидови паралелограми) → AB ∥ D₁C₁ (Т2). Исто AB = DC = D₁C₁.
  2. Значи ABC₁D₁ има пар спротивни страни еднакви и паралелни → паралелограм.
  3. Тогаш другиот пар страни AD₁ и BC₁ се паралелни. ∎
4.3Колку пара паралелни прави има кај правилна шестаголна призма (прави од рабовите)?33
  1. Бочни рабови (6): сите се паралелни меѓу себе → секој е во 5 пара → 6·5/2 = 15.
  2. Основни рабови (12): секој е паралелен на 3 други (спротивниот во истата основа + 2 во другата основа) → 12·3/2 = 18.
  3. Вкупно 15 + 18 = 33 пара.
Шаблони за докази (само смени букви)

Права ∥ рамнина

AA₁ е паралелна на BB₁, која лежи во рамнината BCC₁. Следователно (Т4) AA₁ ∥ (BCC₁). ∎

Рамнина ∥ рамнина

AB и BC се сечат и лежат во ABC. Тие се паралелни на A₁B₁ и B₁C₁ во A₁B₁C₁. Следователно (Т5) рамнините се паралелни. ∎

Уште задачи
4.4Дали 2 прави што не се сечат мора да се паралелни? Разминувачки?Не · Не

Може да се паралелни или разминувачки. Затоа „не се сечат“ не е доволно — треба и „во иста рамнина“.

4.5a се разминува со b, b со c. Дали a и c се разминуваат?Не мора

Во коцка: AB и CC₁ се разминуваат, CC₁ и DA се разминуваат, а AB и DA се сечат.

4.6Две прави паралелни на иста рамнина — паралелни ли се? Права ∥ α — паралелна ли е со секоја права во α?Не · Не

AB и BC се двете паралелни на горниот ѕид, а се сечат. A₁B₁ ∥ (ABC), но A₁B₁ и BC се разминуваат.

4.7Една од 2 паралелни прави е ∥ на рамнина. И другата?Не (може да лежи во неа)

A₁B₁ ∥ (ABC), AB ∥ A₁B₁, но AB лежи во (ABC).

4.8Низ B ∉ α: колку прави ∥ α? Колку рамнини ∥ α?бесконечно · 1

Сите прави низ B во рамнината низ B паралелна со α. А таа рамнина е единствена.

4.9Признак за ∥ рамнини: а) 1 права од α ∥ права од β б) 2 прави од α ∥ 2 прави од β в) 2 прави што се сечатНе · Не · Да

Мора правите во α да се сечат. Ако се паралелни меѓу себе, рамнините може да се сечат (пр. ѕидовите ABB₁ и BCC₁ ги содржат AA₁ и CC₁, паралелни, но се сечат по BB₁).

4.10Коцка: прави низ темиња паралелни на AB. Шестаголна призма: паралелни на AB.A₁B₁, CD, C₁D₁

Коцка: A₁B₁; CD; C₁D₁. Правилна шестаголна призма: A₁B₁; DE; D₁E₁; CF; C₁F₁ (CF е голема дијагонала, паралелна на AB).

4.11Коцка: рамнини низ темиња паралелни на а) AA₁ б) AB₁ в) AC₁BCC₁, CDD₁, BDD₁ ...
  1. AA₁: BCC₁; CDD₁; BDD₁.
  2. AB₁: CDD₁; DA₁C₁; BDC₁.
  3. AC₁ (телесна дијагонала): нема.
4.12O е центар на ѕидот ABCD. Каква е положбата на A₁O и (CB₁D₁)?паралелни

Нека O₁ е центарот на A₁B₁C₁D₁. A₁O ∥ CO₁ (A₁O₁CO е паралелограм), а CO₁ лежи во (CB₁D₁) ⇒ по Т4 A₁O ∥ (CB₁D₁).

4.13Коцка: низ AC рамнина ∥ BC₁; низ B рамнина ∥ ACD₁; низ BA₁ и CB₁ ∥ рамниниACD₁ · BA₁C₁ · BDA₁ и CB₁D₁
  1. BC₁ ∥ AD₁ ⇒ рамнината ACD₁ ја содржи AC и е ∥ на BC₁.
  2. BA₁ ∥ CD₁ и BC₁ ∥ AD₁ ⇒ (BA₁C₁) ∥ (ACD₁).
  3. За разминувачки BA₁ и CB₁: (BDA₁) ∥ (CB₁D₁).
4.14Паралелопипед: докажи (ABC) ∥ (A₁B₁C₁) и (AB₁D₁) ∥ (BDC₁)Т5
  1. AB и AD (се сечат, во ABC) ∥ A₁B₁ и A₁D₁ (во A₁B₁C₁) ⇒ ∥.
  2. AB₁ и AD₁ (се сечат, во AB₁D₁) ∥ DC₁ и BC₁ (во BDC₁) ⇒ ∥. ∎
4.15Правилна шестаголна призма: дали ABB₁ ∥ а) CDD₁ б) DEE₁ в) CEE₁ г) CFF₁ д) CFE₁?Не Да Не Да Не

AB ∥ ED ∥ CF (во правилен шестаголник). Ѕидот DEE₁ и дијагоналниот пресек CFF₁ се паралелни на ABB₁. Доказ за б): AB и AA₁ се ∥ на DE и EE₁ ⇒ Т5.

