Koordinatlarda vektörler
Konum vektörleri, uzunluk, eşit vektörler, işlemler, birim vektörler ve bileşenler. Adım adım çözümlü 9 soru.
Her soruyu önce defterinde çöz, sonra çözümü aç.
Soru 1 Bölgeler ve konum vektörleri
a) Her noktanın bulunduğu bölgeyi ya da ekseni yazın: \(A(4, -1)\), \(B(-2, -5)\), \(C(0, 3)\), \(D(-6, 2)\), \(E(7, 0)\).
b) \(P(3, -2)\) ve \(Q(-1, 4)\) için \(\vec{PQ}\) noktasının konum vektörünü bulun.
Çözümü göster
a) \(A\): IV; \(B\): III; \(C\): \(y\) ekseni üzerinde; \(D\): II; \(E\): \(x\) ekseni üzerinde.
b) \(\vec{PQ} = (x_Q - x_P,\ y_Q - y_P) = (-4, 6)\).
Soru 2 Bir vektörün uzunluğu
a) \(\vec{u} = (5, -12)\), \(\vec{v} = (0, -7)\) ve \(\vec{w} = (\sqrt3, 1)\) vektörlerinin uzunluğunu bulun.
b) \(A(-2, 1)\) ve \(B(4, 9)\) için \(\vec{AB}\) uzunluğunu bulun.
c) \(A(a, 1)\), \(B(3, 5)\) ve \(|AB| = 5\). \(a\) bulun.
Çözümü göster
a) \(|\vec{u}| = \sqrt{25 + 144} = 13\); \(|\vec{v}| = 7\); \(|\vec{w}| = \sqrt{3 + 1} = 2\).
b) \(\vec{AB} = (6, 8)\), \(|\vec{AB}| = 10\).
c) \((3 - a)^2 + 16 = 25\), yani \((3 - a)^2 = 9\) ve \(a = 0\) ya da \(a = 6\).
Soru 3 Eşit vektörler
a) \(\vec{u} = (a - b, 4)\) ve \(\vec{v} = (6, a + b)\) eşittir. \(a\) ve \(b\) bulun.
b) \(\vec{v} = (5, -3)\) vektörünün başlangıç noktası \((-1, 2)\). Bitiş noktasını bulun.
c) \(\vec{MN} = (4, -1)\), \(M(1, k)\) ve \(N(p, 3)\). \(p + k\) bulun.
Çözümü göster
a) \(a - b = 6\) ve \(a + b = 4\): \(a = 5\), \(b = -1\).
b) \((-1 + 5,\ 2 - 3) = (4, -1)\).
c) \(p - 1 = 4\), yani \(p = 5\); \(3 - k = -1\), yani \(k = 4\). \(p + k = 9\).
Soru 4 Paralelkenarın köşesi
a) \(A(1, 2)\), \(B(5, 3)\), \(C(4, 7)\), \(ABCD\) paralelkenarının üç köşesidir. \(D\) bulun.
b) \(A(2, -1)\), \(B(-3, 4)\), \(C(1, 0)\) ve \(D(a, b)\) veriliyor ve \(\vec{AC} = \vec{BD}\). \(D\) ve \(|\vec{AD}|\) bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{AD} = \vec{BC} = (-1, 4)\), yani \(D = (1 - 1,\ 2 + 4) = (0, 6)\).
b) \(\vec{AC} = (-1, 1)\) ve \(\vec{BD} = (a + 3, b - 4)\). Yani \(a = -4\), \(b = 5\): \(D(-4, 5)\).
\(\vec{AD} = (-6, 6)\), \(|\vec{AD}| = 6\sqrt2\).
Soru 5 İşlemler
\(\vec{u} = (2, -3)\), \(\vec{v} = (-1, 4)\) ve \(\vec{w} = (3, 0)\). Bulun:
a) \(\vec{u} + \vec{v}\) b) \(\vec{u} - \vec{w}\) c) \(3\vec{u} - 2\vec{v}\) d) \(|2\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}|\) e) \(2\vec{x} + \vec{u} = \vec{w}\) olacak şekilde \(\vec{x}\)
Çözümü göster
- a) \((1, 1)\)
- b) \((-1, -3)\)
- c) \((6, -9) - (-2, 8) = (8, -17)\)
- d) \((4, -6) + (-1, 4) - (3, 0) = (0, -2)\), uzunluk \(2\)
- e) \(2\vec{x} = \vec{w} - \vec{u} = (1, 3)\), yani \(\vec{x} = \left(\frac12, \frac32\right)\)
Soru 6 Vektörlü denklemler
a) \(M(2, 1)\), \(N(3, m)\), \(K(m, 4)\) ve \(|\vec{MN} + \vec{NK}| = 5\). \(m\) bulun.
