Политика за колачиња · Одлуката може да ја промените во секое време на страницата „Колачиња“.

Пристапност

Големина на текстот
Читање на глас

Прелистувачот го чита текстот со гласот што го има за овој јазик.

Изјава за пристапност
Државна стручна матура

Математика – државна стручна матура, јуни 2026

Комплетниот тест по математика од државната стручна матура, јуни 2026: 15 задачи со повеќечлен избор, 14 задачи со краток одговор и 8 задачи со целосна постапка на решавање.

Оригиналниот тест (PDF) · Клуч (PDF)

Кај задачите со избор изберете еден одговор. Кај задачите со краток одговор впишете го одговорот: број, дропка (на пр. 3/4), π, интервал (на пр. (0,3)) или израз (на пр. a^2(a+2)). Не користете калкулатор. На крајот кликнете Провери ги одговорите.

Државна стручна матура, јуни 2026 (Државен испитен центар). Одговорите се според официјалниот клуч.

Задачи со повеќечлен избор

1. Со кој од следниве интервали може да се запише множеството \(\{x\mid x\in\mathbb{R},\ 7\lt x\le 9\}\)?

2. Со упростување на бројниот израз \(40:(-4+56:(-7)\cdot 2)\) се добива:

3. Со упростување на изразот \((-2x^2y)^3\cdot(3xy)\) се добива:

4. Колкава камата ќе се добие за сума од 60 000 денари, вложена со 5% годишна каматна стапка, за период од 3 месеци?

5. Ако една шестина од некој број е за три помала од неговата четвртина, тогаш бараниот број е:

6. За кои вредности на параметарот \(k\) линеарната функција \(f(x)=3x-kx+4-k\) монотоно расте?

7. За која вредност на \(a\) правите \(y=(a+2)x+1\) и \(y=4x-ax-3\) се паралелни?

8. Колкав е радиусот на впишаната кружница во даден рамностран триаголник со страна \(a=6\)?

9. Аголот \(120^\circ\) изразен во радијани е:

10. Вредноста на \(i^{47}\) е:

11. Која од дадениве равенки е квадратна равенка?

12. Решенијата на равенката \(x^2-9=0\) се:

13. Графикот на функцијата \(f(x)=-2(x+3)^2\) може да се добие од графикот на функцијата \(f(x)=-2x^2\) со транслација за:

14. Колкава е плоштината на топка со радиус \(2\ \text{m}\)?

15. Прав кружен конус има бочна плоштина \(80\pi\ \text{cm}^2\). Колкава е плоштината на конусот, ако неговата изводница (генератриса) е еднаква на \(10\ \text{cm}\)?

Задачи со краток одговор

16 А. Со разложување на полиномот \(\tfrac12a^2+4a+8\) на прости множители, се добива:

16 Б. НЗС за полиномите \(a^3-4a\), \(a^3+4a-4a^2\) и \(a^3-2a^2\) е:

17 А. Ќерката е 28 години помлада од мајката. По 4 години таа ќе биде трипати помлада од мајката. Колку години има мајката?

17 Б. Колку години има ќерката (од задачата 17 А)?

18 А. Даден е правоаголен трапез со основи \(9\ \text{cm}\) и \(6\ \text{cm}\) и краци \(4\ \text{cm}\) и \(5\ \text{cm}\). Висината на трапезот е \(h=\) ? (во cm)

18 Б. Плоштината на истиот трапез е \(P=\) ? (во \(\text{cm}^2\))

19 А. Равенката \((2m+1)x^2-4mx+1-m=0\) не е квадратна равенка за \(m=\) ?

19 Б. Ако \(x_1\) и \(x_2\) се корени на равенката \(x^2-8x+k=0\) и важи \(x_1-x_2=2\), тогаш \(k=\) ?

20 А. Дадена е квадратната функција \(f(x)=x^2-4x+3\). Функцијата монотоно опаѓа во интервалот \(x\in\) ?

20 Б. Графикот на истата функција ја сече \(y\)-оската во точката со координати:

21 А. Волуменот на еден прав кружен конус изнесува \(600\pi\ \text{cm}^3\). Волуменот на прав кружен цилиндар со ист радиус и иста висина како дадениот конус изнесува ? (во \(\text{cm}^3\))

21 Б. Ако радиусот на дадениот конус е \(10\ \text{cm}\), тогаш висината на конусот е еднаква на ? (во cm)

22 А. Основата на една права призма е ромб со дијагонали \(24\ \text{cm}\) и \(18\ \text{cm}\). Висината на призмата е \(20\ \text{cm}\). Работ на основата на призмата е еднаков на ? (во cm)

22 Б. Волуменот на призмата изнесува ? (во \(\text{cm}^3\))

Задачи со целосна постапка на решавање (23–30)

Овие задачи се решаваат во тетратка, со целосна постапка. Решението се отвора чекор по чекор, а до секој чекор е бројот на бодови според официјалниот клуч. Вкупно 32 поени.

