Uzay geometri adım adım

Olmayana ergi yöntemiyle kanıt.

1. 3 noktanın bir a doğrusu üzerinde olduğunu varsayalım.
2. O zaman a doğrusundan ve 4. noktadan bir düzlem geçer (Ö2).
3. Yani 4 noktanın hepsi bu düzlemdedir; bu da varsayımla çelişir. ∎

2 ortak doğruları varsa, doğrusal olmayan 3 ortak noktaları da vardır. A2’ye göre bunlardan tek bir düzlem geçer, yani düzlemler çakışır. Farklı iki düzlem yalnızca bir doğru boyunca kesişir (A3).

Karşı örnek: doğru, iki doğrunun kesişim noktasından geçip düzlemden çıkabilir (örn. küpte AA₁ hem AB’yi hem AD’yi keser ama ABCD’de değildir). Onları 2 farklı noktada keserse düzlemdedir (Ö1).

1. Doğru a, nokta B ∉ a olsun. Ö2’ye göre a ve B’den tek bir α düzlemi geçer.
2. B’den geçen b doğrusu a’yı A noktasında keser. O zaman A ∈ α ve B ∈ α.
3. b’nin α ile 2 ortak noktası var → Ö1’e göre b’nin tamamı α’dadır, b ⊂ α. Bu, her böyle doğru için geçerlidir. ∎

1. Doğrulardan O’da kesişen 2’sini, a ve b’yi al. Bunlardan α düzlemi geçer (Ö3).
2. Diğer her c doğrusu hem a’yı hem b’yi keser. Onları 2 farklı noktada keserse bu noktalar α’dadır, yani c ⊂ α (Ö1).
3. c, O’dan geçiyor ve α’da değilse, sonraki her doğru c, a ve b’yi kesmelidir. Bu ancak o doğru da O’dan geçerse mümkündür. Yani ya hepsi α’dadır ya da hepsi O’dan geçer. ∎

3 nokta her zaman (doğrusal iseler sonsuz düzlem, değillerse tam bir düzlem). 4 nokta olmayabilir: A4, aynı düzlemde olmayan 4 nokta olduğunu söyler (dörtyüzlünün köşeleri).

Zemine dik duran ve onu delen bir çember düşün: zeminde 2 nokta, gerisi dışarıda. (3 ortak noktası varsa düzlemdedir.)

3 köşe bir düzlem belirler → paralelkenarın tamamı o düzlemdedir. Ama 2 köşe karşılıklı ise (A ve C), köşegenlerin kesişim noktası aynı AC doğrusu üzerindedir → doğrusal 3 nokta düzlem belirlemez → B ve D α’da olmayabilir.

Küpün bir köşesinden çıkan üç ayrıt (AB, AD, AA₁) ikişer ikişer A’da kesişir ama aynı düzlemde değildir. 3 farklı noktada kesişirlerse aynı düzlemdedirler.

İki düzlem yalnızca bir doğru boyunca kesişir (A3). Her ortak nokta bu doğru üzerinde olmalıdır → A, B, C aynı doğru üzerindedir. Benzer şekilde: a, b, c ikişer ikişer kesişir ve α’yı A, B, C’de keserse, A, B, C doğrusal olmalıdır.

3’ü doğrusal ise 4. noktayla bir düzlem belirlerler (Ö2) → 4’ü de o düzlemde olurdu. 3 parçalı kırık çizgi üçgendir → her zaman bir düzlemdedir. 4 parçalı: D, ABC düzleminin üstündeyken A→B→C→D→A → olabilir.

C, a üzerindedir (yani α’da) ve b üzerindedir (yani β’da) → C ortak noktadır → kesişim doğrusu üzerindedir.

1. Her düzlemin dışında noktalar vardır: A4’e göre aynı düzlemde olmayan 4 nokta vardır → en az biri α’da değildir.
2. a doğrusu, B ∉ a noktası. B’den geçip a’yı kesen tüm doğrular bir düzlemdedir: Ö2’ye göre a ve B’den bir α düzlemi geçer. B’den geçip a’yı A’da kesen b doğrusunun α’da 2 noktası (A ve B) vardır → Ö1’e göre b ⊂ α.
3. Sonlu sayıda doğru, her ikisi kesişiyor → ya hepsi bir düzlemde ya da hepsi bir noktadan geçer: a ve b’yi al (α düzlemi). Diğer her c ya a ile b’nin kesişim noktasından geçer ya da onları 2 farklı noktada keser → α’dadır.

Her ayrıt tam 2 yüzün kenarıdır, bu yüzden her ayrıt iki kez sayılır.

1. 12 yüz · 5 kenar = 60.
2. 60 / 2 = 30 ayrıt.

