Политика за колачиња · Одлуката може да ја промените во секое време на страницата „Колачиња“.

Пристапност

Големина на текстот
Читање на глас

Прелистувачот го чита текстот со гласот што го има за овој јазик.

Изјава за пристапност
Државна стручна матура

Математика – државна стручна матура, август 2026

Комплетниот тест по математика од државната стручна матура, август 2026: 15 задачи со повеќечлен избор, 14 задачи со краток одговор и 8 задачи со целосна постапка на решавање.

Оригиналниот тест (PDF) · Клуч (PDF)

Кај задачите со избор изберете еден одговор. Кај задачите со краток одговор впишете го одговорот: број, дропка (на пр. 3/4), π, интервал (на пр. (0,3)) или израз (на пр. a^2(a+2)). Не користете калкулатор. На крајот кликнете Провери ги одговорите.

Државна стручна матура, август 2026 (Државен испитен центар). Одговорите се според официјалниот клуч.

Задачи со повеќечлен избор

1. Кој од следниве броеви е прост број?

2. Изразот \(\dfrac{2a^2+a^2}{a^2b}\), \(a,b\ne0\) е идентичен со:

3. Ако количникот на полиномите \(P(x)=2x^2-3x+1\) и \(Q(x)=2x-1\) се намали за \(-5x\), се добива полиномот:

4. Во една училница има 30 ученици, од кои 6 од нив се одлични. Колку проценти од учениците се одлични?

5. Графиците на функциите \(f(x)=(2k+1)x-3\) и \(g(x)=-3x-k+2\) се паралелни прави ако:

6. Страната на ромб со дијагонали \(10\ \text{cm}\) и \(24\ \text{cm}\) изнесува:

7. Кружен прстен е формиран од две концентрични кружници со радиуси \(10\ \text{cm}\) и \(4\ \text{cm}\). Колкава е неговата обиколка (периметар)?

8. Бројната вредност на изразот \(2\sin30^\circ-2\cos30^\circ+\sqrt3\) изнесува:

9. Реалниот дел на комплексниот број \(z=2i\cdot(3+i)\) е еднаков на:

10. Равенката \((p+2)x^2-2px+1=0\) е линеарна ако:

11. За која вредност на реалниот параметар \(m\) едниот корен на квадратната равенка \(x^2-8x+m=0\) е трипати поголем од другиот корен на истата равенка?

12. Множеството вредности на функцијата \(y=5(x-1)^2\) е:

13. Плоштината на една коцка е \(P=54\ \text{cm}^2\). Колкав е волуменот на коцката?

14. Прав кружен цилиндар и конус имаат ист радиус и иста висина. Волуменот на цилиндарот е \(300\pi\). Колкав е волуменот на конусот?

15. Работ на основата кај една правилна шестаголна призма е \(3\ \text{dm}\), а дијагоналата на бочниот ѕид е \(50\ \text{cm}\). Колкав е волуменот на призмата?

Задачи со краток одговор

16 А. Вредноста на изразот \(\dfrac{(1-1{,}5)^{-3}:\tfrac83}{3}\) е еднаква на:

16 Б. Количникот на НЗС\((30,42)\) и НЗД\((30,42)\) е еднаков на:

17 А. Решението на системот линеарни неравенки \(2x+3\gt 1\), \(-x+6\gt 5\) е интервалот:

17 Б. Ако интервалот \([7,+\infty)\) е решение на линеарната неравенка \(x-3\ge a\), тогаш \(a=\) ?

18 А. Дадена е линеарната функција \(f(x)=-kx-k+2\). За која вредност на параметарот \(k\) графикот на функцијата минува низ точката \((2,1)\)?

18 Б. Ако \(k=-2\), во која точка графикот на функцијата ја сече \(y\)-оската?

