Вектори во геометрија

Еднакви и спротивни вектори, собирање, средини, тежиште, точки што делат отсечка, правилен шестаголник. 12 задачи со решенија чекор по чекор.

Прво реши ја секоја задача во тетратка, па отвори го решението.

Задача 1 Еднакви и спротивни вектори

\(ABCD\) е паралелограм, а \(O\) е пресекот на неговите дијагонали.

а) Наброј ги сите вектори еднакви на \(\vec{AO}\) и на \(\vec{AB}\). б) Наброј ги сите вектори спротивни на \(\vec{OB}\). в) Дали \(\vec{AD} = \vec{BC}\)? Дали \(\vec{AD} = \vec{CB}\)?

Прикажи решение

Дијагоналите на паралелограм се преполовуваат, па \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

а) \(\vec{AO} = \vec{OC}\); \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
б) Спротивните вектори имаат иста должина и спротивна насока: \(\vec{BO}\) и \(\vec{OD}\).
в) \(\vec{AD} = \vec{BC}\) (иста должина, иста насока). \(\vec{AD} \ne \vec{CB}\): тие се спротивни, \(\vec{CB} = -\vec{AD}\).

Задача 2 Средини на страните на триаголник

Во триаголникот \(ABC\), точките \(K\), \(L\), \(M\) се средини на \(AB\), \(BC\) и \(CA\). Наброј ги сите вектори (со краеви меѓу \(A, B, C, K, L, M\)) еднакви на \(\vec{KL}\), на \(\vec{AM}\) и на \(\vec{LM}\).

Прикажи решение

Според теоремата за средна линија \(KL \parallel AC\), \(KL = \frac12 AC\); \(LM \parallel AB\), \(LM = \frac12 AB\); \(KM \parallel BC\), \(KM = \frac12 BC\).

\(\vec{KL} = \vec{AM} = \vec{MC}\) (сите покажуваат од страната на \(A\) кон \(C\), половина од \(AC\)).
\(\vec{AM} = \vec{KL} = \vec{MC}\).
\(\vec{LM} = \vec{BK} = \vec{KA}\).

Задача 3 Собирање вектори

Упрости.

а) \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\) б) \(\vec{PQ} + \vec{RP} + \vec{QS}\) в) \(\vec{MN} - \vec{KN} + \vec{KL}\) г) \(\vec{OA} - \vec{OB} + \vec{BC} - \vec{AC}\)

Прикажи решение

Користи \(\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}\) и \(-\vec{XY} = \vec{YX}\).

а) \(\vec{AD}\)
б) \(\vec{RP} + \vec{PQ} + \vec{QS} = \vec{RS}\)
в) \(\vec{MN} + \vec{NK} + \vec{KL} = \vec{ML}\)
г) \(\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}\), па добиваме \(\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{CA}\). Бидејќи \(\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}\), резултатот е \(2\vec{BA}\).

Задача 4 Тежишна линија на триаголник

Во триаголникот \(ABC\), \(M\) е средина на \(BC\). Изрази го \(\vec{AM}\) преку \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).

Прикажи решение

\(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \frac12\vec{BC}\) и \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\).

\[\vec{AM} = \vec{AB} + \tfrac12(\vec{AC} - \vec{AB}) = \tfrac12\vec{AB} + \tfrac12\vec{AC}.\]

Задача 5 Точка што дели страна

Во триаголникот \(ABC\), точката \(D\) лежи на \(BC\) така што \(|BD| = 3|DC|\). Изрази го \(\vec{AD}\) преку \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).

Прикажи решение

\(|BD| = \frac34|BC|\), па \(\vec{BD} = \frac34\vec{BC} = \frac34(\vec{AC} - \vec{AB})\).

\[\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \tfrac14\vec{AB} + \tfrac34\vec{AC}.\]

Задача 6 Тежиште

\(G\) е тежиштето на триаголникот \(ABC\), а \(P\) е произволна точка. Покажи дека \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\) и дека \(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = 3\vec{PG}\).

Прикажи решение

Нека \(M\) е средина на \(BC\). Тогаш \(\vec{GB} + \vec{GC} = 2\vec{GM}\). Тежиштето ја дели тежишната линија \(AM\) во однос \(2:1\), па \(\vec{GA} = -2\vec{GM}\).

Затоа \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = -2\vec{GM} + 2\vec{GM} = \vec{0}\).

За која било \(P\): \(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = 3\vec{PG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = 3\vec{PG}\).

