Kanguru 2020 – Junior (lise 1. ve 2. sınıf)

Çözüm: On karenin toplam çevresi \(10\cdot4=40\) cm’dir. Figürde 11 ortak kenar vardır ve her biri iki kez sayılır: \(40-2\cdot11=18\) cm.

Çözüm: Değerler 2346, 357, 168, 1239 ve 12345’tir. Sıralanınca 168, 357, 1239, 2346, 12345 olur; ortadaki \(1234+5=1239\).

Çözüm: Ayşe’nin annesinin annesi anneannesidir. Anneannenin kızı Ayşe’nin annesi ya da teyzesidir; o kızın annesi yine anneannedir.

Çözüm: Her şerit gömleğin sol kenarından sırtın etrafından dolaşarak sağ kenarına gider. Şimdi sağ taraf bir şerit kaydığı için her şeridin ucu bir sonrakinin başına bağlanır. Bütün şeritler iki serbest ucu olan tek bir sarmal oluşturur, yani hiç kapalı halka yoktur.

Çözüm: \(\overline{AD}+\overline{CD}+\overline{AB}+\overline{CB}=20A+20C+2B+2D=2(\overline{AB}+\overline{CD})=2\cdot79=158\).

Çözüm: \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=2\Rightarrow n=-1\). Sayılar \(-1,0,1,2\)’dir.

Çözüm: Bir sonraki böyle yıl 2121’dir, yani \(2121-2020=101\) yıl sonra.

Çözüm: \(k\) karesi olsun. Kesimden sonra \(k-3\) kare ve \(10-k+6\) üçgen vardır: \(4(k-3)+3(16-k)=42\Rightarrow k+36=42\Rightarrow k=6\). Üçgen sayısı \(10-6=4\).

Çözüm: Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenarın yarısıdır. Bu yüzden iki parça 60 cm, iki parça 40 cm’dir: \(120+80+2\cdot60+2\cdot40=400\) cm.

Çözüm: Üstteki iki nokta arasındaki uzaklık 1’dir, sağdaki nokta ise onlardan 1 aşağıdadır: \(A=\frac{1\cdot1}{2}=\frac12\). Diğer üçgenlerin alanları \(\frac32\), \(\frac92\) ve \(\frac{11}2\)’dir.

Çözüm: 18 gün, 2 tam hafta (masallı 6 gün) ve 4 gün daha eder. Art arda 4 günde en çok masal cumartesiden salıya kadardır (3). Cumartesi giderse bu 4 günü başta alır: toplam 9 masal.

Çözüm: \(abcd=2cd\cdot cd=2(cd)^2\). \(50=2\cdot5^2\), \(200=2\cdot10^2\), \(450=2\cdot15^2\), \(800=2\cdot20^2\); ama \(100=2\cdot50\) ve 50 tam kare değildir.

Çözüm: Soldaki levhadan: Atown–Betown \(=3+1=4\) km. Sağdaki levha Atown’dan 6 km uzakta, yani Betown \(6-4=2\) km geride kaldı.

Çözüm: Diğer kenarlar \(x\) ve \(\frac25x\)’tir; biri 20 olmalıdır. \(x=20\) ise kenarlar 20, 20, 8 ve çevre 48 cm’dir. \(\frac25x=20\) ise kenarlar 20, 20, 50 olur; bu bir üçgen değildir (\(20+20<50\)).

Çözüm: Dört çapın toplamında çemberdeki sayılar birer kez, ortadaki sayı 4 kez sayılır: \(40+4c=4\cdot13=52\Rightarrow c=3\).

Çözüm: \(20n=4\cdot5n\) tam kare olacak şekilde iki basamaklı \(n\) arıyoruz, yani \(5n\) tam kare olmalı: \(n=5m^2\). Bunlar \(n=20,45,80\): 2020, 2045 ve 2080.

Çözüm: Üçgenin sol kenarı \(60^\circ\) eğimlidir; büyük karenin üst kenarı onunla \(70^\circ\) yapar, yani \(10^\circ\) aşağı eğimlidir. O zaman karenin sağ kenarı üçgenin sağ kenarıyla \(40^\circ\) yapar. Küçük karenin kenarı üçgenin kenarına diktir: \(90^\circ-40^\circ=50^\circ\).