4.16Шестаголник ABCDEF, страната AF лежи во α. Кои страни ја сечат α? / Пирамида SABCD со основа паралелограм: пресечна права на SAB и SCD?CD ∥ α · ∥ на основата
  1. AB, BC, DE, EF ја сечат α; CD ∥ AF ⇒ CD ∥ α.
  2. AB ∥ CD ⇒ AB ∥ (SCD) ⇒ пресечната права на SAB и SCD е ∥ на AB, значи ∥ на рамнината ABCD.
05

Разминувачки прави и растојанија

35 минзадачата со коцка 6 е најтешка

Две прави се разминувачки ако не лежат во една рамнина. Ниту се сечат, ниту се паралелни, како два моста на различна висина.

Положби на 2 прави

  • во рамнина
    се сечат (1 точка) или паралелни (0 точки)
  • не во рамнина
    разминувачки
  • признак
    a ⊂ α, b ја прободува α во точка што не е на a ⇒ a и b се разминуваат.

Броење

Секој раб на коцката учествува 4 пати во пар разминувачки прави. Коцката има 12 рабови → 4·12/2 = 24 пара.

Тетраедар: 3 пара · 4-аголна пирамида: 8 · правилна 3-аголна призма: 12 · правилна 6-аголна призма: 72.

Задачи
5.1Именувај ги правите што минуваат низ врвовите на коцката и се разминуваат со AB.12 прави

Не само рабови: и дијагоналите на ѕидовите и телесните дијагонали.

  1. Рабови: CC₁, DD₁, A₁D₁, B₁C₁.
  2. Дијагонали на ѕидови: CB₁, DA₁, CD₁, DC₁, A₁C₁, B₁D₁.
  3. Телесни дијагонали: CA₁, DB₁.
  4. Вкупно 12. Проверено со координати.
5.2Докажи: ако EF и GH не лежат во иста рамнина, тогаш и EG и FH се разминуваат.противречност
  1. Да претпоставиме дека EG и FH лежат во иста рамнина α.
  2. Тогаш E, G, F, H ∈ α, па и правите EF и GH лежат во α.
  3. Тоа е спротивно на условот. Значи EG и FH не се во иста рамнина → разминувачки. ∎
Задача со растојанија

Коцка ABCDA₁B₁C₁D₁ со раб 6. M и N се средини на AB и B₁C₁. K е на DC така што DK = 2KC.

Видео-лекција
Растојанија во коцка со раб 6

Координати (најсигурен начин)

Стави A во почетокот: A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), D(0, 6, 0), A₁(0, 0, 6).

Тогаш M(3, 0, 0), N(6, 3, 6), K(4, 6, 0).

Растојание меѓу точки: √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).

5.3Растојание од N до правата AK.6√221/13 ≈ 6,86

Теорема на три нормали: спушти ја N на основата.

  1. N′ = проекција на N на ABCD = средина на BC = (6, 3, 0). NN′ = 6.
  2. Растојание од N′ до AK во основата: плоштина на △AN′K = ½|6·6 − 3·4| = 12, AK = √(16 + 36) = 2√13 → d = 2·12/(2√13) = 12/√13.
  3. Нека H е подножјето од N′ на AK. N′H ⊥ AK и NN′ ⊥ основата → по теоремата на три нормали NH ⊥ AK.
  4. NH² = NN′² + N′H² = 36 + 144/13 = 612/13 → NH = 6√221/13 ≈ 6,86.
5.4Растојание меѓу правите MN и AK.18√53/53 ≈ 2,47

Правите се разминувачки. Растојанието е должината на заедничката нормала.

  1. Насоки: u = MN = (3, 3, 6) ∼ (1, 1, 2), w = AK = (4, 6, 0) ∼ (2, 3, 0).
  2. Вектор нормален на двете: n = u × w = (1·0 − 2·3, 2·2 − 1·0, 1·3 − 1·2) = (−6, 4, 1).
  3. Растојание = |AM · n| / |n| = |(3, 0, 0)·(−6, 4, 1)| / √(36 + 16 + 1) = 18/√53.
  4. d = 18√53/53 ≈ 2,47.
5.5Растојание од A₁ до рамнината MNK.66√173/173 ≈ 5,02
  1. Нормала на рамнината: MN × MK = (3, 3, 6) × (1, 6, 0) = (−36, 6, 15) ∼ (−12, 2, 5).
  2. Равенка: −12x + 2y + 5z = −36 (провери со M, N, K).
  3. Растојание од A₁(0, 0, 6): |−12·0 + 2·0 + 5·6 + 36| / √(144 + 4 + 25) = 66/√173.
  4. d = 66√173/173 ≈ 5,02.
Уште задачи
5.6Коцка: разминувачки со AB? Тетраедар ABCD? Пирамида SABCD?A₁D₁, B₁C₁, DD₁, CC₁
  1. Коцка: A₁D₁; B₁C₁; DD₁; CC₁ (4 рабови).
  2. Тетраедар: AB и CD; BC и AD; AC и BD.
  3. SABCD: SA–BC, SA–CD, SB–AD, SB–CD, SC–AB, SC–AD, SD–AB, SD–BC.
06

Паралелно проектирање

20 мин

Замисли сонце што паѓа косо: секоја точка фрла сенка на подот. Сите зраци се паралелни (насока l). Сенката на точката A е нејзината паралелна проекција A′ на рамнината π.

Видео-лекција
Сенка на подот
Насока l:

Дефиниција и својства

π е рамнина, l е права што ја прободува. Низ точката A повлекуваме права паралелна на l. Нејзиниот пробод со π е паралелна проекција на A во правец на l.

