Geometride vektörler

Eşit ve zıt vektörler, toplama, orta noktalar, ağırlık merkezi, doğru parçasını bölen noktalar, düzgün altıgen. Adım adım çözümlü 12 soru.

Her soruyu önce defterinde çöz, sonra çözümü aç.

Soru 1 Eşit ve zıt vektörler

\(ABCD\) bir paralelkenar ve \(O\) köşegenlerinin kesişim noktasıdır.

a) \(\vec{AO}\) ve \(\vec{AB}\) vektörlerine eşit olan tüm vektörleri yazın. b) \(\vec{OB}\) vektörünün zıttı olan tüm vektörleri yazın. c) \(\vec{AD} = \vec{BC}\) doğru mu? \(\vec{AD} = \vec{CB}\) doğru mu?

Çözümü göster

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar, bu yüzden \(AO = OC\) ve \(BO = OD\).

a) \(\vec{AO} = \vec{OC}\); \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
b) Zıt vektörlerin uzunlukları aynı, yönleri zıttır: \(\vec{BO}\) ve \(\vec{OD}\).
c) \(\vec{AD} = \vec{BC}\) (aynı uzunluk, aynı yön). \(\vec{AD} \ne \vec{CB}\): bunlar zıttır, \(\vec{CB} = -\vec{AD}\).

Soru 2 Üçgenin kenar orta noktaları

\(ABC\) üçgeninde \(K\), \(L\), \(M\) noktaları \(AB\), \(BC\) ve \(CA\) kenarlarının orta noktalarıdır. Uç noktaları \(A, B, C, K, L, M\) arasından olan ve \(\vec{KL}\), \(\vec{AM}\) ile \(\vec{LM}\) vektörlerine eşit olan tüm vektörleri yazın.

Çözümü göster

Orta taban teoremine göre \(KL \parallel AC\), \(KL = \frac12 AC\); \(LM \parallel AB\), \(LM = \frac12 AB\); \(KM \parallel BC\), \(KM = \frac12 BC\).

\(\vec{KL} = \vec{AM} = \vec{MC}\) (hepsi \(A\) tarafından \(C\) yönüne bakar, \(AC\) uzunluğunun yarısı).
\(\vec{AM} = \vec{KL} = \vec{MC}\).
\(\vec{LM} = \vec{BK} = \vec{KA}\).

Soru 3 Vektörleri toplama

Sadeleştirin.

a) \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\) b) \(\vec{PQ} + \vec{RP} + \vec{QS}\) c) \(\vec{MN} - \vec{KN} + \vec{KL}\) d) \(\vec{OA} - \vec{OB} + \vec{BC} - \vec{AC}\)

Çözümü göster

\(\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}\) ve \(-\vec{XY} = \vec{YX}\) kullanın.

a) \(\vec{AD}\)
b) \(\vec{RP} + \vec{PQ} + \vec{QS} = \vec{RS}\)
c) \(\vec{MN} + \vec{NK} + \vec{KL} = \vec{ML}\)
d) \(\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}\), böylece \(\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{CA}\) elde ederiz. \(\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}\) olduğundan sonuç \(2\vec{BA}\).

Soru 4 Üçgenin kenarortayı

\(ABC\) üçgeninde \(M\), \(BC\) kenarının orta noktasıdır. \(\vec{AM}\) vektörünü \(\vec{AB}\) ve \(\vec{AC}\) cinsinden yazın.

Çözümü göster

\(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \frac12\vec{BC}\) ve \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\).

\[\vec{AM} = \vec{AB} + \tfrac12(\vec{AC} - \vec{AB}) = \tfrac12\vec{AB} + \tfrac12\vec{AC}.\]

Soru 5 Kenarı bölen nokta

\(ABC\) üçgeninde \(D\) noktası \(BC\) üzerindedir ve \(|BD| = 3|DC|\). \(\vec{AD}\) vektörünü \(\vec{AB}\) ve \(\vec{AC}\) cinsinden yazın.

