Matematika I: logjika, bashkësitë, kombinatorika dhe vargjet

Mësim për vitin e parë të fakultetit: gjykimet dhe lidhëset logjike, tabelat e vërtetësisë, veprimet me bashkësi, induksioni matematik, permutacionet dhe variacionet, vargu aritmetik dhe gjeometrik – me shembuj të zgjidhur dhe teste.

1. Logjika

Gjykimi është fjali që është ose e vërtetë ( $⊤$ ) ose e pasaktë ( $⊥$ ). Nga dy gjykime $p$ dhe $q$ me lidhëset logjike $\neg, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ formohen gjykime të reja.

Mohimi $\neg p$ („jo $p$ “) është i vërtetë kur $p$ është i pasaktë dhe anasjelltas.

$p$	$\neg p$
$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊤$

Konjuksioni $p \land q$ („ $p$ dhe $q$ “) është i vërtetë vetëm kur të dy gjykimet janë të vërteta; mjafton vetëm një i pasaktë që të jetë i pasaktë.

$p$	$q$	$p \land q$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊥$
$⊥$	$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊥$	$⊥$

Disjunksioni $p \lor q$ („ $p$ ose $q$ “) është i pasaktë vetëm kur të dy gjykimet janë të pasakta.

$p$	$q$	$p \lor q$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊤$
$⊥$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊥$	$⊥$

Implikacioni $p \Rightarrow q$ („nga $p$ rrjedh $q$ “) është i pasaktë vetëm kur $p$ është i vërtetë dhe $q$ i pasaktë.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊥$
$⊥$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊥$	$⊤$

Ekuivalenca $p \Leftrightarrow q$ („ $p$ atëherë dhe vetëm atëherë kur $q$ “) është e vërtetë kur $p$ dhe $q$ kanë të njëjtën vlerë.

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊥$
$⊥$	$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊥$	$⊤$

Tautologji është formula që është e vërtetë për të gjitha vlerat e gjykimeve. Kontrollohet me tabelën e vërtetësisë.

Shembulli 1. Të vërtetojmë se $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p \lor q)$ është tautologji.

$p$	$q$	$\neg p$	$p \Rightarrow q$	$\neg p \lor q$	$(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p \lor q)$
$⊤$	$⊤$	$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊤$
$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$	$⊤$

Kolona e fundit është gjithmonë $⊤$ : formula është tautologji. Prandaj implikacioni mund të zëvendësohet me $\neg p \lor q$ .

Shembulli 2. Çfarë paraqet formula $((p \land \neg q) \lor (\neg p \land q)) \Rightarrow (p \lor q)$ ?

$p$	$q$	$p \land \neg q$	$\neg p \land q$	$(p \land \neg q) \lor (\neg p \land q)$	$p \lor q$	$\Rightarrow$
$⊤$	$⊤$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊤$	$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊤$	$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊤$

Edhe kjo formulë është tautologji: kur saktësisht njëri gjykim është i vërtetë, i vërtetë është edhe „ $p$ ose $q$ “.

Ligjet

$p \land q \Leftrightarrow q \land p$ – ligji komutativ i konjuksionit
$(p \land q) \land r \Leftrightarrow p \land (q \land r)$ – ligji asociativ i konjuksionit
$p \lor q \Leftrightarrow q \lor p$ – ligji komutativ i disjunksionit
$(p \lor q) \lor r \Leftrightarrow p \lor (q \lor r)$ – ligji asociativ i disjunksionit
$(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$ – ligji i kundërvendosjes
$\neg (p \land q) \Leftrightarrow \neg p \lor \neg q$ , $\neg (p \lor q) \Leftrightarrow \neg p \land \neg q$ – ligjet e De Morganit

Kontrollohu:

p = ⊤

q = ⊥

→

p \Rightarrow q

Përgjigja: $⊥$ .

2. Bashkësitë

Veprimet me bashkësi

$A \cup B = {x ∣ x \in A \lor x \in B}$ – unioni: elementet që janë së paku në njërën bashkësi
$A \cap B = {x ∣ x \in A \land x \in B}$ – prerja: elementet e përbashkëta
$A ∖ B = {x ∣ x \in A \land x \notin B}$ – diferenca
$A Δ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ – diferenca simetrike
$A^{c} = \overset{―}{A} = C_{B} A = {x ∣ x \in B \land x \notin A}$ – komplementi i $A$ në $B$
$P (A) = {X ∣ X \subseteq A}$ – bashkësia partitive: të gjitha nënbashkësitë e $A$ ; nëse $A$ ka $n$ elemente, $P (A)$ ka $2^{n}$
$A \times B = {(x, y) ∣ x \in A \land y \in B}$ – prodhimi kartezian: të gjitha çiftet e renditura

Shembull. Bashkësitë jepen me veti dhe shkruhen me numërim:

${x ∣ x \in Z \land - 2 \leq x \leq 7} = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$
$\{x\mid x\in\mathbb N,\ x\text{ tek}\land x<10\}=\{1,3,5,7,9\}$
${x ∣ x \in R \land x^{2} - 25 = 0} = {- 5, 5}$

Për $A = {1, 2, 3, 4}$ dhe $B = {3, 4, 5}$ :

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $A \cap B = {3, 4}$ , $A ∖ B = {1, 2}$ , $A Δ B = {1, 2, 5}$
$P ({1, 2}) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$ , ${1, 2} \times {a, b} = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}$

3. Induksioni matematik

Shumë veti të numrave natyrorë vërtetohen me parimin e induksionit matematik, në tre hapa:

kontrollimi: pohimi vlen për $n = 1$ ;
supozimi: pohimi vlen për $n = k$ ;
vërtetimi: atëherë vlen edhe për $n = k + 1$ .

