Вектори во координати
Радиус-вектори, должина, еднакви вектори, операции, единечни вектори и компоненти. 9 задачи со решенија чекор по чекор.
Прво реши ја секоја задача во тетратка, па отвори го решението.
Задача 1 Квадранти и радиус-вектори
а) Наведи го квадрантот или оската на секоја точка: \(A(4, -1)\), \(B(-2, -5)\), \(C(0, 3)\), \(D(-6, 2)\), \(E(7, 0)\).
б) Најди го радиус-векторот на \(\vec{PQ}\) за \(P(3, -2)\) и \(Q(-1, 4)\).
Прикажи решение
а) \(A\): IV; \(B\): III; \(C\): на \(y\)-оската; \(D\): II; \(E\): на \(x\)-оската.
б) \(\vec{PQ} = (x_Q - x_P,\ y_Q - y_P) = (-4, 6)\).
Задача 2 Должина на вектор
а) Најди ја должината на \(\vec{u} = (5, -12)\), \(\vec{v} = (0, -7)\) и \(\vec{w} = (\sqrt3, 1)\).
б) Најди ја должината на \(\vec{AB}\) за \(A(-2, 1)\) и \(B(4, 9)\).
в) \(A(a, 1)\), \(B(3, 5)\) и \(|AB| = 5\). Најди \(a\).
Прикажи решение
а) \(|\vec{u}| = \sqrt{25 + 144} = 13\); \(|\vec{v}| = 7\); \(|\vec{w}| = \sqrt{3 + 1} = 2\).
б) \(\vec{AB} = (6, 8)\), \(|\vec{AB}| = 10\).
в) \((3 - a)^2 + 16 = 25\), па \((3 - a)^2 = 9\) и \(a = 0\) или \(a = 6\).
Задача 3 Еднакви вектори
а) \(\vec{u} = (a - b, 4)\) и \(\vec{v} = (6, a + b)\) се еднакви. Најди \(a\) и \(b\).
б) Векторот \(\vec{v} = (5, -3)\) има почетна точка \((-1, 2)\). Најди ја неговата крајна точка.
в) \(\vec{MN} = (4, -1)\), \(M(1, k)\) и \(N(p, 3)\). Најди \(p + k\).
Прикажи решение
а) \(a - b = 6\) и \(a + b = 4\): \(a = 5\), \(b = -1\).
б) \((-1 + 5,\ 2 - 3) = (4, -1)\).
в) \(p - 1 = 4\), па \(p = 5\); \(3 - k = -1\), па \(k = 4\). \(p + k = 9\).
Задача 4 Теме на паралелограм
а) \(A(1, 2)\), \(B(5, 3)\), \(C(4, 7)\) се три темиња на паралелограмот \(ABCD\). Најди \(D\).
б) Дадени се \(A(2, -1)\), \(B(-3, 4)\), \(C(1, 0)\) и \(D(a, b)\) со \(\vec{AC} = \vec{BD}\). Најди \(D\) и \(|\vec{AD}|\).
Прикажи решение
а) \(\vec{AD} = \vec{BC} = (-1, 4)\), па \(D = (1 - 1,\ 2 + 4) = (0, 6)\).
б) \(\vec{AC} = (-1, 1)\) и \(\vec{BD} = (a + 3, b - 4)\). Значи \(a = -4\), \(b = 5\): \(D(-4, 5)\).
\(\vec{AD} = (-6, 6)\), \(|\vec{AD}| = 6\sqrt2\).
Задача 5 Операции
\(\vec{u} = (2, -3)\), \(\vec{v} = (-1, 4)\) и \(\vec{w} = (3, 0)\). Најди:
а) \(\vec{u} + \vec{v}\) б) \(\vec{u} - \vec{w}\) в) \(3\vec{u} - 2\vec{v}\) г) \(|2\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}|\) д) \(\vec{x}\) така што \(2\vec{x} + \vec{u} = \vec{w}\)
Прикажи решение
- а) \((1, 1)\)
- б) \((-1, -3)\)
- в) \((6, -9) - (-2, 8) = (8, -17)\)
- г) \((4, -6) + (-1, 4) - (3, 0) = (0, -2)\), должина \(2\)
- д) \(2\vec{x} = \vec{w} - \vec{u} = (1, 3)\), па \(\vec{x} = \left(\frac12, \frac32\right)\)
Задача 6 Равенки со вектори
а) \(M(2, 1)\), \(N(3, m)\), \(K(m, 4)\) и \(|\vec{MN} + \vec{NK}| = 5\). Најди \(m\).