Задача 23 4 бода

Дадени се полиномите \(P(x)=10-7x^2+3x^3+9x\), \(Q(x)=(x+a)^2+(x-2a)-x(x-b)-a^2\) и \(R(x)=x^2-3x+5\). Определи ги реалните броеви \(a\) и \(b\), така што \(P(x):R(x)=Q(x)\) за секој реален број \(x\).

Прикажи решение
  1. Полиномот \(P(x)\) во нормален вид се дели: \(P(x):R(x)=(3x^3-7x^2+9x+10):(x^2-3x+5)=3x+2\). (1 бод)
  2. \(Q(x)=x^2+2ax+a^2+x-2a-x^2+bx-a^2=(2a+1+b)x-2a\). (1 бод)
  3. Од \(3x+2=(2a+1+b)x-2a\) се добива системот \(2a+1+b=3\), \(-2a=2\). (1 бод)
  4. Решение: \(a=-1\), \(b=4\). (1 бод)

Одговор: \(a=-1,\ b=4\)

Задача 24 4 бода

Пет работници завршуваат една задача за 12 дена. За извршената работа секој работник добива 1 500 денари дневно.
А. За колку дена еден работник би ја завршил истата задача?
Б. Колкав е вкупниот трошок за исплата на работниците, ако 5 работници ја завршат задачата за 12 дена?
В. Колку работници се потребни за да се заврши истата задача за 6 дена?
Г. Колкава е разликата во трошоците за исплата на работниците во случаите под Б и В?

Прикажи решение
  1. А. Обратна пропорционалност: еден работник ја завршува задачата за \(x=5\cdot 12=60\) дена. (1 бод)
  2. Б. \(T_1=5\cdot 12\cdot 1500=90\,000\) денари. (1 бод)
  3. В. \(y=\dfrac{5\cdot 12}{6}=10\) работници. (1 бод)
  4. Г. \(T_2=10\cdot 6\cdot 1500=90\,000\) денари, па \(T_1-T_2=0\): нема разлика во трошоците. (1 бод)

Одговор: А. 60 дена; Б. 90 000 денари; В. 10 работници; Г. нема разлика (0 денари)

Задача 25 4 бода

Реши ја равенката \(\dfrac{5}{2x^2-50}=\dfrac{1}{6x+30}+\dfrac{3}{4x-20}\), ако \(x\ne-5\) и \(x\ne5\).

Прикажи решение
  1. \(2x^2-50=2(x-5)(x+5)\), \(6x+30=6(x+5)\), \(4x-20=4(x-5)\). (1 бод)
  2. НЗС \(=12(x+5)(x-5)\); двете страни се множат со него. (1 бод)
  3. \(30=2(x-5)+9(x+5)\). (1 бод)
  4. \(30=11x+35\Rightarrow x=-\tfrac{5}{11}\). (1 бод)

Одговор: \(x=-\tfrac{5}{11}\)

Задача 26 4 бода

Пресметај ја плоштината на засенчениот дел од сликата, ако се знае дека \(AB\parallel CD\) и \(AC\perp CD\).

Засенчена фигура: полукруг над отсечката AB со центар O и радиус 4, правоаголник ACDB со CD = 8 и исечен правоаголен триаголник ACE со AE = 4, CE = 3 и прав агол кај E.
Прикажи решение
  1. Плоштина на правоаголниот триаголник \(ACE\): \(P_{ACE}=\dfrac{4\cdot 3}{2}=6\). (1 бод)
  2. \(ACDB\) е правоаголник со \(CD=8\) и \(AC=\sqrt{16+9}=5\), па \(P_{ACDB}=8\cdot 5=40\). (1 бод)
  3. Плоштина на многуаголникот \(AECDB\): \(40-6=34\). (1 бод)
  4. Полукругот има радиус \(OB=4\): \(P_{к}=\dfrac{\pi\cdot 4^2}{2}=8\pi\); бараната плоштина е \(P=34+8\pi\). (1 бод)

Одговор: \(P=34+8\pi\)

Задача 27 4 бода

Во правоаголниот триаголник \(ABC\) (\(\angle C=90^\circ\)) должината на едната катета е \(\overline{AC}=6\ \text{cm}\), а аголот \(\angle A=30^\circ\).
А. Најди ја должината на катетата \(\overline{BC}\).
Б. Најди ја должината на хипотенузата \(\overline{AB}\).
В. Пресметај ја плоштината на триаголникот.
Г. Пресметај го периметарот на триаголникот.