Shembull. Të vërtetohet se $1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

1) Për $n = 1$ : $1 = \frac{1 \cdot 2}{2}$ ✓.

2–3) Le të jetë $1 + 2 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2}$ . Atëherë $1 + 2 + \dots + k + (k + 1) = \frac{k (k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}$ , që është formula për $n = k + 1$ ✓.

4. Kombinatorika

Faktorieli: $n! = n \cdot (n - 1) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1$ , $1! = 1$ , $0! = 1$ ; $3! = 6$ , $5! = 120$ .

Permutacionet (renditjet) e $n$ elementeve të ndryshme: $P (n) = n!$

Nëse ndër $n$ elemente ka grupe prej $k_{1}, k_{2}, \dots$ të barabarta, permutacionet me përsëritje: $P (n; k_{1}, k_{2}, \dots) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots}$

Shembull. Sa fjalë të ndryshme fitohen nga shkronjat e fjalës TEUTA (5 shkronja, T dy herë)?

$P (5; 2, 1, 1, 1) = \frac{5!}{2! 1! 1! 1!} = \frac{120}{2} = 60$

Shembull. Sa numra gjashtëshifrorë me shifra të ndryshme shkruhen me shifrat 0, 1, 2, 3, 4, 5? Nga të gjitha $6!$ renditjet zbriten ato që fillojnë me 0 ( $5!$ ):

$6! - 5! = 5! (6 - 1) = 120 \cdot 5 = 600$

Variacionet pa përsëritje: zgjedhjet e renditura të $k$ nga $n$ elemente të ndryshme: $V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$

Shembull. $n = 10$ , $k = 5$ : $V_{10}^{5} = \frac{10!}{5!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$

Variacionet me përsëritje (çdo element mund të zgjidhet disa herë): ${\overset{―}{V}}_{n}^{k} = n^{k}$

Shembull. Me shifrat 1 dhe 2 ( $n = 2$ ) vargje dyshifrore ( $k = 2$ ) dhe treshifrore ( $k = 3$ ):

${\overset{―}{V}}_{2}^{2} = 2^{2} = 4$ : 11, 12, 21, 22; ${\overset{―}{V}}_{2}^{3} = 2^{3} = 8$ : 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222.

Nëse renditja nuk ka rëndësi, ato janë kombinacionet: $C_{n}^{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

5. Vargjet

Vargu është funksion i numrave natyrorë: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ ; $a_{n}$ është anëtari i përgjithshëm.

Shembull. Pesë anëtarët e parë të vargjeve:

$a_{n} = \frac{1}{2 n}$ : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}$
$a_{n} = (- 1)^{n} \frac{1}{2^{n}}$ : $- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, - \frac{1}{32}$
$a_{n} = \frac{3 n + 2}{n}$ : $5, 4, \frac{11}{3}, \frac{14}{4}, \frac{17}{5}$
$a_{n} = \frac{(- 1)^{n} n^{2}}{n} = (- 1)^{n} n$ : $- 1, 2, - 3, 4, - 5$

Vargu aritmetik: çdo anëtar është i paraprakshmi plus i njëjti numër $d$ (ndryshesa). P.sh. $1, 3, 5, 7, \dots$ ( $d = 2$ ), $4, 10, 16, 22, \dots$ ( $d = 6$ ).

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ – anëtari i përgjithshëm

$S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$ – shuma e $n$ anëtarëve të parë

Shembull. Një kompani për shitjen e telefonave ditën e parë të marsit fitoi 2000 €, çdo ditë tjetër fitimi rritej për 125 €. Sa para ka fituar deri në fund të marsit?

Fitimi më 31 mars: $a_{31} = 2000 + 30 \cdot 125 = 5750$ €

Gjithsej për 31 ditë: $S_{31} = \frac{31}{2} (2000 + 5750) = \frac{31 \cdot 7750}{2} = 120125$ €

Progresioni gjeometrik: çdo anëtar është i paraprakshmi i shumëzuar me të njëjtin numër $q$ (herësi). P.sh. $2, 4, 8, 16, 32, \dots$ ( $q = 2$ ).

$a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ – anëtari i përgjithshëm

$S_{n} = a_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ – shuma e $n$ anëtarëve të parë ( $q \neq 1$ )

Testet

Kontrollohu me testet (nga 10 detyra, me zgjidhje):

Matematika I – bazat – testi 1 – Logjika: gjykimet dhe tabelat e vërtetësisë
Matematika I – bazat – testi 2 – Bashkësitë dhe induksioni matematik
Matematika I – bazat – testi 3 – Kombinatorika: permutacionet dhe variacionet
Matematika I – bazat – testi 4 – Vargjet: aritmetik dhe gjeometrik