19 А. Нека \(\alpha\) е остар агол во еден правоаголен триаголник. Ако \(\sin(\alpha+30^\circ)=\cos40^\circ\), тогаш \(\alpha=\) ? (во степени)

19 Б. Ако \(\sin\left(\alpha+\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\tfrac{2\pi}{9}\), тогаш \(\alpha=\) ? (во степени или радијани)

20 А. Дадена е функцијата \(f(x)=x^2-25\). Дефиниционата област на функцијата е:

20 Б. Функцијата е монотоно растечка во интервалот:

21 А. Во коцка со страна \(6\ \text{cm}\) е впишана топка. Волуменот на топката е еднаков на ? (во \(\text{cm}^3\))

21 Б. Бочната плоштина и волуменот на еден прав кружен цилиндар имаат ист мерен број. Дијаметарот на цилиндарот е еднаков на ? (во cm)

22 А. Работ на основата на една правилна четиристрана пирамида е \(a=10\ \text{cm}\). Висината на пирамидата е \(H=12\ \text{cm}\). Волуменот на пирамидата е еднаков на ? (во \(\text{cm}^3\))

22 Б. Плоштината на пирамидата е еднаква на ? (во \(\text{cm}^2\))

Задачи со целосна постапка на решавање (23–30)

Овие задачи се решаваат во тетратка, со целосна постапка. Решението се отвора чекор по чекор, а до секој чекор е бројот на бодови според официјалниот клуч. Вкупно 32 поени.

Задача 23 4 бода

Упрости го изразот \(\dfrac{x^2+x}{y}:\dfrac{x^2-1}{2y^2}-\dfrac{x-4xy-1}{2-2x}\), ако \(x\ne\pm1,\ y\ne0\).

Прикажи решение
  1. \(\dfrac{x(x+1)}{y}\cdot\dfrac{2y^2}{(x-1)(x+1)}\). (1 бод)
  2. По кратење: \(\dfrac{2xy}{x-1}\). (1 бод)
  3. \(\dfrac{2xy}{x-1}-\dfrac{x-4xy-1}{-2(x-1)}\). (1 бод)
  4. \(\dfrac{2xy}{x-1}+\dfrac{x-4xy-1}{2(x-1)}=\dfrac{4xy+x-4xy-1}{2(x-1)}=\dfrac{x-1}{2(x-1)}=\dfrac12\). (1 бод)

Одговор: \(\tfrac12\)

Задача 24 4 бода

Еден од аглите во даден триаголник е еднаков на \(45^\circ\), а другите два агли се однесуваат како \(2:3\). Определи го помалиот од непознатите агли во триаголникот.

Прикажи решение
  1. Аглите се \(\alpha=45^\circ,\ \beta,\ \gamma\); од \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\) следува \(\beta+\gamma=135^\circ\). (1 бод)
  2. \(\beta:\gamma=2:3\Rightarrow\beta=2k,\ \gamma=3k\). (1 бод)
  3. \(2k+3k=135^\circ\Rightarrow k=27^\circ\). (1 бод)
  4. Помалиот агол е \(\beta=2\cdot27^\circ=54^\circ\). (1 бод)

Одговор: \(54^\circ\)

Задача 25 4 бода

Молив, тетратка и шестар чинат вкупно 220 денари. Моливот е четирипати поевтин од тетратката, а шестарот е за 40 денари поскап од тетратката. Колку денари чинат пет такви шестари?

Прикажи решение
  1. \(x\) – цена на тетратка, \(\tfrac{x}{4}\) – цена на молив, \(x+40\) – цена на шестар. (1 бод)
  2. \(x+\tfrac{x}{4}+x+40=220\). (1 бод)
  3. \(x=80\). (1 бод)
  4. Пет шестари: \(5(x+40)=600\) денари. (1 бод)

Одговор: 600 денари

Задача 26 4 бода

Реши го системот равенки \(\dfrac{x+1}{4}+\dfrac{y-6}{5}=\dfrac{5y-6x}{10}\), \(\dfrac{5x-1}{12}-\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{3x-y}{4}\) и запиши го решението како подреден пар броеви.

