Подготовка за тест: изводи и нивни примени

Максимум во \(c\): за мало \(\Delta x\), \(f(c+\Delta x)-f(c)\le0\).

\(f\) е диференцијабилна во \(c\), па \(f'(c^-)=f'(c^+)=f'(c)\). Од \(\ge0\) и \(\le0\) следува \(f'(c)=0\). \(\blacksquare\)

Минимум во \(c\): сега \(f(c+\Delta x)-f(c)\ge0\). Лево: броител ≥ 0, именител < 0, па \(f'(c^-)\le0\). Десно: \(f'(c^+)\ge0\). Значи \(f'(c)=0\). \(\blacksquare\)

\(f'(c)=0\) не значи екстрем. \(f(x)=x^3\) на \([-1,1]\): \(f'(x)=3x^2=0\iff x=0\), но за \(x<0\) имаме \(f(x)<f(0)\), а за \(x>0\) имаме \(f(x)>f(0)\). Во 0 нема екстрем.

Без диференцијабилност не важи. \(f(x)=|x|\) на \([-1,1]\) има минимум во 0, но \(f'(0^-)=-1\), \(f'(0^+)=1\), значи \(f'(0)\) не постои.

Ако \(f\) е константа на \([a,b]\), тогаш \(f'(c)=0\) за секое \(c\).

Ако не е константа: секоја непрекината функција на сегмент ги достигнува својот максимум \(M\) и минимум \(m\), значи постојат \(\xi_1,\xi_2\in[a,b]\) со \(f(\xi_1)=m\le f(x)\le M=f(\xi_2)\). Бидејќи \(f(a)=f(b)\) и \(m\ne M\), барем едната од нив е во внатрешноста \((a,b)\). Таму има локален екстрем, па по Ферма \(f'=0\). \(\blacksquare\)

Помошна функција:

\(g\) е непрекината на \([a,b]\) и диференцијабилна на \((a,b)\) како линеарна комбинација на такви функции. Пресметуваме:

Значи на \(g\) може да се примени Рол: постои \(\xi\in(a,b)\) со \(g'(\xi)=0\):

Рол за \(h\): \(h'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=0\), од каде следува тврдењето. \(\blacksquare\)

Честа грешка: во именителот на \(h(x)\) да се запише \(b-a\). Точно е \(g(b)-g(a)\), како погоре.

а) \(f\) е непрекината и \(f(1)=f(3)=1\). Но \(|x-2|'=\begin{cases}1,&x>2\\-1,&x<2\end{cases}\), во \(x=2\in(1,3)\) изводот не постои. Условот 2) паѓа, Рол не важи.

б) \(f=x^{2/3}\) е непрекината и \(f(-1)=f(1)=1\). Но \(f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]x}\) не постои во \(x=0\). Условот 2) паѓа.

в) На \([\frac\pi6,\frac{5\pi}6]\) имаме \(\sin x\ge\frac12>0\), па \(\ln(\sin x)\) е непрекината. \(f'(x)=\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{ctg}x\) постои. \(f(\frac\pi6)=f(\frac{5\pi}6)=\ln\frac12\). Ги исполнува условите; \(\operatorname{ctg}\xi=0\Rightarrow\xi=\frac\pi2\).

Двете се полиноми. \(f'(x)=2x+2\ne0\) на \((-1,1)\). \(f(1)-f(-1)=3-(-1)=4\), \(g(1)-g(-1)=2\).

\(\xi_1\approx0{,}768\) и \(\xi_2\approx-0{,}434\), и двете се во \((-1,1)\).

\(\sin\) е непрекината и диференцијабилна на \(\mathbb R\). Лагранж на \([x,y]\): постои \(\xi\) со

Лагранж за \(f=\operatorname{arctg}x\) на \([x_1,x_2]\):

Лагранж за \(\ln x\) на \([x_1,x_2]\): \(\ln x_2-\ln x_1=\frac{1}{\xi}(x_2-x_1)\), \(x_1<\xi<x_2\). Од \(\frac1{x_2}<\frac1\xi<\frac1{x_1}\), со множење со \(x_2-x_1>0\), следува тврдењето. \(\blacksquare\)

Лагранж за \(x^n\) на \([a,b]\): \(b^n-a^n=n\xi^{n-1}(b-a)\), \(a<\xi<b\). Бидејќи \(na^{n-1}<n\xi^{n-1}<nb^{n-1}\), множиме со \(b-a>0\). \(\blacksquare\)

\(h=f-g\) е непрекината и диференцијабилна, \(h'=0\). За произволни \(x_0,x\), по Лагранж: \(h(x)-h(x_0)=h'(\xi)(x-x_0)=0\). Значи \(h(x)=h(x_0)=C\), т.е. \(f(x)=g(x)+C\). \(\blacksquare\)

Главна последица: ако \(f'=0\) на интервал, \(f\) е константа. Оттука следуваат задачите 8, 9 и 10.