Ortadaki bir küpün her yüzüne bir küp yapıştır (uzay haçı). Tüm yüzler karedir ama cisim küp değildir.

1. Bir kare piramit al: 5 köşe, 8 ayrıt, 5 yüz.
2. Tabanın bir köşesinden küçük bir köşe kes (orada 3 ayrıt buluşur). 3 yeni ayrıt ve 1 yeni yüz (üçgen) oluşur.
3. 8 + 3 = 11 ayrıt. Kontrol: 7 − 11 + 6 = 2 ✓. (6’dan büyük olup çokyüzlüsü olmayan tek sayı 7’dir.)

1. Her ayrıt tam 2 yüzün kenarıdır → tüm yüzlerin kenar sayılarının toplamı çifttir.
2. N = kenar sayısı tek olan yüz sayısı, S_N = bunların kenar sayıları toplamı, S_P = kenar sayısı çift olan yüzlerdeki toplam olsun. S_N + S_P çifttir.
3. S_P her zaman çifttir. N tek ise S_N, tek sayıda tek sayının toplamıdır → tektir.
4. O zaman S_N + S_P tek olur — çelişki. Demek ki N çifttir. ∎

Prizmanın 3n ayrıtı vardır, n ≥ 3.

1. 4 ve 6: 3n = 4 için tam sayı n yok; 3n = 6 → n = 2 (2-gen yoktur) → hayır.
2. 12 → n = 4 (dörtgen) → evet. 21 → n = 7 (yedigen) → evet.

1. 3n = 18 → n = 6 → altıgen.
2. 2n = 24 → n = 12 → onikigen.
3. n + 2 = 36 → n = 34 → 34-gen.

1. Piramidin 2n ayrıtı vardır → çift sayı olmalıdır: 10 (n=5), 6 (n=3), 24 (n=12) → evet; 33 tektir → hayır.
2. 2n = 8 → dörtgen; n + 1 = 22 → 21-gen; n + 1 = 60 → 59-gen.

İpucu: her ayrıtın 2 ucu vardır ve 2 yüzdedir → her şey iki kez sayılır → 2’ye böl.

1. 6·4/2 = 12.
2. 12·5/2 = 30.

1. 5 → hayır; 6 → dörtyüzlü; 7 → hayır; 8 → kare piramit; 9 → üçgen prizma; 10 → beşgen piramit; 11 → evet (soru 2.3).
2. En az ayrıtı dörtyüzlü vardır (6). 7, 6’dan büyük olup mümkün olmayan tek sayıdır.

1. Düzgün dörtyüzlü: her köşede 3 üçgen buluşur. 4 üçgenin ortak noktası olan şekil açınım değildir (şekil 3).
2. Prizma açınımı: 2 eş taban + yan yana n dikdörtgen. Piramit açınımı: taban + etrafında n üçgen.
3. Düzgün beş köşeli yıldız → düzgün beşgen piramit. 6 dikdörtgen + 2 altıgen → düzgün altıgen prizma.

Komşu 2 yüzün açınımı = eşkenar dörtgen. E ve F orta noktaları karşılıklı kenarlardadır, EF kenara paraleldir → EF = 1.

1. Yüzün yüksekliği: h = √(20² − 10²) = √300 = 10√3.
2. AB ayrıtı üzerinden yol: EF = 2(√300 − 7) = 20√3 − 14 ≈ 20,64.
3. 3 yüz üzerinden yol (DBC açınımı + komşuları): E ve F aynı yükseklikte → EF, DC’ye paralel → EF = 20.
4. 20 < 20√3 − 14 → en kısa yol 20’dir.

1. Açınım: SAB ve SBC yüzleri (iki eşkenar üçgen).
2. BE, △SBC’de yüksekliktir → EB² + (½)² = 1² → EB = √3/2 ve ∠ABE = 60° + 30° = 90°.
3. AE² = EB² + AB² = ¾ + 1 = 7/4 → AE = √7/2 ≈ 1,32.

1. Açınım: ABB₁A₁ yüzü + yanına açılmış üst taban A₁B₁C₁.
2. △ABB₁: AB₁ = √(1² + 1²) = √2 ve ABB₁A₁ karedir → ∠A₁B₁A = 45°. Taban eşkenar üçgendir → ∠A₁B₁C₁ = 60°. B₁D = ½.
3. ∠DB₁A = 45° + 60° = 105°, cos105° = √2/2·½ − √2/2·√3/2 = √2(1 − √3)/4.
4. Kosinüs teoremi: AD² = 2 + ¼ − 2·½·√2·cos105° = 9/4 − (1 − √3)/2 = (7 + 2√3)/4.
5. AD = √(7 + 2√3)/2 ≈ 1,62. (Yalnızca 2 yan yüz üzerinden √13/2 ≈ 1,80 olurdu, daha uzun.)