Çözümü göster

\(|BD| = \frac34|BC|\), yani \(\vec{BD} = \frac34\vec{BC} = \frac34(\vec{AC} - \vec{AB})\).

\[\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \tfrac14\vec{AB} + \tfrac34\vec{AC}.\]

Soru 6 Ağırlık merkezi

\(G\), \(ABC\) üçgeninin ağırlık merkezi ve \(P\) herhangi bir noktadır. \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\) ve \(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = 3\vec{PG}\) olduğunu gösterin.

Çözümü göster

\(M\), \(BC\) kenarının orta noktası olsun. O zaman \(\vec{GB} + \vec{GC} = 2\vec{GM}\). Ağırlık merkezi \(AM\) kenarortayını \(2:1\) oranında böler, yani \(\vec{GA} = -2\vec{GM}\).

Bu yüzden \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = -2\vec{GM} + 2\vec{GM} = \vec{0}\).

Her \(P\) için: \(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = 3\vec{PG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = 3\vec{PG}\).

Soru 7 Doğru üzerindeki noktalar

\(A\), \(C\), \(M\), \(B\) noktaları bu sırayla bir doğru üzerindedir, \(|AB| = 4|AC|\) ve \(M\), \(CB\) parçasının orta noktasıdır. \(\vec{MA}\) vektörünü \(\vec{MC}\) ve \(\vec{MB}\) cinsinden yazın.

Çözümü göster

\(|AC| = 1\) alalım; böylece \(|AB| = 4\) ve \(|CB| = 3\). O zaman \(|MC| = |MB| = 1.5\) ve \(|MA| = 2.5\).

\(\vec{MA}\), \(\vec{MC}\) ile aynı yöne bakar (\(A\) yönüne), yani \(\vec{MA} = \frac{2.5}{1.5}\vec{MC} = \frac53\vec{MC}\). \(\vec{MB} = -\vec{MC}\) olduğundan \(\vec{MA} = -\frac53\vec{MB}\) de yazabiliriz.

İki vektörle yazılışı: \(\vec{MA} = \frac43\vec{MC} - \frac13\vec{MB}\) (kontrol: \(\frac43\vec{MC} + \frac13\vec{MC} = \frac53\vec{MC}\)).

Soru 8 Düzgün altıgen

\(ABCDEF\), merkezi \(O\) olan düzgün bir altıgendir, \(\vec{AB} = \vec{a}\) ve \(\vec{BC} = \vec{b}\). \(\vec{a}\) ve \(\vec{b}\) cinsinden yazın:

a) \(\vec{CD}\) b) \(\vec{AO}\) c) \(\vec{AD}\) d) \(\vec{DE}\) e) \(\vec{AC}\) f) \(\vec{FC}\)

Çözümü göster

Düzgün altıgende altı \(OAB, OBC, \dots\) üçgeni eşkenardır, bu yüzden \(\vec{OC} = \vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AF} = \vec{CD}\) ve \(\vec{BC} = \vec{AO} = \vec{OD} = \vec{b}\).

a) \(\vec{CD} = \vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = -\vec{a} + \vec{b}\), yani \(\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}\).
b) \(\vec{AO} = \vec{b}\).
c) \(\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2\vec{b}\).
d) \(\vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{a}\).
e) \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\).
f) \(\vec{FC} = 2\vec{AB} = 2\vec{a}\).

Soru 9 Vektörlerle orta taban

a) \(ABC\) üçgeninde \(D\) ve \(E\), \(AB\) ve \(AC\) kenarlarının orta noktalarıdır. Vektörlerle \(DE \parallel BC\) ve \(|DE| = \frac12|BC|\) olduğunu gösterin.

b) Paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ortaladığını vektörlerle gösterin.