\(f(x)=1-\cos^2x-\sin^2x\). \(f'(x)=2\cos x\sin x-2\sin x\cos x=0\Rightarrow f=C\). \(f(0)=1-1-0=0\Rightarrow f\equiv0\). \(\blacksquare\)

\(g(x)=\frac{f(x)}{e^x}\). \(g'(x)=\frac{f'(x)e^x-f(x)e^x}{e^{2x}}=\frac{f'(x)-f(x)}{e^x}=0\Rightarrow g=C\). \(f(x)=Ce^x\).

Прво: \(\frac{d}{dx}\big(f^2+(f')^2\big)=2ff'+2f'f''=2f'(f+f'')=0\), па \(f^2+(f')^2=K\). Оттука \(|f|\le\sqrt K\), ограничена.

Нека \(a=f(0)\), \(b=f'(0)\) и \(g(x)=f(x)-a\cos x-b\sin x\). Тогаш \(g''+g=0\), \(g(0)=0\), \(g'(0)=0\). Според првиот дел \(g^2+(g')^2=\text{const}=g(0)^2+g'(0)^2=0\), па \(g\equiv0\). \(f(x)=a\cos x+b\sin x\).

Делиме со \(5^x\): \(\left(\frac35\right)^x+\left(\frac45\right)^x=1\). Нека \(\varphi(x)=\left(\frac35\right)^x+\left(\frac45\right)^x-1\).

бидејќи \(\frac35,\frac45<1\Rightarrow\ln<0\). \(\varphi\) е строго опаѓачка, па има најмногу една нула. \(\varphi(2)=\frac9{25}+\frac{16}{25}-1=0\). Единствено решение \(x=2\).

Трикот: најди функција чиј извод е \(f\). Бидејќи \((\sin kx)'=k\cos kx\):

\(g\) е непрекината и диференцијабилна, \(g(0)=\sum\frac{a_k}k\sin0=0\), \(g(\pi)=\sum\frac{a_k}k\sin k\pi=0\). По Рол постои \(\xi\in(0,\pi)\) со \(g'(\xi)=f(\xi)=0\). \(\blacksquare\)

Нека \(a<x_1<\dots<x_{n+1}<b\) се нули. Полиномот е непрекинат и диференцијабилен. На секој од \(n\)-те сегменти \([x_k,x_{k+1}]\) важи Рол: \(P(x_k)=P(x_{k+1})=0\), па постои \(\xi_k\) со \(P'(\xi_k)=0\). Значи \(P'\) има барем \(n\) нули. Истото за \(P'\): \(P''\) има \(n-1\) нули, …, \(P^{(n)}\) има барем една нула. \(\blacksquare\)

По теоремата за средна вредност (Болцано), постои \(\xi\in(a,b)\) со \(f(\xi)=\frac{a+b}2\). Лагранж на \([a,\xi]\) и \([\xi,b]\):

За \(x_1<x_2\) во \((a,b)\), Лагранж: \(f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\). \(x_2-x_1>0\), па \(f(x_2)-f(x_1)\) има ист знак како \(f'(\xi)\). Ако \(f'>0\), тогаш \(f(x_2)>f(x_1)\). \(\blacksquare\)

• Рол \(x^2-6x+5\), \([1,5]\): \(\xi=3\)
• Рол \(x^3-4x\), \([-2,2]\): \(\xi=\pm\frac2{\sqrt3}\)
• Лагранж \(x^3\), \([0,2]\): \(3\xi^2=4\), \(\xi=\frac2{\sqrt3}\)
• Лагранж \(\ln x\), \([1,e]\): \(\xi=e-1\)
• Лагранж \(\sqrt x\), \([1,4]\): \(\xi=\frac94\)
• Коши \(f=x^2,\ g=x^3\), \([1,2]\): \(\frac{2}{3\xi}=\frac37\), \(\xi=\frac{14}9\)

