Kangur 2020 – Junior (viti I dhe II i shkollës së mesme)

Zgjidhja: Dhjetë katrorët kanë perimetër të përgjithshëm \(10\cdot4=40\) cm. Figura ka 11 brinjë të përbashkëta dhe secila numërohet dy herë: \(40-2\cdot11=18\) cm.

Zgjidhja: Vlerat janë 2346, 357, 168, 1239 dhe 12345. Me radhë: 168, 357, 1239, 2346, 12345, prandaj në mes është \(1234+5=1239\).

Zgjidhja: Nëna e nënës së Anës është gjyshja e saj. Vajza e gjyshes është nëna ose tezja e Anës, dhe nëna e asaj vajze është përsëri gjyshja.

Zgjidhja: Çdo vijë shkon nga buza e majtë e këmishës, rreth shpinës, deri te buza e djathtë. Tani ana e djathtë është zhvendosur për një vijë, prandaj fundi i çdo vije bashkohet me fillimin e vijës tjetër. Të gjitha vijat formojnë një spirale me dy skaje të lira, pra nuk ka asnjë unazë të mbyllur.

Zgjidhja: \(\overline{AD}+\overline{CD}+\overline{AB}+\overline{CB}=20A+20C+2B+2D=2(\overline{AB}+\overline{CD})=2\cdot79=158\).

Zgjidhja: \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=2\Rightarrow n=-1\). Numrat janë \(-1,0,1,2\).

Zgjidhja: Viti i ardhshëm i tillë është 2121, pra pas \(2121-2020=101\) vjetësh.

Zgjidhja: Le të kishte \(k\) katrorë. Pas prerjes ka \(k-3\) katrorë dhe \(10-k+6\) trekëndësha: \(4(k-3)+3(16-k)=42\Rightarrow k+36=42\Rightarrow k=6\). Trekëndësha kishte \(10-6=4\).

Zgjidhja: Segmenti që bashkon mesat e dy brinjëve të trekëndëshit është gjysma e brinjës së tretë. Prandaj dy copa janë nga 60 cm dhe dy nga 40 cm: \(120+80+2\cdot60+2\cdot40=400\) cm.

Zgjidhja: Dy pikat e sipërme janë në largësi 1, ndërsa pika djathtas është 1 më poshtë: \(S=\frac{1\cdot1}{2}=\frac12\). Trekëndëshat e tjerë kanë syprina \(\frac32\), \(\frac92\) dhe \(\frac{11}2\).

Zgjidhja: 18 ditë janë 2 javë të plota (6 ditë me përrallë) dhe edhe 4 ditë. Në 4 ditë rresht më shumë përralla ka nga e shtuna deri të martën (3). Nëse shkon të shtunën, i merr këto 4 ditë në fillim: gjithsej 9 përralla.

Zgjidhja: \(abcd=2cd\cdot cd=2(cd)^2\). \(50=2\cdot5^2\), \(200=2\cdot10^2\), \(450=2\cdot15^2\), \(800=2\cdot20^2\), por \(100=2\cdot50\) dhe 50 nuk është katror.

Zgjidhja: Nga tabela majtas: Atown–Betown \(=3+1=4\) km. Tabela djathtas është 6 km nga Atown, pra Betown ka mbetur pas \(6-4=2\) km.

Zgjidhja: Brinjët e tjera janë \(x\) dhe \(\frac25x\), prandaj njëra prej tyre është 20. Nëse \(x=20\): brinjët 20, 20, 8 dhe perimetri 48 cm. Nëse \(\frac25x=20\): brinjët 20, 20, 50, që nuk formojnë trekëndësh (\(20+20<50\)).

Zgjidhja: Nëse mbledhim katër diametrat, numrat në rreth numërohen nga një herë, ndërsa ai qendror 4 herë: \(40+4c=4\cdot13=52\Rightarrow c=3\).

Zgjidhja: Kërkojmë numër dyshifror \(n\) që \(20n=4\cdot5n\) të jetë katror, d.m.th. \(5n\) katror: \(n=5m^2\). Këta janë \(n=20,45,80\): numrat 2020, 2045 dhe 2080.

Zgjidhja: Brinja e majtë e trekëndëshit është e pjerrët \(60^\circ\), ndërsa brinja e sipërme e katrorit të madh formon \(70^\circ\) me të, pra është e pjerrët \(10^\circ\) poshtë. Atëherë brinja e djathtë e katrorit formon \(40^\circ\) me brinjën e djathtë të trekëndëshit. Brinja e katrorit të vogël është pingul me brinjën e trekëndëshit: \(90^\circ-40^\circ=50^\circ\).