Прикажи решение
  1. А. \(\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{BC}{AC}\Rightarrow \dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{BC}{6}\Rightarrow BC=2\sqrt3\ \text{cm}\). (1 бод)
  2. Б. \(\cos30^\circ=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{6\cdot 2}{\sqrt3}=4\sqrt3\ \text{cm}\) (или Питагора: \(\sqrt{36+12}=4\sqrt3\)). (1 бод)
  3. В. \(P=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{6\cdot 2\sqrt3}{2}=6\sqrt3\ \text{cm}^2\). (1 бод)
  4. Г. \(L=6+2\sqrt3+4\sqrt3=6+6\sqrt3=6(1+\sqrt3)\ \text{cm}\). (1 бод)

Одговор: А. \(2\sqrt3\) cm; Б. \(4\sqrt3\) cm; В. \(6\sqrt3\ \text{cm}^2\); Г. \(6(1+\sqrt3)\) cm

Забелешка: Ако ученикот напише погрешна мерна единица во некој чекор или ја изостави во крајниот резултат, се одзема само 1 бод од вкупниот број бодови во задачата.

Задача 28 4 бода

За кои вредности на параметарот \(p\) равенката \((p+1)x^2-2(p-1)x+2p-5=0\) има конјугирано комплексни решенија?

Прикажи решение
  1. Услов: \(D=b^2-4ac\lt 0\). (1 бод)
  2. \(D=4(p-1)^2-4(p+1)(2p-5)=4(p^2-2p+1-2p^2+3p+5)=4(-p^2+p+6)\). (1 бод)
  3. Помошната равенка \(-p^2+p+6=0\) има решенија \(p_1=-2\), \(p_2=3\). (1 бод)
  4. \(D\lt 0\) за \(p\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\). (1 бод)

Одговор: \(p\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\)

Задача 29 4 бода

А. На дадениот цртеж означи ги: работ на основата \(a\), апотемата \(h\) и висината \(H\) на пирамидата.
Б. Работ на основата на една правилна четириаголна пирамида е \(10\ \text{cm}\), а висината на пирамидата е \(12\ \text{cm}\). Пресметај ја плоштината на пирамидата.

Правилна четириаголна пирамида.
Прикажи решение
  1. А. Пирамида на која се означени работ a, висината H и апотемата h. (1 бод)
  2. Б. \(B=a^2=100\ \text{cm}^2\). (1 бод)
  3. Апотема: \(h=\sqrt{H^2+\left(\tfrac a2\right)^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \text{cm}\). (1 бод)
  4. \(P=B+M=100+4\cdot\tfrac12\cdot 10\cdot 13=360\ \text{cm}^2\). (1 бод)

Одговор: \(P=360\ \text{cm}^2\)

Забелешка: Ако ученикот напише погрешна мерна единица во некој чекор или ја изостави во крајниот резултат, се одзема само 1 бод од вкупниот број бодови во задачата.

Задача 30 4 бода

Базен во форма на квадар, со должина \(11\ \text{m}\), ширина \(5\ \text{m}\) и висина \(2{,}5\ \text{m}\), треба да се обложи со заштитен материјал и потоа да се наполни со вода.
А. Материјалот со кој треба да се обложи базенот чини 600 денари за \(1\ \text{m}^2\). Колку денари ќе бидат потрошени за набавка на заштитниот материјал за обложување на базенот?
Б. Колку литри вода се потребни за базенот да се наполни до висина од 2 метри?

Прикажи решение
  1. А. Површина за обложување (дно и ѕидови): \(P=11\cdot 5+2(5\cdot 2{,}5+11\cdot 2{,}5)=135\ \text{m}^2\). (1 бод)
  2. Цена: \(135\cdot 600=81\,000\) денари. (1 бод)
  3. Б. \(V=11\cdot 5\cdot 2=110\ \text{m}^3\). (1 бод)
  4. \(1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3=1000\ l\), па се потребни \(110\cdot 1000=110\,000\ l\) вода. (1 бод)

Одговор: А. 81 000 денари; Б. 110 000 литри

Забелешка: Ако ученикот напише погрешна мерна единица во некој чекор или ја изостави во крајниот резултат, се одзема само 1 бод од вкупниот број бодови во задачата.