Кенгур 2020 – Junior (I и II година средно)

Решение: Десет квадрати имаат вкупен периметар \(10\cdot4=40\) cm. Фигурата има 11 заеднички страни, а секоја од нив се брои двапати: \(40-2\cdot11=18\) cm.

Решение: Вредностите се 2346, 357, 168, 1239 и 12345. По ред: 168, 357, 1239, 2346, 12345, па во средината е \(1234+5=1239\).

Решение: Мајката на мајката на Ана е нејзината баба. Ќерката на бабата е мајката или тетката на Ана, а мајката на таа ќерка е повторно бабата.

Решение: Секоја лента оди од левиот раб на кошулата, околу грбот, до десниот раб. Сега десната страна е поместена за една лента, па крајот на секоја лента се спојува со почетокот на следната. Сите ленти образуваат една спирала со два слободни краја, значи нема ниту еден затворен прстен.

Решение: \(\overline{AD}+\overline{CD}+\overline{AB}+\overline{CB}=20A+20C+2B+2D=2(\overline{AB}+\overline{CD})=2\cdot79=158\).

Решение: \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=2\Rightarrow n=-1\). Броевите се \(-1,0,1,2\).

Решение: Следната таква година е 2121, значи по \(2121-2020=101\) година.

Решение: Нека имала \(k\) квадрати. По сечењето има \(k-3\) квадрати и \(10-k+6\) триаголници: \(4(k-3)+3(16-k)=42\Rightarrow k+36=42\Rightarrow k=6\). Триаголници имала \(10-6=4\).

Решение: Отсечката што поврзува средини на две страни на триаголник е половина од третата страна. Затоа две парчиња се по 60 cm, а две по 40 cm: \(120+80+2\cdot60+2\cdot40=400\) cm.

Решение: Двете горни точки се на растојание 1, а точката десно е 1 подолу од нив: \(P=\frac{1\cdot1}{2}=\frac12\). Другите триаголници имаат плоштини \(\frac32\), \(\frac92\) и \(\frac{11}2\).

Решение: 18 дена се 2 полни недели (6 дена со приказна) и уште 4 дена. Во 4 последователни дена најмногу приказни има од сабота до вторник (3). Ако дојде во сабота, ги добива тие 4 дена на почетокот: вкупно 9 приказни.

Решение: \(abcd=2cd\cdot cd=2(cd)^2\). \(50=2\cdot5^2\), \(200=2\cdot10^2\), \(450=2\cdot15^2\), \(800=2\cdot20^2\), но \(100=2\cdot50\), а 50 не е квадрат.

Решение: Од левиот патоказ: Atown–Betown \(=3+1=4\) km. Десниот патоказ е 6 km од Atown, значи Betown е поминат пред \(6-4=2\) km.

Решение: Другите страни се \(x\) и \(\frac25x\), па едната од нив е 20. Ако \(x=20\): страни 20, 20, 8 и периметар 48 cm. Ако \(\frac25x=20\): страни 20, 20, 50, што не е триаголник (\(20+20<50\)).

Решение: Ако ги собереме четирите дијаметри, броевите на кружницата се бројат по еднаш, а централниот 4 пати: \(40+4c=4\cdot13=52\Rightarrow c=3\).

Решение: Бараме двоцифрен \(n\) за кој \(20n=4\cdot5n\) е квадрат, т.е. \(5n\) е квадрат: \(n=5m^2\). Тоа се \(n=20,45,80\): броевите 2020, 2045 и 2080.

Решение: Левата страна на триаголникот е наведната \(60^\circ\), а горната страна на големиот квадрат зафаќа \(70^\circ\) со неа, па е наведната \(10^\circ\) надолу. Тогаш десната страна на квадратот зафаќа \(40^\circ\) со десната страна на триаголникот. Страната на малиот квадрат е нормална на страната на триаголникот: \(90^\circ-40^\circ=50^\circ\).

Решение: По 55 km има \(14-5{,}5=8{,}5\) литри, доволно за уште 85 km, а до крајот остануваат 465 km. Со полн резервоар (40 литри) може 400 km, па пумпата мора да е барем \(465-400=65\) km и најмногу 85 km понатаму: 75 km.

Решение: Делиме со 17: \(x+3y=6\). Тогаш \(9x+27y=9(x+3y)=54\).

Решение: Страната е 9 dm, а секој триаголник има плоштина \(81:6=13{,}5\) dm². Горниот триаголник има основа 9 dm: \(\frac{9h}{2}=13{,}5\Rightarrow h=3\) dm до горниот раб, значи \(9-3=6\) dm до долниот.

Решение: Збирот на цифрите е 45, па бројот секогаш е делив со 9. Делив е со 18 ако е парен, т.е. ако завршува на 2, 4, 6 или 8: \(\frac49\).

Решение: Додека желката минува 5 km, зајакот минува 25 km. Ако отрчал \(x\) km настрана: \(x+\sqrt{x^2+25}=25\Rightarrow x^2+25=(25-x)^2\Rightarrow x=12\). Растојанието до целта е \(25-12=13\) km.

Решение: Од 1): триаголникот не е голем, значи е мал. Од 2): сината фигура е триаголник, значи е мала. Другите тврдења не мора да важат (на пр. може да има мал црвен триаголник).

Решение: Преклопениот дел е ромб (двете ленти се широки 3 cm). Ако неговата страна е \(a\): \((9-a)^2+3^2=a^2\Rightarrow90=18a\Rightarrow a=5\). Плоштината е \(5\cdot3=15\) cm².

Решение: Ако врвот е \(v\), четирите странични ѕида вкупно даваат \(4v+2(15-v)=2v+30\). Ако 7, 8, 9, 10 се страничните: \(2v+30=34\Rightarrow v=2\), а основата има збир \(15-2=13\). Основата не може да е меѓу нив: тогаш \(v=5\), а најмалиот страничен збир е \(5+1+2=8\), па 7 не може.

Решение: Најдобро е да се обојат два спротивни ѕида и еден меѓу нив: \(12+12+8=32\). Ако трите ѕида се среќаваат во едно теме, има само \(3\cdot9=27\).

Решение: Нека збирот е \(S\). Празното поле во првиот ред е \(S-10\), па од втората колона полето во последниот ред е 1. Од третата и четвртата колона празните полиња се \(S-15\). Последниот ред: \(x+1+7+(S-15)=S\Rightarrow x=7\).

Решение: Мечеви има \((10+15+17):2=21\), па Ана се одмарала 11 пати. Никој не се одмара два меча по ред, па Ана се одмарала во мечевите 1, 3, …, 21, а играла во 2, 4, …, 20. По секој свој меч се одмарала, значи ги изгубила сите, и вториот.

Решение: Тетивата од \(A\) зафаќа агол \(\alpha\) со дијаметарот, па лакот до првиот врв е \(180^\circ-2\alpha\). Бидејќи сите отсечки нагоре се паралелни, а исто и сите надолу, секои два соседни врва се на ист таков лак. Четирите врва ја делат полукружницата на 5 еднакви лаци: \(5(180^\circ-2\alpha)=180^\circ\Rightarrow\alpha=72^\circ\).

Решение: Ниеден не завршува на 0, па последните цифри се 1–8 или 2–9. За 1–8: \(10k+d\) е делив со \(d\) кога \(d\mid10k\), а за \(d=3,4,7,8\) треба \(84\mid k\): \(k=84\), броевите 841, …, 848. (За 2–9 треба \(252\mid k\), а тоа се четирицифрени броеви.) Збирот на цифрите на 841 е 13.