Birinci yol: üst yüzün açıldığı açınım.

1. A₁C₁ karenin köşegenidir → A₁C₁ = √2 ve ∠C₁A₁B₁ = 45°.
2. Açınımda ∠AA₁C₁ = 90° + 45° = 135°.
3. △AA₁C₁’de kosinüs teoremi: AC₁² = 1² + (√2)² − 2·1·√2·cos135° = 1 + 2 + 2 = 5.
4. AC₁ = √5. (Daha hızlı: komşu 2 yüzün açınımı = 2 × 1 dikdörtgen → √(4 + 1).)

3 durum vardır (hangi yüzün taban olduğuna göre).

1. 5 × 3 ve 5 × 4 taban: dik kenarlar 5 ve 4 + 3 = 7 → √(25 + 49) = √74.
2. 4 × 3 taban: dik kenarlar 4 ve 5 + 3 = 8 → √(64 + 16) = √80.
3. Üçüncü olasılık: √(9² + 3²) = √90.
4. √74 < √80 < √90 → en kısası √74 ≈ 8,60. Kural: en küçük iki ayrıtı topla (4 + 3).

1. Açınım I: dik kenarları 2 ve 1 + 2 = 3 olan △BCC₂ → BC₂ = √(9 + 4) = √13 ≈ 3,61.
2. Açınım II: BD₁ + D₁C₂ = √((2+1)² + 1) + 1 = √10 + 1 ≈ 4,16.
3. Açınım III: √((2 + 2 + 1)² + 2²) = √29 ≈ 5,39.
4. En kısası: √13.

1. Açınım I (yan yüz + üst taban): B₁D₁ = √3 (altıgenin kısa köşegeni). AD₁² = AB² + (BB₁ + B₁D₁)² = 1 + (2 + √3)² = 8 + 4√3 → AD₁ = 2√(2 + √3) ≈ 3,86.
2. Açınım II (3 yan yüz): 3 × 2 dikdörtgen → AD₁ = √(3² + 2²) = √13 ≈ 3,61.
3. En kısası √13. (Yan ayrıt 1 olsaydı tabanlı açınım kazanırdı: √(5 + 2√3) ≈ 2,91 < √10.)

Karşılıklı 2 ayrıta paralel kesit, çevresi 2 olan EFGH dikdörtgenidir (kenarları ayrıtlara paraleldir). Dörtyüzlü AD ayrıtından başlayıp BC’ye doğru ilerleyerek geçirilir. Cevap: 2.

4 yüzü bir şerit hâlinde aç; kapalı yol 2 uzunluğunda bir doğru parçası olur. Karşılıklı 2 ayrıta paralel her kesitin çevresi tam olarak 2’dir.

6 ayrıtın orta noktalarından geçen düzgün altıgen. Her kenar = √2/2, çevre 6·√2/2 = 3√2 ≈ 4,24. Açınımda (“merdiven gibi” 6 yüz) bu bir doğru parçasıdır.

1. AA₁ ∥ CC₁ → aynı düzlemdedirler, yani ACC₁A₁ düzlemsel bir dörtgendir.
2. Bir çift karşılıklı kenar (AA₁ ve CC₁) eşit ve paraleldir → ACC₁A₁ bir paralelkenardır.
3. Paralelkenarın karşılıklı kenarları paraleldir → AC ∥ A₁C₁. ∎

1. AB ∥ DC ve DC ∥ D₁C₁ (yüzler paralelkenar) → AB ∥ D₁C₁ (T2). Ayrıca AB = DC = D₁C₁.
2. Yani ABC₁D₁’in bir çift karşılıklı kenarı eşit ve paraleldir → paralelkenar.
3. O zaman diğer kenar çifti AD₁ ve BC₁ paraleldir. ∎

1. Yan ayrıtlar (6): hepsi birbirine paraleldir → her biri 5 çiftte → 6·5/2 = 15.
2. Taban ayrıtları (12): her biri 3 ayrıta paraleldir (aynı tabandaki karşı ayrıt + diğer tabanda 2 ayrıt) → 12·3/2 = 18.
3. Toplam 15 + 18 = 33 çift.

Paralel veya aykırı olabilirler. Bu yüzden “kesişmiyor” yetmez — “aynı düzlemde” de gerekir.

Küpte: AB ile CC₁ aykırı, CC₁ ile DA aykırı, ama AB ile DA kesişir.

AB ve BC ikisi de üst yüze paraleldir ama kesişirler. A₁B₁ ∥ (ABC), ama A₁B₁ ile BC aykırıdır.