  1. Св. 1
    Права паралелна на l (или l самата) се проектира во точка. Секоја друга права се проектира во права.
  2. Св. 2
    Се запазува односот на отсечки на иста права: AB : BC = A′B′ : B′C′.
  3. Св. 3
    2 паралелни прави (не паралелни на l) се проектираат во паралелни прави (или во иста права).AA′ ∥ BB′. Ако AB ∥ A′B′, ABB′A′ е паралелограм; ако не, ABB′A′ е трапез.
Задача
6.1Точката C ја дели AB во однос m : n. AA′ = a, BB′ = b (паралелни проекции). Најди CC′.c = (na + mb)/(m + n)

Сличност на триаголници.

  1. Низ A повлечи права паралелна на A′B′; таа ги сече CC′ во C″ и BB′ во B″. Тогаш A′C′C″A и A′B′B″A се паралелограми: C″C′ = B″B′ = a.
  2. Значи B″B = b − a, а нека x = C″C.
  3. △ACC″ ∼ △ABB″ (CC″ ∥ BB″): x/(b − a) = AC/AB = m/(m + n) → x = m(b − a)/(m + n).
  4. c = CC′ = a + x = (am + an + mb − ma)/(m + n) = (na + mb)/(m + n).
  5. Проверка: средина (m = n) → c = (a + b)/2 (средна линија на трапез).
07

Вектори во простор

25 минкратки задачи

Вектор во просторот е насочена отсечка (со почеток и крај). Секој вектор има правец (правата на која лежи), насока (редоследот на точките) и должина (модул). Два вектора се еднакви ако имаат ист правец, насока и должина, па во коцка A₁D₁ = AD = BC.

Видео-лекција
Собирање вектори во коцка

Поими

  • ознаки
    |AB| = AB — модул (должина). Ако A ≡ B, тогаш AB = AA = 0 (нулти вектор).
  • слободен
    Класата на еквиваленција (сите еднакви вектори) се вика слободен вектор.
  • операции
    Собирање вектори и множење со скалар се дефинираат исто како во рамнина. Множеството вектори е векторски простор над ℝ.
  • колинеарни
    Вектори со ист правец.
  • спротивни
    Вектори чиј збир е нулти вектор: AB + BA = 0.

Правила за собирање

  • надоврзи
    AB + BC = AC (средните букви се „кратат“)
  • паралелограм
    AB + AD = AC
  • разлика
    AB − AC = CB

Паралелопипед: AC₁ = AB + AD + AA₁

Задачи
7.1Паралелопипед: точни ли се а) BD₁ = BB₁ + B₁D₁ б) BD₁ = BA + BB₁ + BC в) DB₁ = DA + DC − D₁D г) AC₁ = AB + BC + CC₁ − D₁C₁ + D₁AДа Да Да Не
  1. а) надоврзување ✓. б) 3 рабови од B → телесна дијагонала ✓.
  2. в) DA + DC = DB; −D₁D = DD₁ = BB₁; DB + BB₁ = DB₁ ✓.
  3. г) AB + BC + CC₁ = AC₁. Остатокот: −D₁C₁ + D₁A = C₁D₁ + D₁A = C₁A. Вкупно AC₁ + C₁A = 0 ≠ AC₁ → не.
7.2Вектор еднаков на: а) AA₁ + AB б) AA₁ + BC в) AA₁ + C₁C г) ½CB − ½CAAB₁ · AD₁ · 0 · ½AB
  1. а) паралелограм → AB₁. б) BC = AD → AA₁ + AD = AD₁.
  2. в) C₁C = −AA₁ → нулти вектор. г) ½(CB − CA) = ½AB.
7.3Упрости: B₁D₁ + C₁C + C₁B + AC₁ + CA + A₁D₁B₁D
  1. Групирај: AC₁ + C₁C = AC; AC + CA = 0.
  2. Остануваат B₁D₁ + C₁B + A₁D₁. Замени A₁D₁ = B₁C₁: B₁C₁ + C₁B = B₁B.
  3. B₁B + B₁D₁ = B₁D (паралелограм BB₁D₁D).
7.4Единична коцка: должина на а) AB + A₁D₁ б) AB₁ + A₁D в) AB₁ + BC₁√2 · √2 · √6
  1. а) A₁D₁ = BC → AB + BC = AC, |AC| = √2.
  2. б) A₁D = B₁C → AB₁ + B₁C = AC → √2.
  3. в) BC₁ = AD₁ → AB₁ + AD₁ = 2·AO₁ (O₁ средина на B₁D₁). |AO₁| = √(1 + ½) → должина 2·√(3/2) = √6.

Проверка со координати: AB₁ = (1,0,1), BC₁ = (0,1,1), збир (1,1,2), должина √(1+1+4) = √6.

7.5Правилна 3-аголна призма, сите рабови 1: |AB + A₁C₁|, |AB + CC₁|, |BA + CB₁|√3 · √2 · √2
  1. A₁C₁ = AC → AB + AC = 2·AO (O средина на BC), |AO| = √3/2 → √3.
  2. CC₁ = BB₁ → AB + BB₁ = AB₁ → √2.
  3. CB₁ = CB + BB₁; BA + CB = CA; CA + BB₁ = CA + AA₁ = CA₁ → √2.
7.6Изрази: SC во SABCD; SD во шестаголна пирамида; AC₁ во шестаголна призма; упрости AB + CD + EE₁ + B₁C₁види
  1. SC = SA + AC = SA + AB + AD.
  2. Правилен шестаголник со центар O: AO = AB + AF, AD = 2·AO → SD = SA + 2(AB + AF).
  3. AC = AB + BC, BC = AO = AB + AF → AC₁ = 2AB + AF + AA₁.
  4. CD = BC − AB, B₁C₁ = BC → AB + CD + B₁C₁ = 2BC = AD; плус EE₁ = AA₁ → AD₁.
7.7Тетраедар ABCD, E и F средини на AB и CD. Докажи EF = ½(AD + BC)средни линии
  1. Нека G е средина на BD.
  2. EG е средна линија во △ABD → EG = ½AD. GF е средна линија во △BCD → GF = ½BC.
  3. EF = EG + GF = ½(AD + BC). ∎
08

Агли, три нормали, диедар

35 минтеорија + докази

Агол меѓу права и рамнина = аголот меѓу правата и нејзината сенка (ортогонална проекција) на рамнината. Тоа е најмалиот агол што правата го прави со која било права од рамнината.

