Matematik I: mantık, kümeler, kombinatorik ve diziler

Üniversite birinci sınıf dersi: önermeler ve mantık bağlaçları, doğruluk tabloları, küme işlemleri, tümevarım, permütasyon ve varyasyonlar, aritmetik ve geometrik diziler – çözümlü örnekler ve testlerle.

1. Mantık

Önerme, ya doğru ( $⊤$ ) ya da yanlış ( $⊥$ ) olan bir cümledir. İki önermeden $p$ ve $q$ , $\neg, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ bağlaçlarıyla yeni önermeler kurulur.

Değil $\neg p$ („ $p$ değil“), $p$ yanlışken doğru, doğruyken yanlıştır.

$p$	$\neg p$
$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊤$

Ve bağlacı $p \land q$ yalnızca iki önerme de doğru olduğunda doğrudur; birinin yanlış olması yeter.

$p$	$q$	$p \land q$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊥$
$⊥$	$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊥$	$⊥$

Veya bağlacı $p \lor q$ yalnızca iki önerme de yanlış olduğunda yanlıştır.

$p$	$q$	$p \lor q$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊤$
$⊥$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊥$	$⊥$

Gerektirme $p \Rightarrow q$ („ $p$ ise $q$ “) yalnızca $p$ doğru, $q$ yanlış olduğunda yanlıştır.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊥$
$⊥$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊥$	$⊤$

Denklik $p \Leftrightarrow q$ („ $p$ ancak ve ancak $q$ “), $p$ ile $q$ aynı değerdeyken doğrudur.

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊥$
$⊥$	$⊤$	$⊥$
$⊥$	$⊥$	$⊤$

Totoloji, önermelerin tüm değerleri için doğru olan formüldür. Doğruluk tablosuyla kontrol edilir.

Örnek 1. $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p \lor q)$ formülünün totoloji olduğunu gösterin.

$p$	$q$	$\neg p$	$p \Rightarrow q$	$\neg p \lor q$	$(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p \lor q)$
$⊤$	$⊤$	$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊤$
$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$	$⊤$

Son sütun her zaman $⊤$ : formül bir totolojidir. Bu yüzden gerektirme $\neg p \lor q$ ile değiştirilebilir.

Örnek 2. $((p \land \neg q) \lor (\neg p \land q)) \Rightarrow (p \lor q)$ formülü nedir?

$p$	$q$	$p \land \neg q$	$\neg p \land q$	$(p \land \neg q) \lor (\neg p \land q)$	$p \lor q$	$\Rightarrow$
$⊤$	$⊤$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊤$	$⊤$
$⊤$	$⊥$	$⊤$	$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊤$	$⊥$	$⊤$	$⊤$	$⊤$	$⊤$
$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊥$	$⊤$

Bu formül de bir totolojidir: önermelerden tam biri doğruyken „ $p$ veya $q$ “ da doğrudur.

Kurallar

$p \land q \Leftrightarrow q \land p$ – ve bağlacının değişme özelliği
$(p \land q) \land r \Leftrightarrow p \land (q \land r)$ – ve bağlacının birleşme özelliği
$p \lor q \Leftrightarrow q \lor p$ – veya bağlacının değişme özelliği
$(p \lor q) \lor r \Leftrightarrow p \lor (q \lor r)$ – veya bağlacının birleşme özelliği
$(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$ – karşıt ters (kontrapozisyon) kuralı
$\neg (p \land q) \Leftrightarrow \neg p \lor \neg q$ , $\neg (p \lor q) \Leftrightarrow \neg p \land \neg q$ – De Morgan kuralları

Kendini dene:

p = ⊤

q = ⊥

→

p \Rightarrow q

Cevap: $⊥$ .

2. Kümeler

Küme işlemleri

$A \cup B = {x ∣ x \in A \lor x \in B}$ – birleşim: en az bir kümede olan elemanlar
$A \cap B = {x ∣ x \in A \land x \in B}$ – kesişim: ortak elemanlar
$A ∖ B = {x ∣ x \in A \land x \notin B}$ – fark
$A Δ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ – simetrik fark
$A^{c} = \overset{―}{A} = C_{B} A = {x ∣ x \in B \land x \notin A}$ – $A$ ’nın $B$ ’ye göre tümleyeni
$P (A) = {X ∣ X \subseteq A}$ – kuvvet kümesi: $A$ ’nın tüm alt kümeleri; $A$ $n$ elemanlıysa $P (A)$ $2^{n}$ elemanlıdır
$A \times B = {(x, y) ∣ x \in A \land y \in B}$ – kartezyen çarpım: tüm sıralı ikililer

Örnek. Özellikle verilen kümelerin liste yöntemiyle yazılışı:

${x ∣ x \in Z \land - 2 \leq x \leq 7} = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$
$\{x\mid x\in\mathbb N,\ x\text{ tek}\land x<10\}=\{1,3,5,7,9\}$
${x ∣ x \in R \land x^{2} - 25 = 0} = {- 5, 5}$

$A = {1, 2, 3, 4}$ ve $B = {3, 4, 5}$ için:

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $A \cap B = {3, 4}$ , $A ∖ B = {1, 2}$ , $A Δ B = {1, 2, 5}$
$P ({1, 2}) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$ , ${1, 2} \times {a, b} = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}$

3. Tümevarım

Doğal sayıların birçok özelliği tümevarım ilkesiyle üç adımda kanıtlanır:

kontrol: iddia $n = 1$ için doğrudur;
varsayım: iddia $n = k$ için doğrudur;
kanıt: o zaman $n = k + 1$ için de doğrudur.