A₁B₁ ∥ (ABC), AB ∥ A₁B₁, ama AB, (ABC)’dedir.

B’den geçen ve α’ya paralel düzlemdeki, B’den geçen tüm doğrular. Bu düzlem ise tektir.

α’daki doğrular kesişmelidir. Birbirine paralel iseler düzlemler kesişebilir (örn. ABB₁ ve BCC₁ yüzleri paralel AA₁ ve CC₁’i içerir ama BB₁ boyunca kesişir).

Küp: A₁B₁; CD; C₁D₁. Düzgün altıgen prizma: A₁B₁; DE; D₁E₁; CF; C₁F₁ (CF uzun köşegendir, AB’ye paraleldir).

1. AA₁: BCC₁; CDD₁; BDD₁.
2. AB₁: CDD₁; DA₁C₁; BDC₁.
3. AC₁ (cisim köşegeni): yoktur.

O₁, A₁B₁C₁D₁’in merkezi olsun. A₁O ∥ CO₁ (A₁O₁CO paralelkenardır) ve CO₁, (CB₁D₁)’dedir ⇒ T4’e göre A₁O ∥ (CB₁D₁).

1. BC₁ ∥ AD₁ ⇒ ACD₁ düzlemi AC’yi içerir ve BC₁’e paraleldir.
2. BA₁ ∥ CD₁ ve BC₁ ∥ AD₁ ⇒ (BA₁C₁) ∥ (ACD₁).
3. Aykırı BA₁ ve CB₁ için: (BDA₁) ∥ (CB₁D₁).

1. AB ve AD (kesişen, ABC’de) ∥ A₁B₁ ve A₁D₁ (A₁B₁C₁’de) ⇒ ∥.
2. AB₁ ve AD₁ (kesişen, AB₁D₁’de) ∥ DC₁ ve BC₁ (BDC₁’de) ⇒ ∥. ∎

AB ∥ ED ∥ CF (düzgün altıgende). DEE₁ yüzü ve CFF₁ köşegen kesiti ABB₁’e paraleldir. b) için kanıt: AB ve AA₁, DE ve EE₁’e ∥ ⇒ T5.

1. AB, BC, DE, EF α’yı keser; CD ∥ AF ⇒ CD ∥ α.
2. AB ∥ CD ⇒ AB ∥ (SCD) ⇒ SAB ile SCD’nin kesişim doğrusu AB’ye ∥, yani ABCD düzlemine ∥.

Yalnızca ayrıtlar değil: yüz köşegenleri ve cisim köşegenleri de.

1. Ayrıtlar: CC₁, DD₁, A₁D₁, B₁C₁.
2. Yüz köşegenleri: CB₁, DA₁, CD₁, DC₁, A₁C₁, B₁D₁.
3. Cisim köşegenleri: CA₁, DB₁.
4. Toplam 12. Koordinatlarla kontrol edildi.

1. EG ve FH’nin aynı α düzleminde olduğunu varsayalım.
2. O zaman E, G, F, H ∈ α, yani EF ve GH doğruları da α’dadır.
3. Bu koşulla çelişir. Demek ki EG ve FH aynı düzlemde değildir → aykırıdır. ∎

Üç dikme teoremi: N’yi tabana indir.

1. N′ = N’nin ABCD’ye izdüşümü = BC’nin orta noktası = (6, 3, 0). NN′ = 6.
2. Tabanda N′’den AK’ye uzaklık: △AN′K’nin alanı = ½|6·6 − 3·4| = 12, AK = √(16 + 36) = 2√13 → d = 2·12/(2√13) = 12/√13.
3. H, N′’den AK’ye inilen dikmenin ayağı olsun. N′H ⊥ AK ve NN′ ⊥ taban → üç dikme teoremine göre NH ⊥ AK.
4. NH² = NN′² + N′H² = 36 + 144/13 = 612/13 → NH = 6√221/13 ≈ 6,86.

Doğrular aykırıdır. Uzaklık, ortak dikmenin uzunluğudur.

1. Doğrultular: u = MN = (3, 3, 6) ∼ (1, 1, 2), w = AK = (4, 6, 0) ∼ (2, 3, 0).
2. İkisine de dik vektör: n = u × w = (1·0 − 2·3, 2·2 − 1·0, 1·3 − 1·2) = (−6, 4, 1).
3. Uzaklık = |AM · n| / |n| = |(3, 0, 0)·(−6, 4, 1)| / √(36 + 16 + 1) = 18/√53.
4. d = 18√53/53 ≈ 2,47.