Прикажи решение
  1. Првата равенка се множи со 20, втората со 12: \(17x-6y=19\), \(4x-y=9\). (1 бод)
  2. Од втората: \(y=4x-9\); се заменува во првата: \(17x-6(4x-9)=19\). (1 бод)
  3. \(-7x=-35\Rightarrow x=5\), \(y=11\). (1 бод)
  4. Решението е подредениот пар \((5,11)\). (1 бод)

Одговор: \((5,11)\)

Задача 27 4 бода

Плац во форма на рамнокрак трапез има плоштина \(30\ \text{m}^2\). Неговите паралелни страни се разликуваат за 8 метри, а растојанието меѓу нив е за 2 метри помало од кракот на трапезот. Колку метри жица се потребни за да се загради плацот со ограда што содржи 3 реда жица?

Прикажи решение
  1. Со \(a,b,c,h\) (основи, крак, висина): \(c^2=h^2+\left(\tfrac{a-b}{2}\right)^2\), \(a-b=8\), \(h=c-2\Rightarrow(h+2)^2=h^2+16\Rightarrow h=3\ \text{m}\). (1 бод)
  2. \(P=\dfrac{a+b}{2}h=30\Rightarrow a+b=20\ \text{m}\). (1 бод)
  3. Крак \(c=h+2=5\ \text{m}\), периметар \(L=a+b+2c=30\ \text{m}\). (1 бод)
  4. За оградата се потребни \(3\cdot30=90\ \text{m}\) жица. (1 бод)

Одговор: 90 m

Задача 28 4 бода

Дадена е равенката \(2x^2-3x+1=0\). Без да ги наоѓаш корените \(x_1\) и \(x_2\) на равенката:
А. провери дали \(x_1\) и \(x_2\) се реални броеви.
Б. пресметај ја вредноста на изразот \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\).

Прикажи решение
  1. А. \(D=b^2-4ac=9-8=1\gt 0\), па корените се реални броеви. (1 бод)
  2. Б. \(x^2-\tfrac32x+\tfrac12=0\); Виетови формули: \(x_1+x_2=\tfrac32\), \(x_1x_2=\tfrac12\). (1 бод)
  3. \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\). (1 бод)
  4. \(=\dfrac{\tfrac94-1}{\tfrac12}=\dfrac52\). (1 бод)

Одговор: А. да (\(D=1\gt 0\)); Б. \(\tfrac52\)

Задача 29 4 бода

Дадена е квадратната функција \(f(x)=-2x^2+4x+6\).
А. Определи го темето на функцијата.
Б. Определи ги точките во кои графикот на функцијата ја сече \(x\)-оската.
В. Определи ги вредностите на \(x\) за кои функцијата е негативна.
Г. Скицирај го графикот на функцијата.

Прикажи решение
  1. А. \(a=-2,\ b=4,\ c=6\): \(T\left(-\tfrac{b}{2a},\tfrac{4ac-b^2}{4a}\right)=T(1,8)\). (1 бод)
  2. Б. \(-2x^2+4x+6=0\Rightarrow x_1=-1,\ x_2=3\): точките \((-1,0)\) и \((3,0)\). (1 бод)
  3. В. \(a=-2\lt 0\), па функцијата е негативна за \(x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\). (1 бод)
  4. Г. Графикот: Парабола отворена надолу, со теме во точката (1, 8), што ја сече x-оската во −1 и 3 и y-оската во 6. (1 бод)

Одговор: А. \(T(1,8)\); Б. \((-1,0)\) и \((3,0)\); В. \(x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)

Задача 30 4 бода

Генератрисата (изводницата) и висината на прав конус се во размер \(5:4\). Пресметај го волуменот на конусот, ако неговата плоштина е \(96\pi\ \text{dm}^2\).

Прикажи решение
  1. \(s:H=5:4\Rightarrow s=5k,\ H=4k\); од \(R^2=s^2-H^2\) следува \(R=3k\). (1 бод)
  2. \(P=R\pi(R+s)=3k\pi\cdot8k=24k^2\pi=96\pi\Rightarrow k^2=4,\ k=2\). (1 бод)
  3. \(s=10\ \text{dm},\ H=8\ \text{dm},\ R=6\ \text{dm}\). (1 бод)
  4. \(V=\dfrac{R^2\pi H}{3}=\dfrac{36\pi\cdot8}{3}=96\pi\ \text{dm}^3\). (1 бод)

Одговор: \(V=96\pi\ \text{dm}^3\)