Видео-лекција
Агли во простор
Агол:

Дефиниции

  1. 2 прави
    За p = AB, q = CD аголот е ∠(AB, CD) или неговиот суплемент; секогаш ≤ 90°.
  2. p ⊥ Σ
    p ја прободува Σ и е нормална на секоја права во Σ. Значи ако x ⊂ Σ и p ⊥ Σ ⇒ p ⊥ x.
  3. права–рамн.
    p′ = ортогонална проекција на p во Σ: ∠(p, Σ) = ∠(p, p′), секогаш ≤ 90°.
  4. диедар
    2 полурамнини Σ₁, Σ₂ со заеднички раб p. Агол на диедарот: p₁ ⊂ Σ₁, p₁ ⊥ p и p₂ ⊂ Σ₂, p₂ ⊥ p (од иста точка) → ∠(p₁, p₂).
  5. 2 рамнини
    Аголот меѓу 2 рамнини што се сечат = аголот меѓу 2 прави нормални на по една од рамнините.
  6. 3 нормали
    n ⊥ Σ, A ∈ n, A′ = n ∩ Σ, B ∈ Σ, q ⊂ Σ низ B. Ако q ⊥ A′B ⇒ q ⊥ AB.
Задачи
8.1Правата p ја прободува Σ во O. Докажи дека аголот меѓу p и рамнината е најмал од аглите меѓу p и правите во Σ.sin ∠XOY ≤ sin ∠XOZ
  1. Доволно е да ги гледаме правите во Σ низ O (паралелно поместување не го менува аголот).
  2. Нека X е произволна точка на p, Y нејзината проекција на Σ (лежи на p′), а Z проекцијата на X на некоја права q′ ⊂ Σ низ O.
  3. XY е нормала на рамнината → XY ≤ XZ (нормалата е најкратка).
  4. sin ∠XOY = XY/XO ≤ XZ/XO = sin ∠XOZ, а двата агли се во [0°, 90°].
  5. Значи ∠XOY ≤ ∠XOZ, т.е. ∠(p, Σ) е најмал. ∎
8.2Правата p образува еднакви агли со p₁ и p₂ акко p е нормална на некоја од симетралите на аглите меѓу p₁ и p₂.тврдење

Со вектори (кратко објаснување).

  1. Нека e₁, e₂ се единечни вектори на p₁, p₂, а u на p. Еднакви агли ⇔ |u·e₁| = |u·e₂|.
  2. Тоа е ⇔ u·(e₁ − e₂) = 0 или u·(e₁ + e₂) = 0.
  3. e₁ + e₂ и e₁ − e₂ се насоките на двете симетрали → p ⊥ на една од нив. ∎
8.3p образува исти агли со p₁ и p₂, кои се сечат во O и лежат во Σ. Докажи дека проекцијата на p врз Σ е паралелна на симетралата на аголот меѓу p₁ и p₂.складни △ + 3 нормали
  1. X ∈ p, X′ = проекција на X врз Σ, Xᵢ = проекција на X врз pᵢ (i = 1, 2).
  2. ∠XOX₁ = ∠XOX₂ (услов), ∠XX₁O = ∠XX₂O = 90°, заедничка XO → △XOX₁ ≅ △XOX₂, па OX₁ = OX₂ и XX₁ = XX₂.
  3. Теорема на три нормали: XX₁ ⊥ p₁ ⇒ X′X₁ ⊥ p₁; исто X′X₂ ⊥ p₂.
  4. △OX₁X′ ≅ △OX₂X′ (прави агли, OX₁ = OX₂, заедничка OX′) → X′X₁ = X′X₂.
  5. X′ е на еднакво растојание од p₁ и p₂ → лежи на симетралата: ∠X₁OX′ = ∠X₂OX′. ∎
09

Волумен: Кавалиери и паралелопипед

25 мин5 решени задачи

Куп карти: ако го турнеш да се искоси, волуменот не се менува. Тоа е принципот на Кавалиери: ако две тела на секоја висина имаат пресеци со еднаква плоштина, имаат ист волумен.

Видео-лекција
Искосен паралелопипед
Искоси:
Иста основа, иста висина → V = B · H, колку и да е искосено.