1. Düzlemin normali: MN × MK = (3, 3, 6) × (1, 6, 0) = (−36, 6, 15) ∼ (−12, 2, 5).
2. Denklem: −12x + 2y + 5z = −36 (M, N, K ile kontrol et).
3. A₁(0, 0, 6)’dan uzaklık: |−12·0 + 2·0 + 5·6 + 36| / √(144 + 4 + 25) = 66/√173.
4. d = 66√173/173 ≈ 5,02.

1. Küp: A₁D₁; B₁C₁; DD₁; CC₁ (4 ayrıt).
2. Dörtyüzlü: AB ve CD; BC ve AD; AC ve BD.
3. SABCD: SA–BC, SA–CD, SB–AD, SB–CD, SC–AB, SC–AD, SD–AB, SD–BC.

Üçgenlerin benzerliği.

1. A’dan A′B′’ye paralel bir doğru çiz; bu doğru CC′’yü C″’de, BB′’yü B″’de keser. O zaman A′C′C″A ve A′B′B″A paralelkenardır: C″C′ = B″B′ = a.
2. Yani B″B = b − a ve x = C″C olsun.
3. △ACC″ ∼ △ABB″ (CC″ ∥ BB″): x/(b − a) = AC/AB = m/(m + n) → x = m(b − a)/(m + n).
4. c = CC′ = a + x = (am + an + mb − ma)/(m + n) = (na + mb)/(m + n).
5. Kontrol: orta nokta (m = n) → c = (a + b)/2 (yamuğun orta tabanı).

1. a) uç uca ekleme ✓. b) B’den 3 ayrıt → cisim köşegeni ✓.
2. c) DA + DC = DB; −D₁D = DD₁ = BB₁; DB + BB₁ = DB₁ ✓.
3. ç) AB + BC + CC₁ = AC₁. Kalan: −D₁C₁ + D₁A = C₁D₁ + D₁A = C₁A. Toplam AC₁ + C₁A = 0 ≠ AC₁ → hayır.

1. a) paralelkenar → AB₁. b) BC = AD → AA₁ + AD = AD₁.
2. c) C₁C = −AA₁ → sıfır vektör. ç) ½(CB − CA) = ½AB.

1. Grupla: AC₁ + C₁C = AC; AC + CA = 0.
2. Kalan B₁D₁ + C₁B + A₁D₁. A₁D₁ = B₁C₁ yaz: B₁C₁ + C₁B = B₁B.
3. B₁B + B₁D₁ = B₁D (BB₁D₁D paralelkenarı).

1. a) A₁D₁ = BC → AB + BC = AC, |AC| = √2.
2. b) A₁D = B₁C → AB₁ + B₁C = AC → √2.
3. c) BC₁ = AD₁ → AB₁ + AD₁ = 2·AO₁ (O₁, B₁D₁’in orta noktası). |AO₁| = √(1 + ½) → uzunluk 2·√(3/2) = √6.

Koordinatlarla kontrol: AB₁ = (1,0,1), BC₁ = (0,1,1), toplam (1,1,2), uzunluk √(1+1+4) = √6.

1. A₁C₁ = AC → AB + AC = 2·AO (O, BC’nin orta noktası), |AO| = √3/2 → √3.
2. CC₁ = BB₁ → AB + BB₁ = AB₁ → √2.
3. CB₁ = CB + BB₁; BA + CB = CA; CA + BB₁ = CA + AA₁ = CA₁ → √2.

1. SC = SA + AC = SA + AB + AD.
2. Merkezi O olan düzgün altıgen: AO = AB + AF, AD = 2·AO → SD = SA + 2(AB + AF).
3. AC = AB + BC, BC = AO = AB + AF → AC₁ = 2AB + AF + AA₁.
4. CD = BC − AB, B₁C₁ = BC → AB + CD + B₁C₁ = 2BC = AD; artı EE₁ = AA₁ → AD₁.

1. G, BD’nin orta noktası olsun.
2. EG, △ABD’de orta tabandır → EG = ½AD. GF, △BCD’de orta tabandır → GF = ½BC.
3. EF = EG + GF = ½(AD + BC). ∎

1. Σ’da O’dan geçen doğrulara bakmak yeterlidir (paralel kaydırma açıyı değiştirmez).
2. X, p üzerinde herhangi bir nokta, Y onun Σ’ya izdüşümü (p′ üzerinde), Z de X’in O’dan geçen bir q′ ⊂ Σ doğrusuna izdüşümü olsun.
3. XY düzleme diktir → XY ≤ XZ (dikme en kısadır).
4. sin ∠XOY = XY/XO ≤ XZ/XO = sin ∠XOZ ve iki açı da [0°, 90°] aralığındadır.
5. Yani ∠XOY ≤ ∠XOZ, yani ∠(p, Σ) en küçüktür. ∎

Vektörlerle (kısa açıklama).

