Ushtrime dhe lojëra › Matematika interesante

Matematika interesante

Shtojcë: tekste interesante dhe detyra për të menduar. Lexo tregimin, provo vetë, pastaj hap zgjidhjen.

Detyra 1. Çelësat e valixheve

Në një dyqan arritën 10 valixhe dhe, veçmas, një zarf me 10 çelësa. Çdo çelës hap vetëm një valixhe dhe për çdo valixhe ka një çelës.

Punëtori ankohet: „Nëse te valixhja e parë del se përshtatet vetëm çelësi i dhjetë, do të provoj 10 çelësa vetëm për një valixhe – e për dhjetë valixhe plot 100 prova!“

a) Sa prova nevojiten në të vërtetë në rastin më të keq, nëse çelësat i provojmë valixhe pas valixheje?

b) Një koleg propozon ndryshe: merr një çelës dhe provoje në valixhet një nga një, derisa të gjesh valixhen e tij. Sa prova nevojiten tani në rastin më të keq?

Shfaq zgjidhjen

a) Nëse për çdo valixhe provojmë të gjithë çelësat që kanë mbetur: për të parën më së shumti 10, për të dytën 9, … për të fundit 1, gjithsej \(10+9+\dots+1=55\) prova, jo 100. (Në fakt as çelësi i fundit i çdo grupi nuk duhet provuar: nëse asnjë tjetër nuk hap, hap ai. Atëherë mjaftojnë \(9+8+\dots+1=45\) prova.)

b) Çelësin e parë e provojmë në valixhet. Nëse nuk hap asnjërën nga 9 të parat, patjetër është për të dhjetën, prandaj mjaftojnë më së shumti 9 prova. Çelësi i dytë – më së shumti 8 prova, i treti – 7, … i nënti – 1, ndërsa për çelësin e dhjetë mbetet vetëm një valixhe, prandaj nuk duhet provuar.

\[9+8+7+6+5+4+3+2+1=45\]

Pra në rastin më të keq mjaftojnë 45 prova. Përparësia është se gjithmonë dimë cili çelës është për cilën valixhe dhe çelësat nuk përzihen. Mesatarisht nevojiten rreth gjysma e kësaj, pra 22–23 prova.

Detyra 2. Veturat dhe aeroplani

Distanca ndërmjet dy qyteteve është 300 km. Në të njëjtin moment nga të dy qytetet nisen njëra drejt tjetrës dy vetura, secila me shpejtësi 50 km/h, pa u ndalur.

Në të njëjtin moment nga qyteti i parë fluturon një aeroplan me shpejtësi 100 km/h. Ai fluturon deri te vetura e dytë, menjëherë kthehet drejt së parës, pastaj përsëri drejt së dytës, dhe kështu me radhë derisa veturat të takohen.

Sa kilometra do të fluturojë aeroplani?

Shfaq zgjidhjen

Nuk është e nevojshme t’i njehsojmë të gjitha fluturimet! Mjafton të dimë sa kohë fluturon aeroplani.

Veturat afrohen me shpejtësi \(50+50=100\) km/h, prandaj 300 km do t’i kalojnë për \(\frac{300}{100}=3\) orë.

Gjatë gjithë kësaj kohe aeroplani fluturon me 100 km/h, pra fluturon \(100\cdot3=\) 300 km.

Detyra 3. Fija e mëndafshit

Një njeri kureshtar bëri këtë njehsim. Qyteti Lion në Francë, i njohur për fabrikat e mëndafshit, harxhon çdo vit 1 milion kilogramë mëndafsh. Një gram mëndafsh e tjerrin 4 krimba mëndafshi, ndërsa një krimb tjerr fije të gjatë 500 m.

a) Sa krimba mëndafshi nevojiten për mëndafshin e Lionit për një vit?

b) Sa do të ishte e gjatë fija e të gjithë këtyre krimbave së bashku (në kilometra)?

c) Sa herë është ajo më e gjatë se distanca Tokë – Diell (rreth 150 milionë km) dhe sa herë do ta rrethonte ekuatorin (40 000 km)?

Shfaq zgjidhjen

a) \(1\,000\,000\) kg \(=10^9\) g. Për çdo gram 4 krimba: \(4\cdot10^9=\) 4 miliardë krimba.

b) \(4\cdot10^9\cdot500\) m \(=2\cdot10^{12}\) m \(=\) 2 miliardë km.

c) \(\frac{2\,000\,000\,000}{150\,000\,000}\approx13\) herë më e gjatë se distanca deri te Dielli, rreth 5200 herë më e gjatë se distanca deri te Hëna (384 000 km), ndërsa ekuatorin do ta rrethonte \(\frac{2\,000\,000\,000}{40\,000}=\) 50 000 herë.

Interesante: në librin e vjetër nga i cili është marrë tregimi shkruan „25 mijë herë“ – kontrolloje gjithmonë vetë njehsimin!

Detyra 4. Turistët dhe byrekët

Tre turistë të lodhur dhe të uritur arritën në një shtëpi malore, porositën byrekë dhe fjetën duke pritur. Byrekët ua sollën në tavolinë pa i zgjuar.

Turisti i parë u zgjua, i numëroi byrekët, hëngri një të tretën dhe përsëri fjeti. Pastaj u zgjua i dyti, numëroi byrekët që kishin mbetur, hëngri një të tretën e tyre dhe fjeti. Në fund u zgjua i treti dhe bëri njësoj. Në tavolinë mbetën 8 byrekë.

a) Sa byrekë ishin sjellë?

b) Si të ndahen drejt 8 byrekët e mbetur (secili duhet të hajë njësoj)?

Shfaq zgjidhjen

Nisemi nga fundi. I treti hëngri një të tretën dhe la 8, pra 8 janë dy të tretat: ai gjeti 12 dhe hëngri 4.

I dyti la 12 (dy të tretat), pra gjeti 18 dhe hëngri 6. I pari la 18, pra gjeti 27 byrekë dhe hëngri 9.

b) Secili duhet të hajë \(27:3=9\) byrekë. I pari ka ngrënë 9, i dyti 6, prandaj merr edhe 3, ndërsa i treti ka ngrënë 4, prandaj merr edhe 5 (\(3+5=8\)).

Detyra 5. Trenat me vagonë për qymyr

Nga një stacion hekurudhor duhej të niseshin 11 trena, secili me 35 vagonë për qymyr. Për të liruar disa lokomotiva për punë tjetër, propozuan që secilit tren t’i shtohen nga 5 vagonë aq herë sa lokomotiva lirohen.

Kështu u dërguan të gjithë vagonët. Sa lokomotiva u liruan?

Shfaq zgjidhjen

Vagonët janë \(11\cdot35=385\). Nëse lirohen \(x\) lokomotiva, mbeten \(11-x\) trena me nga \(35+5x\) vagonë:

\[(11-x)(35+5x)=385\ \Rightarrow\ 385+55x-35x-5x^2=385\ \Rightarrow\ 5x(4-x)=0.\]

\(x=0\) është renditja e parë, ndërsa \(x=4\) e reja: lirohen 4 lokomotiva. Në vend të 11 trenave me 35 vagonë nisen 7 trena me \(35+4\cdot5=55\) vagonë (\(7\cdot55=385\)).

Pa barazim: \(385=5\cdot7\cdot11\); çiftet e faktorëve janë \(1\cdot385,\ 5\cdot77,\ 7\cdot55,\ 11\cdot35\). Vetëm \(7\cdot55\) përshtatet: \(11-7=4\) dhe \(35+4\cdot5=55\).