Alıştırmalar ve oyunlar › İlginç matematik

İlginç matematik

Ek: ilginç metinler ve düşündüren sorular. Hikâyeyi okuyun, önce kendiniz deneyin, sonra çözümü açın.

Soru 1. Bavulların anahtarları

Bir mağazaya 10 bavul ve ayrıca içinde 10 anahtar bulunan bir zarf geldi. Her anahtar yalnızca bir bavulu açıyor ve her bavulun bir anahtarı var.

Çalışan yakınıyor: „Birinci bavulda ancak onuncu anahtarın uyduğu ortaya çıkarsa, tek bir bavul için 10 anahtar deneyeceğim – on bavul için tam 100 deneme!“

a) Anahtarları bavul bavul denersek, en kötü durumda gerçekte kaç deneme gerekir?

b) Bir iş arkadaşı başka bir yol öneriyor: bir anahtar al ve kendi bavulunu bulana kadar bavullarda tek tek dene. Şimdi en kötü durumda kaç deneme gerekir?

Çözümü göster

a) Her bavul için kalan bütün anahtarları denersek: birincisi için en çok 10, ikincisi için 9, … sonuncusu için 1, toplam \(10+9+\dots+1=55\) deneme, 100 değil. (Aslında her gruptaki son anahtarı denemeye de gerek yok: başkası açmıyorsa kesinlikle o açar. O zaman \(9+8+\dots+1=45\) deneme yeter.)

b) Birinci anahtarı bavullarda deneriz. İlk 9 bavulun hiçbirini açmazsa kesinlikle onuncu bavulundur, bu yüzden en çok 9 deneme yeter. İkinci anahtar – en çok 8 deneme, üçüncü – 7, … dokuzuncu – 1; onuncu anahtar için tek bir bavul kalır, denemeye gerek yoktur.

\[9+8+7+6+5+4+3+2+1=45\]

Yani en kötü durumda 45 deneme yeter. Üstelik hangi anahtarın hangi bavula ait olduğunu her zaman biliriz ve anahtarlar karışmaz. Ortalama olarak bunun yaklaşık yarısı, yani 22–23 deneme gerekir.

Soru 2. Arabalar ve uçak

İki şehir arasındaki uzaklık 300 km. Aynı anda iki şehirden birbirine doğru iki araba yola çıkıyor; her biri durmadan 50 km/sa hızla gidiyor.

Aynı anda birinci şehirden 100 km/sa hızla bir uçak havalanıyor. İkinci arabaya kadar uçuyor, hemen birinci arabaya doğru dönüyor, sonra yine ikinciye doğru, ve arabalar karşılaşana kadar böyle devam ediyor.

Uçak kaç kilometre uçar?

Çözümü göster

Bütün uçuşları tek tek hesaplamaya gerek yok! Uçağın ne kadar süre uçtuğunu bilmek yeterli.

Arabalar birbirine \(50+50=100\) km/sa hızla yaklaşıyor, bu yüzden 300 km’yi \(\frac{300}{100}=3\) saatte alırlar.

Bu sürenin tamamında uçak 100 km/sa hızla uçar, yani \(100\cdot3=\) 300 km uçar.

Soru 3. İpek iplik

Meraklı bir adam şu hesabı yapmış. İpek fabrikalarıyla ünlü Fransa’nın Lyon şehri her yıl 1 milyon kilogram ipek kullanıyor. Bir gram ipeği 4 ipekböceği örüyor ve bir böcek 500 m uzunluğunda iplik örüyor.

a) Lyon’un bir yıllık ipeği için kaç ipekböceği gerekir?

b) Bütün bu böceklerin ipliği birlikte kaç kilometre olurdu?

c) Bu iplik Dünya – Güneş uzaklığından (yaklaşık 150 milyon km) kaç kat uzundur ve ekvatoru (40 000 km) kaç kez sarardı?

Çözümü göster

a) \(1\,000\,000\) kg \(=10^9\) g. Her gram için 4 böcek: \(4\cdot10^9=\) 4 milyar böcek.

b) \(4\cdot10^9\cdot500\) m \(=2\cdot10^{12}\) m \(=\) 2 milyar km.

c) Güneş’e uzaklıktan \(\frac{2\,000\,000\,000}{150\,000\,000}\approx13\) kat, Ay’a uzaklıktan (384 000 km) yaklaşık 5200 kat uzundur; ekvatoru \(\frac{2\,000\,000\,000}{40\,000}=\) 50 000 kez sarardı.

İlginç: hikâyenin alındığı eski kitapta „25 bin kez“ yazıyor – hesabı her zaman kendiniz kontrol edin!

Soru 4. Turistler ve börekler

Yorgun ve aç üç turist bir dağ evine varmış, börek ısmarlamış ve beklerken uyuyakalmış. Börekleri onları uyandırmadan masaya koymuşlar.

Birinci turist uyanmış, börekleri saymış, üçte birini yemiş ve yine uyumuş. Sonra ikinci turist uyanmış, kalan börekleri saymış, üçte birini yemiş ve uyumuş. En sonunda üçüncü turist uyanmış ve aynısını yapmış. Masada 8 börek kalmış.

a) Kaç börek getirilmişti?

b) Kalan 8 börek adil olarak nasıl paylaştırılmalı (herkes eşit yemeli)?

Çözümü göster

Sondan başlayalım. Üçüncü turist üçte birini yiyip 8 bırakmış, yani 8 üçte ikidir: 12 bulmuş ve 4 yemiş.

İkinci 12 bırakmış (üçte iki), yani 18 bulmuş ve 6 yemiş. Birinci 18 bırakmış, yani 27 börek bulmuş ve 9 yemiş.

b) Herkes \(27:3=9\) börek yemeli. Birinci 9 yedi, ikinci 6 yedi, bu yüzden 3 daha alır; üçüncü 4 yedi, 5 daha alır (\(3+5=8\)).

Soru 5. Kömür vagonlu trenler

Bir tren istasyonundan her birinde 35 kömür vagonu olan 11 tren yola çıkacaktı. Başka bir iş için birkaç lokomotifi boşa çıkarmak amacıyla, her trene boşa çıkarılan lokomotif sayısı kadar kez 5’er vagon eklenmesi önerildi.

Böylece bütün vagonlar gönderildi. Kaç lokomotif boşa çıkarıldı?

Çözümü göster

Vagon sayısı \(11\cdot35=385\). \(x\) lokomotif boşa çıkarsa, her birinde \(35+5x\) vagon olan \(11-x\) tren kalır:

\[(11-x)(35+5x)=385\ \Rightarrow\ 385+55x-35x-5x^2=385\ \Rightarrow\ 5x(4-x)=0.\]

\(x=0\) ilk düzendir, \(x=4\) ise yenisi: 4 lokomotif boşa çıkar. 35 vagonlu 11 tren yerine \(35+4\cdot5=55\) vagonlu 7 tren gider (\(7\cdot55=385\)).

Denklemsiz: \(385=5\cdot7\cdot11\); çarpan çiftleri \(1\cdot385,\ 5\cdot77,\ 7\cdot55,\ 11\cdot35\). Yalnızca \(7\cdot55\) uyar: \(11-7=4\) ve \(35+4\cdot5=55\).