Zgjidhja: Pas 55 km ka \(14-5{,}5=8{,}5\) litra, mjaftueshëm për edhe 85 km, ndërsa deri në fund mbeten 465 km. Me rezervuar plot (40 litra) mund të bëjë 400 km, prandaj pika duhet të jetë të paktën \(465-400=65\) km dhe më së shumti 85 km më tej: 75 km.

Zgjidhja: Pjesëtojmë me 17: \(x+3y=6\). Atëherë \(9x+27y=9(x+3y)=54\).

Zgjidhja: Brinja është 9 dm dhe çdo trekëndësh ka syprinë \(81:6=13{,}5\) dm². Trekëndëshi i sipërm ka bazë 9 dm: \(\frac{9h}{2}=13{,}5\Rightarrow h=3\) dm deri te buza e sipërme, pra \(9-3=6\) dm deri te e poshtmja.

Zgjidhja: Shuma e shifrave është 45, prandaj numri plotpjesëtohet gjithmonë me 9. Plotpjesëtohet me 18 nëse është çift, d.m.th. nëse mbaron me 2, 4, 6 ose 8: \(\frac49\).

Zgjidhja: Ndërsa breshka bën 5 km, lepuri bën 25 km. Nëse vrapoi \(x\) km anash: \(x+\sqrt{x^2+25}=25\Rightarrow x^2+25=(25-x)^2\Rightarrow x=12\). Largësia deri në cak është \(25-12=13\) km.

Zgjidhja: Nga 1): trekëndëshi nuk është i madh, pra është i vogël. Nga 2): figura blu është trekëndësh, pra është e vogël. Pohimet e tjera nuk duhet domosdoshmërisht të vlejnë (p.sh. mund të ketë trekëndësh të vogël të kuq).

Zgjidhja: Pjesa e mbivendosur është romb (të dy shiritat janë 3 cm të gjerë). Nëse brinja e tij është \(a\): \((9-a)^2+3^2=a^2\Rightarrow90=18a\Rightarrow a=5\). Syprina është \(5\cdot3=15\) cm².

Zgjidhja: Nëse kulmi i sipërm është \(v\), katër faqet anësore japin gjithsej \(4v+2(15-v)=2v+30\). Nëse 7, 8, 9, 10 janë anësoret: \(2v+30=34\Rightarrow v=2\), ndërsa baza ka shumë \(15-2=13\). Baza nuk mund të jetë ndër to: atëherë \(v=5\), dhe shuma më e vogël anësore është \(5+1+2=8\), pra 7 s’mund të dalë.

Zgjidhja: Më mirë është të ngjyrosen dy faqe të kundërta dhe një ndërmjet tyre: \(12+12+8=32\). Nëse tri faqet takohen në një kulm, ka vetëm \(3\cdot9=27\).

Zgjidhja: Le të jetë shuma \(S\). Kutia bosh në rreshtin e parë është \(S-10\), prandaj nga shtylla e dytë kutia në rreshtin e fundit është 1. Nga shtylla e tretë dhe e katërt kutitë bosh janë \(S-15\). Rreshti i fundit: \(x+1+7+(S-15)=S\Rightarrow x=7\).

Zgjidhja: Ndeshje ka \((10+15+17):2=21\), prandaj Ana pushoi 11 herë. Askush nuk pushon dy ndeshje rresht, kështu Ana pushoi në ndeshjet 1, 3, …, 21 dhe luajti në 2, 4, …, 20. Pas çdo ndeshjeje të saj pushonte, pra i humbi të gjitha, edhe të dytën.

Zgjidhja: Korda nga \(A\) formon këndin \(\alpha\) me diametrin, prandaj harku deri te kulmi i parë është \(180^\circ-2\alpha\). Meqë të gjitha segmentet lart janë paralele, po ashtu edhe ato poshtë, çdo dy kulme fqinje janë në një hark të tillë. Katër kulmet e ndajnë gjysmërrethin në 5 harqe të barabarta: \(5(180^\circ-2\alpha)=180^\circ\Rightarrow\alpha=72^\circ\).

Zgjidhja: Asnjëri nuk mbaron me 0, prandaj shifrat e fundit janë 1–8 ose 2–9. Për 1–8: \(10k+d\) plotpjesëtohet me \(d\) kur \(d\mid10k\), dhe për \(d=3,4,7,8\) duhet \(84\mid k\): \(k=84\), numrat 841, …, 848. (Për 2–9 duhet \(252\mid k\), që jep numra katërshifrorë.) Shuma e shifrave të 841 është 13.