b) \(3\vec{OA} + 2\vec{OB} = (7, 4)\) ve \(\vec{OA} - \vec{OB} = (-1, 3)\). \(\vec{OA}\) ve \(\vec{OB}\) bulun.
c) \(\vec{AB} = (m - 1, m)\) ve \(\vec{CD} = (m + 1, 2)\), ayrıca \(|\vec{AB} + \vec{CD}| = 10\). \(m\) bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{MN} + \vec{NK} = \vec{MK} = (m - 2, 3)\). \((m - 2)^2 + 9 = 25\), yani \(m - 2 = \pm 4\): \(m = 6\) ya da \(m = -2\).
b) \(\vec{OA} = \vec{x}\), \(\vec{OB} = \vec{y}\) olsun. İkincisinden \(\vec{x} = \vec{y} + (-1, 3)\). O zaman \(5\vec{y} + (-3, 9) = (7, 4)\), yani \(\vec{y} = (2, -1)\) ve \(\vec{x} = (1, 2)\).
c) \(\vec{AB} + \vec{CD} = (2m, m + 2)\). \(4m^2 + (m + 2)^2 = 100 \Rightarrow 5m^2 + 4m - 96 = 0 \Rightarrow m = 4\) ya da \(m = -\frac{24}{5}\).
Soru 7 Birim vektörler
a) \(\vec{a} = (3, -4)\) yönündeki birim vektörü bulun.
b) \(\vec{OA} = 2\vec{i} + 3\vec{j}\) ve \(\vec{OB} = 5\vec{i} - \vec{j}\). \(\vec{AB}\) yönündeki birim vektörü bulun.
c) \(\vec{OA} = 6\vec{i} + 8\vec{j}\) ve \(C\), \(OA\) üzerinde, \(|OC| = 4\). \(\vec{OC}\) bulun.
Çözümü göster
a) \(|\vec{a}| = 5\): \(\left(\frac35, -\frac45\right)\).
b) \(\vec{AB} = 3\vec{i} - 4\vec{j}\), uzunluk 5: \(\frac35\vec{i} - \frac45\vec{j}\).
c) \(\vec{OA}\) vektörünün birim vektörü \(\frac{1}{10}(6, 8) = (0.6, 0.8)\). \(\vec{OC} = 4\cdot(0.6, 0.8) = 2.4\vec{i} + 3.2\vec{j}\).
Soru 8 Bileşenler ve yön açısı
a) \(\vec{u} = (-7, 2)\) vektörünü \(\vec{i}\) ve \(\vec{j}\) ile yazın.
b) \(|\vec{v}| = 6\) ve \(\vec{v}\), pozitif \(x\) ekseniyle \(150^\circ\) açısı yapıyor. Bileşenlerini bulun.
c) Pozitif \(x\) ekseni ile \(\vec{w} = 2\vec{i} - 2\sqrt3\,\vec{j}\) arasındaki açıyı bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{u} = -7\vec{i} + 2\vec{j}\).
b) \(\vec{v} = (6\cos 150^\circ,\ 6\sin 150^\circ) = (-3\sqrt3,\ 3)\).
c) \(|\vec{w}| = 4\), \(\cos\theta = \frac12\), \(\sin\theta = -\frac{\sqrt3}{2}\): \(\theta = 300^\circ\) (ya da \(-60^\circ\)).
Soru 9 Koordinatlarda dik üçgen
\(A(1, 1)\), \(B(4, 5)\) ve \(C(8, 2)\) bir üçgenin köşeleridir. \(|AB|\), \(|BC|\), \(|AC|\) bulun ve üçgenin ikizkenar dik üçgen olduğunu gösterin.
Çözümü göster
\(\vec{AB} = (3, 4)\), \(|AB| = 5\); \(\vec{BC} = (4, -3)\), \(|BC| = 5\); \(\vec{AC} = (7, 1)\), \(|AC| = \sqrt{50}\).
\(|AB|^2 + |BC|^2 = 25 + 25 = 50 = |AC|^2\), yani \(B\) köşesindeki açı diktir ve \(|AB| = |BC|\): ikizkenar dik üçgen.