matura.mkВежби и игри › Интересна математика
Интересна математика
Додаток: интересни текстови и задачи за размислување. Прочитај ја приказната, обиди се сам, па отвори го решението.
Задача 1. Клучеви од куфери
Во продавница стигнале 10 куфери и, посебно, плик со 10 клучеви. Секој клуч отвора само еден куфер, а за секој куфер има клуч.
Работникот се жали: „Ако кај првиот куфер подоцна се покаже дека одговара дури десеттиот клуч, ќе пробам 10 клучеви само за еден куфер – а за десет куфери цели 100 проби!“
а) Колку проби навистина се потребни во најлош случај ако клучевите ги пробуваме куфер по куфер?
б) Колегата предлага поинаку: земи еден клуч и пробувај го на куферите еден по еден, додека не го најдеш неговиот куфер. Колку проби се потребни во најлош случај сега?
Прикажи решение
а) Ако за секој куфер ги пробуваме сите клучеви што останале: за првиот најмногу 10, за вториот 9, … за последниот 1, вкупно \(10+9+\dots+1=55\) проби, а не 100. (Всушност и последниот клуч од секоја група не мора да се проба: ако ниеден друг не отвора, сигурно отвора тој. Тогаш се доволни \(9+8+\dots+1=45\) проби.)
б) Првиот клуч го пробуваме на куферите. Ако не отвори ниеден од првите 9, сигурно е за десеттиот, па се доволни најмногу 9 проби. Вториот клуч – најмногу 8 проби, третиот – 7, … деветтиот – 1, а за десеттиот клуч останува само еден куфер, па не мора да се проба.
\[9+8+7+6+5+4+3+2+1=45\]
Значи во најлош случај доволни се 45 проби. Предноста е што секогаш знаеме кој клуч е за кој куфер и клучевите не се мешаат. Во просек се потребни околу половина од тоа, т.е. 22–23 проби.
Задача 2. Автомобили и авион
Растојанието меѓу два града е 300 km. Во ист момент од двата града тргнуваат еден кон друг два автомобила, секој со брзина 50 km/h, без застанување.
Во истиот момент од првиот град полетува авион со брзина 100 km/h. Тој лета до вториот автомобил, веднаш се враќа кон првиот, па пак кон вториот, и така сè додека автомобилите не се сретнат.
Колку километри ќе прелета авионот?
Прикажи решение
Не мора да ги пресметуваме сите летови! Доволно е да знаеме колку време лета авионот.
Автомобилите се приближуваат со брзина \(50+50=100\) km/h, па 300 km ќе ги поминат за \(\frac{300}{100}=3\) часа.
Цело тоа време авионот лета со 100 km/h, значи прелетува \(100\cdot3=\) 300 km.
Задача 3. Свилен конец
Еден љубопитен човек ја направил следнава пресметка. Градот Лион во Франција, познат по фабриките за свила, годишно троши 1 милион килограми свила. Еден грам свила го испредуваат 4 свилени буби, а една буба испредува конец долг 500 m.
а) Колку свилени буби се потребни за свилата на Лион за една година?
б) Колку би бил долг конецот на сите тие буби заедно (во километри)?
в) Колку пати е тој подолг од растојанието Земја – Сонце (околу 150 милиони km) и колку пати би го обиколил екваторот (40 000 km)?
Прикажи решение
а) \(1\,000\,000\) kg \(=10^9\) g. За секој грам 4 буби: \(4\cdot10^9=\) 4 милијарди буби.
б) \(4\cdot10^9\cdot500\) m \(=2\cdot10^{12}\) m \(=\) 2 милијарди km.
в) \(\frac{2\,000\,000\,000}{150\,000\,000}\approx13\) пати подолг од растојанието до Сонцето, околу 5200 пати подолг од растојанието до Месечината (384 000 km), а екваторот би го обиколил \(\frac{2\,000\,000\,000}{40\,000}=\) 50 000 пати.
Интересно: во старата книга од која е земена приказната пишува „25 илјади пати“ – провери ја секогаш пресметката сам!
Задача 4. Туристи и пити
Тројца уморни и гладни туристи стигнале во планинарски дом, нарачале пити и заспале додека ги чекале. Питите им ги донеле на масата без да ги разбудат.
Првиот турист се разбудил, ги изброил питите, изел третина и пак заспал. Потоа се разбудил вториот, ги изброил питите што останале, изел третина од нив и заспал. На крајот се разбудил третиот и направил исто така. На масата останале 8 пити.
а) Колку пити биле донесени?
б) Како праведно да се поделат преостанатите 8 пити (секој треба да изеде еднакво)?
Прикажи решение
Тргнуваме од крајот. Третиот изел третина и оставил 8, значи 8 се две третини: тој затекнал 12 и изел 4.
Вториот оставил 12 (две третини), значи затекнал 18 и изел 6. Првиот оставил 18, значи затекнал 27 пити и изел 9.
б) Секој треба да изеде \(27:3=9\) пити. Првиот веќе изел 9, вториот изел 6, па добива уште 3, а третиот изел 4, па добива уште 5 (\(3+5=8\)).
Задача 5. Возови со вагони за јаглен
Од железничка станица требало да тргнат 11 возови, секој со 35 вагони за јаглен. За да се ослободат неколку локомотиви за друга работа, предложиле на секој воз да се закачат по 5 вагони толку пати колку локомотиви се ослободуваат.
Така сите вагони биле испратени. Колку локомотиви се ослободиле?
Прикажи решение
Вагоните се \(11\cdot35=385\). Ако се ослободат \(x\) локомотиви, остануваат \(11-x\) возови со по \(35+5x\) вагони:
\[(11-x)(35+5x)=385\ \Rightarrow\ 385+55x-35x-5x^2=385\ \Rightarrow\ 5x(4-x)=0.\]
\(x=0\) е првиот распоред, а \(x=4\) е новиот: 4 локомотиви се ослободени. Наместо 11 возови со 35 вагони тргнуваат 7 возови со \(35+4\cdot5=55\) вагони (\(7\cdot55=385\)).
Без равенка: \(385=5\cdot7\cdot11\); паровите множители се \(1\cdot385,\ 5\cdot77,\ 7\cdot55,\ 11\cdot35\). Само \(7\cdot55\) одговара: \(11-7=4\) и \(35+4\cdot5=55\).