Формули

  • обопштен цилиндар
    Основа F, права l ∦ Σ. c = директриса (работ на основата), l = генератриса. V = B · H. Призмата и цилиндарот се обопштени цилиндри.
  • паралелопипед
    V = S · h (ѕид × висина кон него)
  • кос раб
    V = S · c · sin ψ
  • 3 раба
    V = a · b · c · sin φ · sin ψ
Задачи
9.1Најди го паралелопипедот со најголем волумен ако збирот на должините на сите рабови е 12.коцка со страна 1
  1. 4a + 4b + 4c = 12 → a + b + c = 3.
  2. V = abc·sinφ·sinψ ≤ abc, со еднаквост кога φ = ψ = 90° (квадар).
  3. Неравенство меѓу аритметичка и геометриска средина: ∛(abc) ≤ (a + b + c)/3 → abc ≤ ((a+b+c)/3)³ = 1.
  4. Еднаквост кога a = b = c → коцка со страна 1, V = 1.
9.22 спротивни ѕида се квадрати со страна 1. Работ што ги поврзува е 1 и е под агол 60°. Волумен?√3/2
  1. S = 1, h = 1·sin60° = √3/2.
  2. V = √3/2.
9.3Еден ѕид е ромб со страна 1 и агол 60°; раб 1 зафаќа 60° со тој ѕид. Волумен?3/4
  1. V = abc·sinφ·sinψ = 1·1·1·sin60°·sin60°.
  2. V = √3/2 · √3/2 = 3/4.
9.43 ѕида со заедничко теме O се ромбови со страна 1 и остар агол 60°. Волумен?√2/2
  1. O е заедничкото теме, OX е третиот раб (должина 1). A е проекција на X на основата, B е проекција на X на работ OY. XA ⊥ основата и XB ⊥ OB ⇒ AB ⊥ OB (три нормали).
  2. XB = sin60° = √3/2, OB = cos60° = ½. ∠XOY = ∠XOZ ⇒ A лежи на симетралата ⇒ ∠AOB = 30° ⇒ OA = 2AB.
  3. OA² = AB² + ¼ → 4AB² = AB² + ¼ → AB² = 1/12.
  4. XA² = XB² − AB² = ¾ − 1/12 = 2/3 → H = √(2/3) = √6/3.
  5. V = B·H = 1·1·sin60°·√6/3 = √2/2.
9.5Дадени се коцки со должини 12 и 5, направени од олово. Се топат и од добиениот материјал се прави нова коцка. Колкава е страната?∛1853 ≈ 12,28

При топење се запазува волуменот (не плоштината!).

  1. V₁ = 12³ = 1728, V₂ = 5³ = 125.
  2. V = 1728 + 125 = 1853 = a³.
  3. a = ∛1853 ≈ 12,28. (Спореди со задачата со плоштини, каде излегува 13.)
Уште задачи
9.62 соседни ѕида со плоштини S₁ и S₂, заеднички раб a, двостран агол 150°S₁S₂/(2a)
  1. Висината на ѕидот S₂ кон работ a: S₂/a.
  2. Висина на телото кон ѕидот S₁: h = (S₂/a)·sin150° = S₂/(2a).
  3. V = S₁·h = S₁S₂/(2a).
10

Призма: плоштина и волумен

40 мин

Плоштина на призма е збир на плоштините на нејзините ѕидови, P = 2B + M (B = основа, M = бочна површина). V = B · H. Речиси секоја задача се сведува на правоаголен триаголник со висината H.

Видео-лекција
Дијагонала на призма

Плоштини на основи

Квадратa²Рамностран △a²√3/4
Правоаголникa·bПрав. шестаголник3a²√3/2
Паралелограмa·b·sin αТрапез(a+b)/2 · h
Ромбd₁·d₂/2Херон√(s(s−a)(s−b)(s−c))

Готови формули

КоцкаP = 6a², V = a³, D = a√3
КвадарD = √(a²+b²+c²), V = abc
Правилна 3-аг.P = a²√3/2 + 3aH
Правилна 4-аг.P = 2a² + 4aH, V = a²H
Правилна 6-аг.P = 3a²√3 + 6aH
Коса призмаV = Q · s (Q = нормален пресек)
Задачи
10.1Квадар со основни рабови a и b има дијагонала што со рамнината на основата зафаќа 60°. Пресметај P и V.c = √3·√(a²+b²)

Имаме просторна дијагонала, па треба да се пресмета третиот раб.

  1. Дијагонала на основата d = √(a² + b²).
  2. Правоаголен △ (c, d, D) со агол 60° кај основата: c/d = tg60° = √3 → c = √3·√(a² + b²) = √(3a² + 3b²).
  3. V = abc = ab√(3a² + 3b²).
  4. P = 2ab + 2(a + b)c = 2ab + 2(a + b)√(3a² + 3b²).
10.2Основата на права призма е трапез. Докажи дека V е еднаков на аритметичката средина на плоштините на двата паралелни бочни ѕида помножена со растојанието меѓу нив.V = (P₁+P₂)/2 · d
  1. V = B·H, B = (a + b)/2 · h → V = (a + b)/2 · h · H.
  2. Паралелните бочни ѕидови: P₁ = aH, P₂ = bH → (P₁ + P₂)/2 = (a + b)/2 · H.
  3. Растојанието меѓу тие ѕидови е висината на трапезот: d = h.
  4. (P₁ + P₂)/2 · d = (a + b)/2 · H · h = V. ∎
10.3Дадени се 2 еднакви коцки со раб a. Ако првата се ротира за 90° околу средната линија на еден свој ѕид, ќе се поклопи со другата. Волумен на заедничкиот дел?a³/4
  1. Средната линија на ѕидот минува низ средините на 2 спротивни рабови.
  2. По ротацијата коцката е поместена за половина раб во 2 насоки.
  3. Заедничкиот дел е квадар a × a/2 × a/2.
  4. V = a³/4 = V/4.
10.4Основата на призма е рамностран △ со страна 4 cm. Бочниот раб 6 cm со основата зафаќа 60°. Волумен и плоштина на пресекот нормален на бочниот раб?36 cm³ · 6 cm²
  1. H = 6·sin60° = 3√3, B = 4²√3/4 = 4√3.
  2. V = 4√3 · 3√3 = 36 cm³.
  3. V = Q·s (Q = нормален пресек) → Q = 36/6 = 6 cm².
10.5Коцки со рабови 12 и 5. Најди ја коцката чија плоштина е збир од нивните плоштини.страна 13
  1. P₁ = 6·12², P₂ = 6·5² = 150. 6x² = 6(144 + 25) → x² = 169.
  2. x = 13, V = 13³ = 2197.
10.6Права призма со P = 334 cm², основа паралелограм со страни 9 и 10 cm и дијагонала 17 cm. Волумен?360 cm³
  1. Дијагоналата ја дели основата на △ 9, 10, 17. s = (9 + 10 + 17)/2 = 18.
  2. Херон: √(18·9·8·1) = 36 → B = 2·36 = 72.
  3. P = 2B + 2(a + b)H → 334 = 144 + 38H → H = 5.
  4. V = 72·5 = 360 cm³.
Уште задачи
10.7Прав паралелопипед, основа паралелограм 1 и 4 cm, агол 60°. Поголемата дијагонала е 5 cm. V?4√3 cm³