1. e₁, e₂, p₁ ve p₂’nin birim vektörleri, u da p’nin birim vektörü olsun. Eşit açılar ⇔ |u·e₁| = |u·e₂|.
2. Bu ⇔ u·(e₁ − e₂) = 0 veya u·(e₁ + e₂) = 0.
3. e₁ + e₂ ve e₁ − e₂ iki açıortayın doğrultularıdır → p bunlardan birine diktir. ∎

1. X ∈ p, X′ = X’in Σ’ya izdüşümü, Xᵢ = X’in pᵢ’ye izdüşümü (i = 1, 2).
2. ∠XOX₁ = ∠XOX₂ (koşul), ∠XX₁O = ∠XX₂O = 90°, XO ortak → △XOX₁ ≅ △XOX₂, yani OX₁ = OX₂ ve XX₁ = XX₂.
3. Üç dikme teoremi: XX₁ ⊥ p₁ ⇒ X′X₁ ⊥ p₁; aynı şekilde X′X₂ ⊥ p₂.
4. △OX₁X′ ≅ △OX₂X′ (dik açılar, OX₁ = OX₂, OX′ ortak) → X′X₁ = X′X₂.
5. X′, p₁ ve p₂’ye eşit uzaklıktadır → açıortay üzerindedir: ∠X₁OX′ = ∠X₂OX′. ∎

1. 4a + 4b + 4c = 12 → a + b + c = 3.
2. V = abc·sinφ·sinψ ≤ abc, eşitlik φ = ψ = 90° iken (dikdörtgenler prizması).
3. Aritmetik ve geometrik ortalama eşitsizliği: ∛(abc) ≤ (a + b + c)/3 → abc ≤ ((a+b+c)/3)³ = 1.
4. Eşitlik a = b = c iken → ayrıtı 1 olan küp, V = 1.

1. S = 1, h = 1·sin60° = √3/2.
2. V = √3/2.

1. V = abc·sinφ·sinψ = 1·1·1·sin60°·sin60°.
2. V = √3/2 · √3/2 = 3/4.

1. O ortak köşe, OX üçüncü ayrıttır (uzunluk 1). A, X’in tabana izdüşümü; B, X’in OY ayrıtına izdüşümüdür. XA ⊥ taban ve XB ⊥ OB ⇒ AB ⊥ OB (üç dikme).
2. XB = sin60° = √3/2, OB = cos60° = ½. ∠XOY = ∠XOZ ⇒ A açıortay üzerindedir ⇒ ∠AOB = 30° ⇒ OA = 2AB.
3. OA² = AB² + ¼ → 4AB² = AB² + ¼ → AB² = 1/12.
4. XA² = XB² − AB² = ¾ − 1/12 = 2/3 → H = √(2/3) = √6/3.
5. V = B·H = 1·1·sin60°·√6/3 = √2/2.

Eritmede hacim korunur (alan değil!).

1. V₁ = 12³ = 1728, V₂ = 5³ = 125.
2. V = 1728 + 125 = 1853 = a³.
3. a = ∛1853 ≈ 12,28. (Alanlı soruyla karşılaştır; orada 13 çıkar.)

1. S₂ yüzünün a ayrıtına ait yüksekliği: S₂/a.
2. Cismin S₁ yüzüne ait yüksekliği: h = (S₂/a)·sin150° = S₂/(2a).
3. V = S₁·h = S₁S₂/(2a).

Cisim köşegeni verilmiş, bu yüzden üçüncü ayrıtı hesaplamalıyız.

1. Taban köşegeni d = √(a² + b²).
2. Tabanda 60° açılı dik üçgen (c, d, D): c/d = tan60° = √3 → c = √3·√(a² + b²) = √(3a² + 3b²).
3. V = abc = ab√(3a² + 3b²).
4. P = 2ab + 2(a + b)c = 2ab + 2(a + b)√(3a² + 3b²).

1. V = B·H, B = (a + b)/2 · h → V = (a + b)/2 · h · H.
2. Paralel yan yüzler: P₁ = aH, P₂ = bH → (P₁ + P₂)/2 = (a + b)/2 · H.
3. Bu yüzler arasındaki uzaklık yamuğun yüksekliğidir: d = h.
4. (P₁ + P₂)/2 · d = (a + b)/2 · H · h = V. ∎

1. Yüzün orta doğrusu, karşılıklı 2 ayrıtın orta noktalarından geçer.
2. Döndürmeden sonra küp 2 yönde yarım ayrıt kaymıştır.
3. Ortak kısım a × a/2 × a/2 dikdörtgenler prizmasıdır.
4. V = a³/4 = V/4.