Постои \(\delta>0\) со \([x_0-\delta,x_0]\subseteq[a,b]\). Таму \(f,g\) ги задоволуваат условите на Коши:

Кога \(\delta\to0\), и \(\xi\to x_0\). Со \(x=x_0-\delta\) добиваме \(\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac fg=\lim\frac{f'}{g'}\). Слично на \([x_0,x_0+\delta]\) за десната граница. Левата и десната се еднакви на \(L\). \(\blacksquare\)

За \(x_0=\pm\infty\): смена \(t=\frac1x\to0^+\):

Земи точка \(x_1\) блиску до \(x_0\). По Коши на \([x_1,x]\):

Значи \(\lim\frac fg=L\). \(\blacksquare\)

Тип \(\frac\infty\infty\). Применуваме Лопитал \(n\) пати; секој пат степенот на \(x\) паѓа за 1:

Строго со индукција: \(n=1\): \(\lim\frac x{e^x}=\lim\frac1{e^x}=0\). Ако важи за \(n=k\), тогаш за \(k+1\): \(\lim\frac{x^{k+1}}{e^x}=(k+1)\lim\frac{x^k}{e^x}=(k+1)\cdot0=0\). \(\blacksquare\)

Поука: \(\ln x\ll x^n\ll e^x\) кога \(x\to\infty\). Ова го користиш и кај асимптотите.

Тип \(\frac00\), Лопитал по \(h\):

Трикот е „додај и одземи \(f'(x_0)\)“ за да добиеш две дефиниции на извод. Внимавај: во броителот е \(-2f(x_0)\).

Трикот: множи и дели со \(e^{\sqrt x}\). Именителот оди во \(\infty\), па применуваме Лопитал:

\(f(x)=x^3-3x\): \(f'=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1\). Расте на \((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\), опаѓа на \((-1,1)\). Max \((-1,2)\), min \((1,-2)\).

\(f(x)=\sqrt{2x-x^2}\): \(D_f=[0,2]\), \(f'=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\). Расте на \((0,1)\), опаѓа на \((1,2)\), max \((1,1)\). Графикот е горна полукружница \((x-1)^2+y^2=1\).

Дефиниција: \(f\) е конвексна на \((\alpha,\beta)\) ако за секои \(x_1,x_2\) и \(\lambda\in[0,1]\):

Тетивата е над кривата. Со \(\ge\) е конкавна. Теорема: \(f''>0\Rightarrow\cup\), \(f''<0\Rightarrow\cap\).

Правило за превој: ако \(f'(x_0)=f''(x_0)=0\) и \(f'''(x_0)\ne0\), во \(x_0\) има превој. Пример \(x^3\): \(f'(0)=f''(0)=0\), \(f'''=6\ne0\).

1. Област, нули, знак

\(D_f=\mathbb R\setminus\{1\}\). Ниту парна ниту непарна. Нула: \(2x-1=0\Rightarrow A(\frac12,0)\). Пресек со \(y\): \(B(0,-1)\). \(y>0\iff x>\frac12\) (\(x\ne1\)).

2. Асимптоти

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=0\Rightarrow y=0\) хоризонтална. \(\lim\limits_{x\to1^\pm}y=\frac{1}{0^+}=+\infty\Rightarrow x=1\) вертикална.

3. Прв извод

\(y'=0\Rightarrow x=0\). \(y'>0\iff\frac{x}{x-1}<0\iff x\in(0,1)\). Опаѓа на \((-\infty,0)\cup(1,\infty)\). Локален минимум \((0,-1)\).

4. Втор извод

\(y''=0\Rightarrow x=-\frac12\). Конкавна за \(x<-\frac12\), конвексна за \(x>-\frac12\). Превој \(P(-\frac12,-\frac89)\).

1. Област, нули, парност

\(D_f=\mathbb R\setminus\{0\}\). \(e^{(\dots)}>0\): нема нули. \(f(-x)=f(x)\): парна.

2. Асимптоти

\(\lim\limits_{x\to0}e^{-1/x^2}=e^{-\infty}=0\). Границата е конечна, па нема вертикална асимптота (графикот се приближува до \((0,0)\), но таа точка не е во \(D_f\)). \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}e^{-1/x^2}=e^0=1\Rightarrow y=1\) хоризонтална.