Поголемата дијагонала на основата е спроти тапиот агол 120°.

  1. d² = 1² + 4² − 2·1·4·cos120° = 17 + 4 = 21.
  2. D² = d² + H² → 25 = 21 + H² → H = 2.
  3. B = 1·4·sin60° = 2√3 → V = 2√3·2 = 4√3 ≈ 6,93 cm³.
10.8Дијагоналниот пресек на квадар е квадрат од 1 m², a : b = 3 : 4. P и V?3,76 m² · 0,48 m³
  1. Дијагонален пресек = правоаголник d × H. Квадрат → d = H = 1.
  2. a = 3k, b = 4k → d = 5k = 1 → k = 0,2 → a = 0,6, b = 0,8.
  3. P = 2(0,48 + 0,6 + 0,8) = 3,76 m², V = 0,6·0,8·1 = 0,48 m³.
10.9Правилна 4-аголна призма, M = 12√6 cm², дијагоналата е наклонета кон основата под 30°P = 18+12√6, V = 9√6
  1. Триаголник (H, d = a√2, D): tg30° = H/(a√2) → H = a√6/3.
  2. M = 4aH = 4a²√6/3 = 12√6 → a² = 9 → a = 3, H = √6.
  3. P = 2·9 + 12√6 = 18 + 12√6 cm², V = 9√6 ≈ 22,05 cm³.
10.10Правилна 4-аголна призма: дијагоналата со бочниот ѕид зафаќа 30°, раб a. V?a³√2
  1. Растојанието од A до ѕидот BCC₁B₁ е AB = a → sin30° = a/D → D = 2a.
  2. D² = 2a² + H² → 4a² = 2a² + H² → H = a√2.
  3. V = a²·a√2 = a³√2.
10.11Права 3-страна призма H = 5 dm, бочни ѕидови 125, 85, 140 dm². V?1050 dm³
  1. Страни на основата: 125/5 = 25, 85/5 = 17, 140/5 = 28.
  2. Херон: s = 35, B = √(35·10·18·7) = 210.
  3. V = 210·5 = 1050 dm³.
10.12Основа рамнокрак △ со крак 5; H = 10, V = 120. P?204 или 184
  1. B = V/H = 12. Нека основата е 2x: B = x·√(25 − x²) = 12.
  2. x⁴ − 25x² + 144 = 0 → x² = 16 или 9 → основа 8 или 6.
  3. Основа 8: P = 24 + 10·18 = 204. Основа 6: P = 24 + 10·16 = 184. (Две решенија!)
10.13Правилна 3-страна призма со раб a, обвивката е половина од плоштината. V?a³/8
  1. M = P/2 → M = 2B → 3aH = 2·a²√3/4 → H = a√3/6.
  2. V = a²√3/4 · a√3/6 = a³/8.
10.14Права 3-страна призма: B = 4 cm², бочни ѕидови 9, 10, 17 cm². V?12 cm³
  1. Страни на основата: 9/H, 10/H, 17/H — тоа е △(9, 10, 17) намален H пати.
  2. △(9, 10, 17) има плоштина 36 → 36/H² = 4 → H = 3.
  3. V = 4·3 = 12 cm³.
10.15Правилна 6-страна призма, поголемата дијагонала d со бочниот раб зафаќа 30°. V?9d³/64
  1. Проекција на дијагоналата = 2a (голема дијагонала на шестаголникот).
  2. H = d·cos30° = d√3/2; 2a = d·sin30° → a = d/4.
  3. V = 3a²√3/2 · H = 9d³/64.
11

Пирамида: плоштина и волумен

40 мин

P = B + M, V = ⅓ · B · H (пирамида = третина од призма со иста основа и висина). Тајната: во правилна пирамида има 3 правоаголни триаголници.

Видео-лекција
Трите триаголници во пирамида
Основа:
Триаголник:

r и R за основата

ОсноваrR
Рамностран △a√3/6a√3/3
Квадратa/2a√2/2
Прав. шестаголникa√3/2a

Агол на бочен ѕид → (H, r, h). Агол на бочен раб → (H, R, s).