1. H = 6·sin60° = 3√3, B = 4²√3/4 = 4√3.
2. V = 4√3 · 3√3 = 36 cm³.
3. V = Q·s (Q = dik kesit) → Q = 36/6 = 6 cm².

1. P₁ = 6·12², P₂ = 6·5² = 150. 6x² = 6(144 + 25) → x² = 169.
2. x = 13, V = 13³ = 2197.

1. Köşegen tabanı 9, 10, 17 kenarlı üçgenlere böler. s = (9 + 10 + 17)/2 = 18.
2. Heron: √(18·9·8·1) = 36 → B = 2·36 = 72.
3. P = 2B + 2(a + b)H → 334 = 144 + 38H → H = 5.
4. V = 72·5 = 360 cm³.

Tabanın uzun köşegeni 120°’lik geniş açının karşısındadır.

1. d² = 1² + 4² − 2·1·4·cos120° = 17 + 4 = 21.
2. D² = d² + H² → 25 = 21 + H² → H = 2.
3. B = 1·4·sin60° = 2√3 → V = 2√3·2 = 4√3 ≈ 6,93 cm³.

1. Köşegen kesit = d × H dikdörtgeni. Kare → d = H = 1.
2. a = 3k, b = 4k → d = 5k = 1 → k = 0,2 → a = 0,6, b = 0,8.
3. P = 2(0,48 + 0,6 + 0,8) = 3,76 m², V = 0,6·0,8·1 = 0,48 m³.

1. Üçgen (H, d = a√2, D): tan30° = H/(a√2) → H = a√6/3.
2. M = 4aH = 4a²√6/3 = 12√6 → a² = 9 → a = 3, H = √6.
3. P = 2·9 + 12√6 = 18 + 12√6 cm², V = 9√6 ≈ 22,05 cm³.

1. A’nın BCC₁B₁ yüzüne uzaklığı AB = a → sin30° = a/D → D = 2a.
2. D² = 2a² + H² → 4a² = 2a² + H² → H = a√2.
3. V = a²·a√2 = a³√2.

1. Taban kenarları: 125/5 = 25, 85/5 = 17, 140/5 = 28.
2. Heron: s = 35, B = √(35·10·18·7) = 210.
3. V = 210·5 = 1050 dm³.

1. B = V/H = 12. Taban kenarı 2x olsun: B = x·√(25 − x²) = 12.
2. x⁴ − 25x² + 144 = 0 → x² = 16 veya 9 → taban kenarı 8 veya 6.
3. Taban 8: P = 24 + 10·18 = 204. Taban 6: P = 24 + 10·16 = 184. (İki çözüm!)

1. M = P/2 → M = 2B → 3aH = 2·a²√3/4 → H = a√3/6.
2. V = a²√3/4 · a√3/6 = a³/8.

1. Taban kenarları: 9/H, 10/H, 17/H — bu, H kat küçültülmüş △(9, 10, 17)’dir.
2. △(9, 10, 17)’nin alanı 36 → 36/H² = 4 → H = 3.
3. V = 4·3 = 12 cm³.

1. Köşegenin izdüşümü = 2a (altıgenin uzun köşegeni).
2. H = d·cos30° = d√3/2; 2a = d·sin30° → a = d/4.
3. V = 3a²√3/2 · H = 9d³/64.

1. a = 1,5H. h² = H² + (a/2)² = H² + 0,5625H² → h = 1,25H.
2. M = 4·a·h/2 = 2ah = 3,75H² = 135 → H = 6, a = 9.
3. V = ⅓·81·6 = 162 cm³.

1. Üçgen (H, R, s): s² = H² + a²/2 (çünkü R² = a²/2).
2. 81 = H² + (H+1)²/2 → 3H² + 2H − 161 = 0 → H = 7, a = 8.
3. V = ⅓·64·7 = 448/3 ≈ 149,3 cm³.

1. a·h/2 = a² → h = 2a. h² = H² + a²/4 → a² = 4H²/15.
2. P = a² + 4a² = 5a² = 4H²/3.
3. V = ⅓a²H = 4H³/45.

1. Yamuğun yüksekliği √(7² − 1²) = 4√3; köşegen √(4² + 48) = 8.
2. Kesişim noktası köşegeni 5 : 3 böler → uzun parça = 5.
3. H = √(10² − 5²) = 5√3, B = (3+5)/2·4√3 = 16√3 → V = ⅓·16√3·5√3 = 80 cm³.

1. (H, r = a/2, h): h = r/cos60° = a, H = r·tan60° = a√3/2.
2. P = a² + 2a·a = 3a².
3. V = ⅓a²·a√3/2 = a³√3/6.