3. Прв извод

\(f'\ne0\). \(\operatorname{sgn}f'=\operatorname{sgn}x\): опаѓа за \(x<0\), расте за \(x>0\). Нема екстреми (0 не е во \(D_f\)).

4. Втор извод

\(f''=0\iff x=\pm\sqrt{\frac23}\approx\pm0{,}82\). Конвексна на \((-\sqrt{\frac23},0)\cup(0,\sqrt{\frac23})\), конкавна надвор. Превојни точки \(\left(\pm\sqrt{\frac23},e^{-3/2}\right)\approx(\pm0{,}82;\ 0{,}22)\).

1. Област, нули, парност

\(D_f=\mathbb R\setminus\{\pm1\}\). Нула \(x=0\). \(f(-x)=-f(x)\): непарна. Знак: \(+\) на \((-1,0)\cup(1,\infty)\), \(-\) на \((-\infty,-1)\cup(0,1)\).

2. Асимптоти

Вертикални \(x=\pm1\). Хоризонтална \(y=0\) (\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2-1}=0\)).

3. Прв извод

\(f'=0\Rightarrow x^2=-1\), нема реално решение. Нема стационарни точки; функцијата секогаш опаѓа.

4. Втор извод

\(f''=0\iff x=0\). Конвексна на \((-1,0)\cup(1,\infty)\), конкавна на \((-\infty,-1)\cup(0,1)\). Превој \(O(0,0)\).

\(D_f=\mathbb R\), парна, нема нули, пресек \((0,1)\). Нема вертикална; \(y=0\) хоризонтална на двете страни.

\(f'=-2xe^{-x^2}\): расте за \(x<0\), опаѓа за \(x>0\). Максимум \((0,1)\).

\(f''=2e^{-x^2}(2x^2-1)=0\iff x=\pm\frac{\sqrt2}2\). Конвексна за \(|x|>\frac{\sqrt2}2\), конкавна помеѓу. Превои \(\left(\pm\frac{\sqrt2}2,\frac1{\sqrt e}\right)\).

1. Област и скратување

\(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\Rightarrow D_f=\mathbb R\setminus\{1,-2\}\). Бидејќи \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\):

Ова го олеснува сè. Изводите земи ги од скратениот облик. Во \(x=1\) графикот има „дупка“ во \((1,1)\), а не асимптота.

2. Нули и пресеци

\(x^2+x+1>0\) секогаш, нема нули. Пресек со \(y\): \((0,\frac12)\).

3. Асимптоти

Вертикална \(x=-2\) (\(\lim\limits_{x\to-2^\pm}y=\pm\infty\)). Коса: \(k=1\), \(n=\lim(y-x)=-1\Rightarrow y=x-1\). Хоризонтална нема.

4. Прв извод

Max \((-2-\sqrt3,\,-3-2\sqrt3)\approx(-3{,}73;\,-6{,}46)\), min \((-2+\sqrt3,\,-3+2\sqrt3)\approx(-0{,}27;\,0{,}46)\).

5. Втор извод

\(y''=\frac{6}{(x+2)^3}\): конкавна за \(x<-2\), конвексна за \(x>-2\). Нема превојни точки.

\(y=x^4-4x^3+4x^2\), \(y'=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)\).

Min \((0,0)\), max \((1,1)\), min \((2,0)\).

\(y''=12x^2-24x+8=4(3x^2-6x+2)=0\iff x=1\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}42;\ 1{,}58\). Конвексна надвор од нив, конкавна помеѓу. Превои \(\left(1\pm\frac1{\sqrt3},\frac49\right)\).

\(x^2-1>0\iff|x|>1\), па \(D_f=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)\).

Честа грешка: \(D_f=\mathbb R\setminus\{1\}\). Тоа не е точно: точката \(x=0\), на пример, не е во областа.