Готови формули

Правилна 4-аг.P = a² + 2ah, V = ⅓a²H
ТетраедарH = a√6/3, V = a³√2/12
ПресеченаV = H/3·(B₁ + √(B₁B₂) + B₂)
Пресек ∥ основаS/B = (x/H)²
Четиристрана пирамида
11.1Правилна 4-страна пирамида: M = 135 cm², основниот раб е 50% подолг од висината. V?162 cm³
  1. a = 1,5H. h² = H² + (a/2)² = H² + 0,5625H² → h = 1,25H.
  2. M = 4·a·h/2 = 2ah = 3,75H² = 135 → H = 6, a = 9.
  3. V = ⅓·81·6 = 162 cm³.
11.2Основниот раб е за 1 cm подолг од висината, бочниот раб е 9 cm. V?448/3 cm³
  1. Триаголник (H, R, s): s² = H² + a²/2 (бидејќи R² = a²/2).
  2. 81 = H² + (H+1)²/2 → 3H² + 2H − 161 = 0 → H = 7, a = 8.
  3. V = ⅓·64·7 = 448/3 ≈ 149,3 cm³.
11.3Висина H; еден бочен ѕид има плоштина колку основата. P и V?4H²/3 · 4H³/45
  1. a·h/2 = a² → h = 2a. h² = H² + a²/4 → a² = 4H²/15.
  2. P = a² + 4a² = 5a² = 4H²/3.
  3. V = ⅓a²H = 4H³/45.
11.4Основа рамнокрак трапез 3 и 5 cm, крак 7; подножје = пресек на дијагоналите; поголем бочен раб 10. V?80 cm³
  1. Висина на трапезот √(7² − 1²) = 4√3; дијагонала √(4² + 48) = 8.
  2. Пресекот ја дели дијагоналата 5 : 3 → подолгиот дел = 5.
  3. H = √(10² − 5²) = 5√3, B = (3+5)/2·4√3 = 16√3 → V = ⅓·16√3·5√3 = 80 cm³.
11.5Раб a, бочниот ѕид со основата зафаќа 60°. P и V?3a² · a³√3/6
  1. (H, r = a/2, h): h = r/cos60° = a, H = r·tg60° = a√3/2.
  2. P = a² + 2a·a = 3a².
  3. V = ⅓a²·a√3/2 = a³√3/6.
11.6Висина H, дијагонален пресек Q. V? (H = 8, Q = 60)2Q²/(3H) = 300
  1. Q = ½·a√2·H → a² = 2Q²/H².
  2. V = ⅓a²H = 2Q²/(3H). За H = 8, Q = 60: V = 7200/24 = 300.
11.7Коцка a: врв = центар на ѕид, основа = средините на страните на спротивниот ѕид. P и V?2a² · a³/6
  1. Основа: квадрат со страна a√2/2 → B = a²/2. H = a.
  2. Апотема h = √(a² + (a√2/4)²) = 3a√2/4 → M = 4·½·(a√2/2)(3a√2/4) = 3a²/2.
  3. P = a²/2 + 3a²/2 = 2a², V = ⅓·(a²/2)·a = a³/6.
11.8a = 12, s = 2√34. Впишана коцка (горните темиња на бочните рабови). Раб на коцката и V над неа?4,8 cm · 24,576 cm³
  1. s² = H² + a²/2 → 136 = H² + 72 → H = 8.
  2. На висина x пресекот е квадрат a·(H − x)/H. Коцка: x = 12(8 − x)/8 → x = 4,8 cm.
  3. Над коцката: пирамида со основа 4,8² и висина 3,2 → V = ⅓·23,04·3,2 = 24,576 cm³.
11.9Бочен раб s наклонет кон основата под агол α. V?⅔s³cos²α·sinα
  1. (H, R, s): H = s·sinα, R = s·cosα, a = R√2 → a² = 2s²cos²α.
  2. V = ⅓·2s²cos²α·s·sinα = ⅔s³cos²α·sinα.
11.10Дијагонален пресек Q, бочните рабови под 45°. V?2Q√Q/3
  1. 45° → H = R = d/2. Q = ½·d·H = d²/4 → d = 2√Q, H = √Q.
  2. a² = d²/2 = 2Q → V = ⅓·2Q·√Q = 2Q√Q/3.
11.11Раб a; основата и дијагоналниот пресек имаат еднаква плоштина. M и V?3a² · a³√2/3
  1. a² = ½·a√2·H → H = a√2. h = √(2a² + a²/4) = 3a/2.
  2. M = 2ah = 3a², V = ⅓a²·a√2 = a³√2/3.
11.12Основа паралелограм a = 10, b = 18, B = 90; подножје = пресек на дијагоналите, H = 6. M?192 cm²
  1. Висини на паралелограмот: 90/10 = 9 и 90/18 = 5 → од центарот до страните: 4,5 и 2,5.
  2. Апотеми: √(36 + 4,5²) = 7,5 и √(36 + 2,5²) = 6,5.
  3. M = 2·½·10·7,5 + 2·½·18·6,5 = 75 + 117 = 192 cm².
Тристрана, шестострана и пресечена пирамида
11.13Правилна 3-страна: P = 8√3, висината е 2 пати поголема од основниот раб. V?4√3/3
  1. H = 2a, r = a√3/6 → h = √(4a² + a²/12) = 7a√3/6.
  2. P = a²√3/4 + 3·½·a·h = a²√3/4 + 7a²√3/4 = 2a²√3 = 8√3 → a = 2, H = 4.
  3. V = ⅓·√3·4 = 4√3/3 ≈ 2,31.
11.14Изведи V на правилен тетраедар. Однос коцка : тетраедар AB₁CD₁a³√2/12 · 3 : 1
  1. H = a√6/3, B = a²√3/4 → V = ⅓·(a²√3/4)·(a√6/3) = a³√2/12.
  2. AB₁CD₁ = коцка без 4 „ќошиња“, секое со V = ⅓·(a²/2)·a = a³/6 → a³ − 4a³/6 = a³/3 → однос 3 : 1.
11.15Плоштина на правилен тетраедар со висина H3√3H²/2
  1. H = a√6/3 → a² = 3H²/2.
  2. P = a²√3 = 3√3H²/2.
11.16Правилна 3-страна, раб a, бочните ѕидови под 60°. P?3a²√3/4
  1. r = a√3/6, h = r/cos60° = a√3/3.
  2. P = a²√3/4 + 3·½·a·a√3/3 = 3a²√3/4.
11.17Основа рамнокрак △ со основа 6 и висина 9; сите бочни рабови 13. V?108 cm³

Еднакви бочни рабови → подножјето е центарот на опишаната кружница (R).