Çözümü göster

a) \(\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE} = \frac12\vec{BA} + \frac12\vec{AC} = \frac12(\vec{BA} + \vec{AC}) = \frac12\vec{BC}\). Yani \(\vec{DE}\), \(\vec{BC}\) vektörünün bir katıdır: doğrular paraleldir ve \(|DE| = \frac12|BC|\).

b) \(ABCD\) bir paralelkenar, \(\vec{AB} = \vec{u}\), \(\vec{AD} = \vec{v}\) olsun. \(AC\) parçasının orta noktası \(M\) için \(\vec{AM} = \frac12(\vec{u} + \vec{v})\). \(BD\) parçasının orta noktası \(N\): \(\vec{AN} = \vec{AB} + \frac12\vec{BD} = \vec{u} + \frac12(\vec{v} - \vec{u}) = \frac12(\vec{u} + \vec{v})\). Yani \(M = N\).

Soru 10 Kenarortayların toplamı

\(ABC\) üçgeninde \(D\), \(E\), \(F\) sırasıyla \(BC\), \(CA\), \(AB\) kenarlarının orta noktalarıdır. \(\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF}\) bulun.

Çözümü göster

\(\vec{AD} = \frac12(\vec{AB} + \vec{AC})\), \(\vec{BE} = \frac12(\vec{BA} + \vec{BC})\), \(\vec{CF} = \frac12(\vec{CA} + \vec{CB})\).

Toplamda \(\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}\), \(\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}\), \(\vec{BC} + \vec{CB} = \vec{0}\). Yani \(\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \vec{0}\).

Soru 11 Paralelkenarda oranlar

\(OPQR\), \(\vec{OP} = \vec{p}\) ve \(\vec{OR} = \vec{r}\) olan bir paralelkenardır. \(S\), \(OP\) üzerinde \(OS : SP = 1 : 2\) olan noktadır ve \(T\), \(PQ\) parçasının orta noktasıdır.

a) \(\vec{OS}\), \(\vec{OT}\) ve \(\vec{ST}\) vektörlerini \(\vec{p}\) ve \(\vec{r}\) cinsinden yazın. b) \(U\), \(OQ\) üzerindedir ve \(\vec{OU} = \frac34\vec{OQ}\). \(\vec{SU}\) vektörünü yazın.

Çözümü göster

a) \(\vec{OS} = \frac13\vec{p}\). \(\vec{PQ} = \vec{OR} = \vec{r}\), yani \(\vec{OT} = \vec{p} + \frac12\vec{r}\). \(\vec{ST} = \vec{OT} - \vec{OS} = \frac23\vec{p} + \frac12\vec{r}\).

b) \(\vec{OQ} = \vec{p} + \vec{r}\), \(\vec{OU} = \frac34\vec{p} + \frac34\vec{r}\), \(\vec{SU} = \vec{OU} - \vec{OS} = \frac{5}{12}\vec{p} + \frac34\vec{r}\).

Soru 12 Doğruların kesişimi

\(OAB\), \(\vec{OA} = \vec{a}\), \(\vec{OB} = \vec{b}\) olan bir üçgendir. \(M\), \(OA\) kenarının orta noktası, \(N\) ise \(OB\) üzerinde ve \(ON : NB = 2 : 1\). \(AN\) ve \(BM\) doğruları \(X\) noktasında kesişiyor. \(\vec{OX}\) vektörünü \(\vec{a}\) ve \(\vec{b}\) cinsinden bulun.

Çözümü göster

\(AN\) üzerinde \(X\): \(\vec{OX} = \vec{a} + s\left(\frac23\vec{b} - \vec{a}\right) = (1 - s)\vec{a} + \frac{2s}{3}\vec{b}\).

\(BM\) üzerinde \(X\): \(\vec{OX} = \vec{b} + t\left(\frac12\vec{a} - \vec{b}\right) = \frac{t}{2}\vec{a} + (1 - t)\vec{b}\).

\(\vec{a}\) ve \(\vec{b}\) paralel değildir, bu yüzden katsayılar eşittir: \(1 - s = \frac{t}{2}\) ve \(\frac{2s}{3} = 1 - t\). İkincisinden \(t = 1 - \frac{2s}{3}\); sonra \(1 - s = \frac12 - \frac{s}{3}\), yani \(s = \frac34\) ve \(t = \frac12\).

\(\vec{OX} = \frac14\vec{a} + \frac12\vec{b}\).