б) \(3\vec{OA} + 2\vec{OB} = (7, 4)\) и \(\vec{OA} - \vec{OB} = (-1, 3)\). Најди \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\).
в) \(\vec{AB} = (m - 1, m)\) и \(\vec{CD} = (m + 1, 2)\), и \(|\vec{AB} + \vec{CD}| = 10\). Најди \(m\).
Прикажи решение
а) \(\vec{MN} + \vec{NK} = \vec{MK} = (m - 2, 3)\). \((m - 2)^2 + 9 = 25\), па \(m - 2 = \pm 4\): \(m = 6\) или \(m = -2\).
б) Нека \(\vec{OA} = \vec{x}\), \(\vec{OB} = \vec{y}\). Од втората, \(\vec{x} = \vec{y} + (-1, 3)\). Тогаш \(5\vec{y} + (-3, 9) = (7, 4)\), па \(\vec{y} = (2, -1)\) и \(\vec{x} = (1, 2)\).
в) \(\vec{AB} + \vec{CD} = (2m, m + 2)\). \(4m^2 + (m + 2)^2 = 100 \Rightarrow 5m^2 + 4m - 96 = 0 \Rightarrow m = 4\) или \(m = -\frac{24}{5}\).
Задача 7 Единечни вектори
а) Најди го единечниот вектор во насока на \(\vec{a} = (3, -4)\).
б) \(\vec{OA} = 2\vec{i} + 3\vec{j}\) и \(\vec{OB} = 5\vec{i} - \vec{j}\). Најди го единечниот вектор во насока на \(\vec{AB}\).
в) \(\vec{OA} = 6\vec{i} + 8\vec{j}\), а \(C\) е на \(OA\) со \(|OC| = 4\). Најди \(\vec{OC}\).
Прикажи решение
а) \(|\vec{a}| = 5\): \(\left(\frac35, -\frac45\right)\).
б) \(\vec{AB} = 3\vec{i} - 4\vec{j}\), должина 5: \(\frac35\vec{i} - \frac45\vec{j}\).
в) Единечниот вектор на \(\vec{OA}\) е \(\frac{1}{10}(6, 8) = (0.6, 0.8)\). \(\vec{OC} = 4\cdot(0.6, 0.8) = 2.4\vec{i} + 3.2\vec{j}\).
Задача 8 Компоненти и агол на насоката
а) Запиши го \(\vec{u} = (-7, 2)\) со \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\).
б) \(|\vec{v}| = 6\), а \(\vec{v}\) зафаќа агол \(150^\circ\) со позитивната \(x\)-оска. Најди ги неговите компоненти.
в) Најди го аголот меѓу позитивната \(x\)-оска и \(\vec{w} = 2\vec{i} - 2\sqrt3\,\vec{j}\).
Прикажи решение
а) \(\vec{u} = -7\vec{i} + 2\vec{j}\).
б) \(\vec{v} = (6\cos 150^\circ,\ 6\sin 150^\circ) = (-3\sqrt3,\ 3)\).
в) \(|\vec{w}| = 4\), \(\cos\theta = \frac12\), \(\sin\theta = -\frac{\sqrt3}{2}\): \(\theta = 300^\circ\) (или \(-60^\circ\)).
Задача 9 Правоаголен триаголник во координати
\(A(1, 1)\), \(B(4, 5)\) и \(C(8, 2)\) се темиња на триаголник. Најди \(|AB|\), \(|BC|\), \(|AC|\) и покажи дека триаголникот е правоаголен и рамнокрак.
Прикажи решение
\(\vec{AB} = (3, 4)\), \(|AB| = 5\); \(\vec{BC} = (4, -3)\), \(|BC| = 5\); \(\vec{AC} = (7, 1)\), \(|AC| = \sqrt{50}\).
\(|AB|^2 + |BC|^2 = 25 + 25 = 50 = |AC|^2\), па аголот кај \(B\) е прав, и \(|AB| = |BC|\): правоаголен рамнокрак.