Örnek. $1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ olduğunu kanıtlayın.

1) $n = 1$ için: $1 = \frac{1 \cdot 2}{2}$ ✓.

2–3) $1 + 2 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2}$ olsun. O zaman $1 + 2 + \dots + k + (k + 1) = \frac{k (k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}$ , bu $n = k + 1$ için formüldür ✓.

4. Kombinatorik

Faktöriyel: $n! = n \cdot (n - 1) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1$ , $1! = 1$ , $0! = 1$ ; $3! = 6$ , $5! = 120$ .

$n$ farklı elemanın permütasyonları (sıralanışları): $P (n) = n!$

$n$ eleman arasında $k_{1}, k_{2}, \dots$ tane aynı olanlar varsa tekrarlı permütasyonlar: $P (n; k_{1}, k_{2}, \dots) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots}$

Örnek. TEUTA kelimesinin harflerinden (5 harf, T iki kez) kaç farklı kelime elde edilir?

$P (5; 2, 1, 1, 1) = \frac{5!}{2! 1! 1! 1!} = \frac{120}{2} = 60$

Örnek. 0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarıyla, rakamları farklı kaç altı basamaklı sayı yazılır? Tüm $6!$ sıralanıştan 0 ile başlayanlar ( $5!$ ) çıkarılır:

$6! - 5! = 5! (6 - 1) = 120 \cdot 5 = 600$

Tekrarsız varyasyonlar: $n$ farklı elemandan $k$ tanesinin sıralı seçimi: $V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$

Örnek. $n = 10$ , $k = 5$ : $V_{10}^{5} = \frac{10!}{5!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$

Tekrarlı varyasyonlar (her eleman birden çok kez seçilebilir): ${\overset{―}{V}}_{n}^{k} = n^{k}$

Örnek. 1 ve 2 rakamlarıyla ( $n = 2$ ) iki basamaklı ( $k = 2$ ) ve üç basamaklı ( $k = 3$ ) diziler:

${\overset{―}{V}}_{2}^{2} = 2^{2} = 4$ : 11, 12, 21, 22; ${\overset{―}{V}}_{2}^{3} = 2^{3} = 8$ : 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222.

Sıra önemli değilse bunlar kombinasyonlardır: $C_{n}^{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

5. Diziler

Dizi, doğal sayılardan tanımlı bir fonksiyondur: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ ; $a_{n}$ genel terimdir.

Örnek. Dizilerin ilk beş terimi:

$a_{n} = \frac{1}{2 n}$ : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}$
$a_{n} = (- 1)^{n} \frac{1}{2^{n}}$ : $- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, - \frac{1}{32}$
$a_{n} = \frac{3 n + 2}{n}$ : $5, 4, \frac{11}{3}, \frac{14}{4}, \frac{17}{5}$
$a_{n} = \frac{(- 1)^{n} n^{2}}{n} = (- 1)^{n} n$ : $- 1, 2, - 3, 4, - 5$

Aritmetik dizi: her terim bir öncekine aynı $d$ sayısının (ortak fark) eklenmesidir. Örneğin $1, 3, 5, 7, \dots$ ( $d = 2$ ), $4, 10, 16, 22, \dots$ ( $d = 6$ ).

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ – genel terim

$S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$ – ilk $n$ terimin toplamı

Örnek. Telefon satan bir şirket 1 Mart’ta 2000 € kazandı, sonraki her gün kazanç 125 € arttı. Mart sonuna kadar ne kadar kazandı?

31 Mart’taki kazanç: $a_{31} = 2000 + 30 \cdot 125 = 5750$ €

31 günün toplamı: $S_{31} = \frac{31}{2} (2000 + 5750) = \frac{31 \cdot 7750}{2} = 120125$ €

Geometrik dizi: her terim bir öncekinin aynı $q$ sayısıyla (ortak oran) çarpımıdır. Örneğin $2, 4, 8, 16, 32, \dots$ ( $q = 2$ ).

$a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ – genel terim

$S_{n} = a_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ – ilk $n$ terimin toplamı ( $q \neq 1$ )

Testler

Testlerle kendini dene (10’ar soru, çözümlü):

Matematik I – temeller – test 1 – Mantık: önermeler ve doğruluk tabloları
Matematik I – temeller – test 2 – Kümeler ve tümevarım
Matematik I – temeller – test 3 – Kombinatorik: permütasyonlar ve varyasyonlar
Matematik I – temeller – test 4 – Diziler: aritmetik ve geometrik