1. Q = ½·a√2·H → a² = 2Q²/H².
2. V = ⅓a²H = 2Q²/(3H). H = 8, Q = 60 için: V = 7200/24 = 300.

1. Taban: kenarı a√2/2 olan kare → B = a²/2. H = a.
2. Yan yüz yüksekliği h = √(a² + (a√2/4)²) = 3a√2/4 → M = 4·½·(a√2/2)(3a√2/4) = 3a²/2.
3. P = a²/2 + 3a²/2 = 2a², V = ⅓·(a²/2)·a = a³/6.

1. s² = H² + a²/2 → 136 = H² + 72 → H = 8.
2. x yüksekliğinde kesit a·(H − x)/H kenarlı karedir. Küp: x = 12(8 − x)/8 → x = 4,8 cm.
3. Küpün üstü: tabanı 4,8², yüksekliği 3,2 olan piramit → V = ⅓·23,04·3,2 = 24,576 cm³.

1. (H, R, s): H = s·sinα, R = s·cosα, a = R√2 → a² = 2s²cos²α.
2. V = ⅓·2s²cos²α·s·sinα = ⅔s³cos²α·sinα.

1. 45° → H = R = d/2. Q = ½·d·H = d²/4 → d = 2√Q, H = √Q.
2. a² = d²/2 = 2Q → V = ⅓·2Q·√Q = 2Q√Q/3.

1. a² = ½·a√2·H → H = a√2. h = √(2a² + a²/4) = 3a/2.
2. M = 2ah = 3a², V = ⅓a²·a√2 = a³√2/3.

1. Paralelkenarın yükseklikleri: 90/10 = 9 ve 90/18 = 5 → merkezden kenarlara: 4,5 ve 2,5.
2. Yan yüz yükseklikleri: √(36 + 4,5²) = 7,5 ve √(36 + 2,5²) = 6,5.
3. M = 2·½·10·7,5 + 2·½·18·6,5 = 75 + 117 = 192 cm².

1. H = 2a, r = a√3/6 → h = √(4a² + a²/12) = 7a√3/6.
2. P = a²√3/4 + 3·½·a·h = a²√3/4 + 7a²√3/4 = 2a²√3 = 8√3 → a = 2, H = 4.
3. V = ⅓·√3·4 = 4√3/3 ≈ 2,31.

1. H = a√6/3, B = a²√3/4 → V = ⅓·(a²√3/4)·(a√6/3) = a³√2/12.
2. AB₁CD₁ = 4 “köşesi” kesilmiş küp; her birinin V = ⅓·(a²/2)·a = a³/6 → a³ − 4a³/6 = a³/3 → oran 3 : 1.

1. H = a√6/3 → a² = 3H²/2.
2. P = a²√3 = 3√3H²/2.

1. r = a√3/6, h = r/cos60° = a√3/3.
2. P = a²√3/4 + 3·½·a·a√3/3 = 3a²√3/4.

Eşit yan ayrıtlar → yükseklik ayağı çevrel çemberin merkezidir (R).

1. Yan kenar = √(3² + 9²) = 3√10, B = 27, R = abc/(4B) = 6·90/108 = 5.
2. H = √(13² − 5²) = 12 → V = ⅓·27·12 = 108 cm³.

1. B = 3a²√3/2 = 6√3, M = 18√3 = 6·½·2·h → h = 3√3.
2. r = a√3/2 = √3 → H = √(27 − 3) = 2√6.
3. P = 24√3, V = ⅓·6√3·2√6 = 12√2 ≈ 16,97.

1. (n−2)·180° = 720° → n = 6 (altıgen, R = a).
2. H = s·cos30° = s√3/2, a = R = s·sin30° = s/2.
3. V = ⅓·(3a²√3/2)·H = 3s³/16.

1. Kesit tepeden 12 − 9 = 3 dm uzaktadır → oran 3 : 12 = 1 : 4.
2. Alanlar (1/4)² = 1/16 oranındadır → B = 16·450 = 7200 cm² = 72 dm².
3. V = ⅓·72·12 = 288 dm³.

1. Yan yüz = ikizkenar yamuk: h′ = √(10² − 6²) = 8 → M = 4·(13+1)/2·8 = 224.
2. P = 169 + 1 + 224 = 394 cm².
3. H = √(8² − 6²) = 2√7 → V = (2√7/3)(169 + 13 + 1) = 122√7 ≈ 322,8 cm³.

1. M = B₁ + B₂ = 144 + 36 = 180 = 4·(12+6)/2·h′ → h′ = 5.
2. H = √(5² − 3²) = 4.
3. V = (4/3)(144 + 72 + 36) = 336 cm³.