\(y''<0\) на целата \(D_f\), значи функцијата е конкавна. \(\blacksquare\)

• а) \(\frac{x^3}{3x^2-4}\): непарна; ВА \(x=\pm\frac2{\sqrt3}\); коса \(y=\frac x3\); \(y'=\frac{3x^2(x^2-4)}{(3x^2-4)^2}\): max \((-2,-1)\), min \((2,1)\); превој \((0,0)\).
• б) \(\frac{x^3}{(x-1)^2}\): ВА \(x=1\); коса \(y=x+2\); \(y'=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}\): min \((3,\frac{27}4)\); \(y''=\frac{6x}{(x-1)^4}\): превој \((0,0)\).
• в) \((1-x)e^x\): ХА \(y=0\) кога \(x\to-\infty\) (со Лопитал); \(y'=-xe^x\): max \((0,1)\); \(y''=-(x+1)e^x\): превој \((-1,\frac2e)\).
• г) \(e^{-x^2/2}\): парна; ХА \(y=0\); max \((0,1)\); превои \((\pm1,\frac1{\sqrt e})\).

Проверка со Хорнерова шема (на нацрт)

\(P^{(k)}(0)=k!\,a_k\). Нема \(x^4\): \(a_4=0\); \(a_5=-10\). \(P^{IV}(0)=0,\ P^V(0)=-1200\).

\(f(1)=1\cdot\operatorname{arctg}1=\frac\pi4\)

\(f'(x)=\operatorname{arctg}x+\frac{x}{1+x^2}\Rightarrow f'(1)=\frac\pi4+\frac12\)

\(f''(x)=\frac1{1+x^2}+\frac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2}{(1+x^2)^2}\Rightarrow f''(1)=\frac12\)

\(f'''(x)=\frac{-8x}{(1+x^2)^3}\Rightarrow f'''(1)=-1\)

\((e^x)^{(n)}=e^x\), па \(f^{(n)}(0)=1\) за секое \(n\):

За секое фиксно \(x\): \(|R_n(x)|=\frac{e^{\theta x}|x|^{n+1}}{(n+1)!}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\) (факторијелот расте побрзо од степенот). Затоа

За \(e\) на 2 децимали: \(\frac{3}{(n+1)!}<0{,}005\iff(n+1)!>600\Rightarrow n=5\): \(e\approx2{,}7167\approx2{,}72\).

Не става \(x=6\): формулата работи за мали \(|x|\). Трик: \(\sqrt7=3\sqrt{1-\frac29}\), \(x=-\frac29\):

На 3 децимали: \(\sqrt7\approx2{,}646\).

cos: \(f^{(k)}=\cos(x+k\frac\pi2)\), \(f^{(k)}(0)\): 1, 0, −1, 0, …

ln(1+x): \(f^{(k)}=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}\Rightarrow\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{(-1)^{k-1}}{k}\).

(1+x)^m: \(f^{(k)}=m(m-1)\cdots(m-k+1)(1+x)^{m-k}\).

a^x: \(f^{(k)}=a^x\ln^ka\Rightarrow f^{(k)}(0)=\ln^ka\).

Остатоците се во табелата погоре.

1.

а) Непрекината е, \(f(0)=f(2)=1\), но \(f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}\) не постои во \(x=1\in(0,2)\). Условот 2) паѓа, Рол не важи.

б) Лагранж за \(\ln t\) на \([1,1+x]\): \(\ln(1+x)=\frac{x}{\xi}\), \(1<\xi<1+x\). Од \(\frac1{1+x}<\frac1\xi<1\) следува \(\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x\). \(\blacksquare\)

2.

а) \(\frac00\to\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}\to\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}\to\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x}=\) 2.

б) \(\infty^0\): \(e^{\lim\operatorname{tg}x\cdot(-\ln x)}\), \(-\frac{\ln x}{\operatorname{ctg}x}\to\frac{\sin^2x}{x}\to0\). \(e^0=1\).

3.

\(D_f=\mathbb R\setminus\{1\}\); пресек \(O(0,0)\). ВА \(x=1\) (\(-\infty\) лево, \(+\infty\) десно). Коса \(y=x+1\). \(y'=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\): max \((0,0)\), min \((2,4)\). \(y''=\frac2{(x-1)^3}\): конкавна за \(x<1\), конвексна за \(x>1\), нема превој.

4.

\(P(x)=-56+21(x-4)+37(x-4)^2+11(x-4)^3+(x-4)^4\).

5.

\(\cos0{,}2\approx1-0{,}02+\frac{0{,}0016}{24}=\) 0,9800667, \(|R|\le\frac{0{,}2^6}{6!}\approx8{,}9\cdot10^{-8}\).