  1. Крак = √(3² + 9²) = 3√10, B = 27, R = abc/(4B) = 6·90/108 = 5.
  2. H = √(13² − 5²) = 12 → V = ⅓·27·12 = 108 cm³.
11.18Правилна 6-страна, a = 2; обвивката е 3 пати поголема од основата. P и V?24√3 · 12√2
  1. B = 3a²√3/2 = 6√3, M = 18√3 = 6·½·2·h → h = 3√3.
  2. r = a√3/2 = √3 → H = √(27 − 3) = 2√6.
  3. P = 24√3, V = ⅓·6√3·2√6 = 12√2 ≈ 16,97.
11.19Збир на внатрешни агли на основата 720°; бочен раб s со висината зафаќа 30°. V?3s³/16
  1. (n−2)·180° = 720° → n = 6 (шестаголник, R = a).
  2. H = s·cos30° = s√3/2, a = R = s·sin30° = s/2.
  3. V = ⅓·(3a²√3/2)·H = 3s³/16.
11.20Правилна 6-страна, H = 12 dm; рамнина ∥ со основата, на 9 dm од неа, дава пресек 450 cm². V?288 dm³
  1. Пресекот е на 12 − 9 = 3 dm од врвот → однос 3 : 12 = 1 : 4.
  2. Плоштините се во однос (1/4)² = 1/16 → B = 16·450 = 7200 cm² = 72 dm².
  3. V = ⅓·72·12 = 288 dm³.
11.21Правилна 4-страна пресечена пирамида: a = 13, b = 1, s = 10. P и V?394 cm² · 122√7 cm³
  1. Бочен ѕид = рамнокрак трапез: h′ = √(10² − 6²) = 8 → M = 4·(13+1)/2·8 = 224.
  2. P = 169 + 1 + 224 = 394 cm².
  3. H = √(8² − 6²) = 2√7 → V = (2√7/3)(169 + 13 + 1) = 122√7 ≈ 322,8 cm³.
11.22Правилна 4-страна пресечена: a = 12, b = 6, обвивката е половина од плоштината. V?336 cm³
  1. M = B₁ + B₂ = 144 + 36 = 180 = 4·(12+6)/2·h′ → h′ = 5.
  2. H = √(5² − 3²) = 4.
  3. V = (4/3)(144 + 72 + 36) = 336 cm³.
✎

Вежбај: исти задачи, нови бројки

секој клик = нова задачаодговор со запирка или „3√10“

Избери тип

Точни: 0 / 0

★ = избрани задачи од повеќе модули. За проба пред тест: „Сè измешано“, 8 задачи на хартија, па провери.

—
—
?

Квиз: теорија за 5 минути

мисли → отвори → оцени се искрено
картичка 1
—

Резултат

Знаев: 0 · Не знаев: 0

Кога не знаеш: замисли коцка.

∑

Шпаргала

сè на едно место

Аксиоми и тврдења

2 точки
1 права
3 неколин.
1 рамнина
С1
2 точки во α ⇒ правата ⊂ α
С2
права + точка ⇒ 1 рамнина
С3
2 прави што се сечат ⇒ 1 рамнина
„∥“ рамнини
еквиваленција

Броење

призма
2n · 3n · n+2
пирамида
n+1 · 2n · n+1
Ојлер
В − Р + С = 2
мрежи коцка
11
n точки→прави
n(n−1)/2
делови
2, 4, 8, 15

Парови во коцка

паралелни
18
разминувачки
24
прави низ темиња разм. со AB
12
6-аг. призма ∥
33
тетраедар разм.
3

Најкраток пат

коцка a
a√5
квадар
√((мал+сред)² + гол²)
3-аг. призма, 1
√(7+2√3)/2
6-аг., 1 и 2
√13
пирамида, 1
√7/2

Проектирање и агли

однос
AB : BC = A′B′ : B′C′
отсечка
c = (na + mb)/(m+n)
права–рамн.
∠(p, p′), најмал агол
3 нормали
q ⊥ A′B ⇒ q ⊥ AB
диедар
p₁ ⊥ p, p₂ ⊥ p

Вектори

надоврзи
AB + BC = AC
паралелогр.
AB + AD = AC
паралелоп.
AC₁ = AB + AD + AA₁
нулти
AA = 0

Волумен

паралелоп.
V = abc·sinφ·sinψ
топење
V = V₁ + V₂
max V, рабови 12
коцка 1
ротирана коцка
a³/4

Призма

сите
P = 2B + M, V = B·H
дијаг.
D² = d² + H², tgφ = H/d
△
B = a²√3/4
шестаг.
B = 3a²√3/2

Пирамида

сите
P = B + M, V = ⅓BH
△ 1
h² = H² + r²
△ 2
s² = H² + R²
△ 3
s² = h² + (a/2)²
тетраедар
V = a³√2/12