Çözüm: 55 km sonra depoda \(14-5{,}5=8{,}5\) litre kalır, bu 85 km’ye yeter; geriye 465 km yol vardır. Dolu depoyla (40 litre) 400 km gidilir, bu yüzden istasyon en az \(465-400=65\) km, en çok 85 km ileride olmalıdır: 75 km.

Çözüm: 17’ye bölelim: \(x+3y=6\). O hâlde \(9x+27y=9(x+3y)=54\).

Çözüm: Kenar 9 dm’dir ve her üçgenin alanı \(81:6=13{,}5\) dm²’dir. Üstteki üçgenin tabanı 9 dm’dir: \(\frac{9h}{2}=13{,}5\Rightarrow h=3\) dm üst kenara, yani alt kenara \(9-3=6\) dm.

Çözüm: Rakamların toplamı 45 olduğundan sayı her zaman 9’a bölünür. Çift ise, yani 2, 4, 6 veya 8 ile bitiyorsa 18’e bölünür: \(\frac49\).

Çözüm: Kaplumbağa 5 km giderken tavşan 25 km gider. Yana doğru \(x\) km koştuysa: \(x+\sqrt{x^2+25}=25\Rightarrow x^2+25=(25-x)^2\Rightarrow x=12\). Bitişe uzaklık \(25-12=13\) km’dir.

Çözüm: 1)’den: üçgen büyük olamaz, yani küçüktür. 2)’den: mavi şekil üçgendir, yani küçüktür. Diğer ifadeler doğru olmak zorunda değildir (örneğin küçük kırmızı bir üçgen olabilir).

Çözüm: Örtüşen bölge bir eşkenar dörtgendir (iki şerit de 3 cm geniş). Kenarı \(a\) ise: \((9-a)^2+3^2=a^2\Rightarrow90=18a\Rightarrow a=5\). Alan \(5\cdot3=15\) cm²’dir.

Çözüm: Tepe \(v\) ise dört yan yüzün toplamı \(4v+2(15-v)=2v+30\)’dur. 7, 8, 9, 10 yan yüzlerse: \(2v+30=34\Rightarrow v=2\) ve tabanın toplamı \(15-2=13\)’tür. Taban bunlardan biri olamaz: o zaman \(v=5\) olur ve en küçük yan toplam \(5+1+2=8\) olduğundan 7 elde edilemez.

Çözüm: En iyisi iki karşılıklı yüzü ve aralarındaki bir yüzü boyamaktır: \(12+12+8=32\). Üç yüz bir köşede birleşirse yalnızca \(3\cdot9=27\) olur.

Çözüm: Toplam \(S\) olsun. İlk satırdaki boş kutu \(S-10\)’dur; ikinci sütundan son satırdaki kutu 1 çıkar. Üçüncü ve dördüncü sütunlardaki boş kutular \(S-15\)’tir. Son satır: \(x+1+7+(S-15)=S\Rightarrow x=7\).

Çözüm: Toplam \((10+15+17):2=21\) maç vardır, yani Ayşe 11 kez dinlendi. Kimse art arda iki maç dinlenemez; bu yüzden Ayşe 1, 3, …, 21. maçlarda dinlendi, 2, 4, …, 20. maçlarda oynadı. Her maçından sonra dinlendiğine göre hepsini, ikinci maçı da kaybetti.

Çözüm: \(A\)’dan çıkan kiriş çapla \(\alpha\) açısı yapar, bu yüzden ilk tepeye kadar olan yay \(180^\circ-2\alpha\)’dır. Yukarı giden bütün parçalar birbirine, aşağı gidenler de birbirine paralel olduğundan komşu iki tepe arasındaki yay da aynıdır. Dört tepe yarım çemberi 5 eşit yaya böler: \(5(180^\circ-2\alpha)=180^\circ\Rightarrow\alpha=72^\circ\).

Çözüm: Hiçbiri 0 ile bitemez; son rakamlar 1–8 ya da 2–9’dur. 1–8 için: \(10k+d\), \(d\mid10k\) olduğunda \(d\)’ye bölünür; \(d=3,4,7,8\) için \(84\mid k\) gerekir: \(k=84\), sayılar 841, …, 848. (2–9 için \(252\mid k\) gerekir, bu da dört basamaklı sayılar verir.) 841’in rakamları toplamı 13’tür.