Задача 7 Точки на права

Точките \(A\), \(C\), \(M\), \(B\) лежат на права по овој редослед, \(|AB| = 4|AC|\) и \(M\) е средина на \(CB\). Изрази го \(\vec{MA}\) преку \(\vec{MC}\) и \(\vec{MB}\).

Прикажи решение

Земи \(|AC| = 1\), па \(|AB| = 4\) и \(|CB| = 3\). Тогаш \(|MC| = |MB| = 1.5\) и \(|MA| = 2.5\).

\(\vec{MA}\) покажува во иста насока како \(\vec{MC}\) (кон \(A\)), па \(\vec{MA} = \frac{2.5}{1.5}\vec{MC} = \frac53\vec{MC}\). Бидејќи \(\vec{MB} = -\vec{MC}\), може да пишуваме и \(\vec{MA} = -\frac53\vec{MB}\).

Запис со двата вектори: \(\vec{MA} = \frac43\vec{MC} - \frac13\vec{MB}\) (проверка: \(\frac43\vec{MC} + \frac13\vec{MC} = \frac53\vec{MC}\)).

Задача 8 Правилен шестаголник

\(ABCDEF\) е правилен шестаголник со центар \(O\), \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{BC} = \vec{b}\). Изрази преку \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

а) \(\vec{CD}\) б) \(\vec{AO}\) в) \(\vec{AD}\) г) \(\vec{DE}\) д) \(\vec{AC}\) ѓ) \(\vec{FC}\)

Прикажи решение

Во правилен шестаголник шесте триаголници \(OAB, OBC, \dots\) се рамнострани, па \(\vec{OC} = \vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AF} = \vec{CD}\) и \(\vec{BC} = \vec{AO} = \vec{OD} = \vec{b}\).

а) \(\vec{CD} = \vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = -\vec{a} + \vec{b}\), па \(\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}\).
б) \(\vec{AO} = \vec{b}\).
в) \(\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2\vec{b}\).
г) \(\vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{a}\).
д) \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\).
ѓ) \(\vec{FC} = 2\vec{AB} = 2\vec{a}\).

Задача 9 Средна линија со вектори

а) Во триаголникот \(ABC\), \(D\) и \(E\) се средини на \(AB\) и \(AC\). Покажи со вектори дека \(DE \parallel BC\) и \(|DE| = \frac12|BC|\).

б) Покажи со вектори дека дијагоналите на паралелограм се преполовуваат.

Прикажи решение

а) \(\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE} = \frac12\vec{BA} + \frac12\vec{AC} = \frac12(\vec{BA} + \vec{AC}) = \frac12\vec{BC}\). Значи \(\vec{DE}\) е множител на \(\vec{BC}\): правите се паралелни и \(|DE| = \frac12|BC|\).

б) Нека \(ABCD\) е паралелограм, \(\vec{AB} = \vec{u}\), \(\vec{AD} = \vec{v}\). Средината \(M\) на \(AC\) задоволува \(\vec{AM} = \frac12(\vec{u} + \vec{v})\). Средината \(N\) на \(BD\): \(\vec{AN} = \vec{AB} + \frac12\vec{BD} = \vec{u} + \frac12(\vec{v} - \vec{u}) = \frac12(\vec{u} + \vec{v})\). Значи \(M = N\).

Задача 10 Збир на тежишни линии

Во триаголникот \(ABC\), \(D\), \(E\), \(F\) се средини на \(BC\), \(CA\), \(AB\). Најди \(\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF}\).

Прикажи решение

\(\vec{AD} = \frac12(\vec{AB} + \vec{AC})\), \(\vec{BE} = \frac12(\vec{BA} + \vec{BC})\), \(\vec{CF} = \frac12(\vec{CA} + \vec{CB})\).

Во збирот, \(\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}\), \(\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}\), \(\vec{BC} + \vec{CB} = \vec{0}\). Значи \(\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \vec{0}\).

Задача 11 Односи во паралелограм

\(OPQR\) е паралелограм со \(\vec{OP} = \vec{p}\) и \(\vec{OR} = \vec{r}\). \(S\) е точката на \(OP\) со \(OS : SP = 1 : 2\), а \(T\) е средина на \(PQ\).

а) Изрази ги \(\vec{OS}\), \(\vec{OT}\) и \(\vec{ST}\) преку \(\vec{p}\) и \(\vec{r}\). б) \(U\) е на \(OQ\) со \(\vec{OU} = \frac34\vec{OQ}\). Изрази го \(\vec{SU}\).

Прикажи решение

а) \(\vec{OS} = \frac13\vec{p}\). \(\vec{PQ} = \vec{OR} = \vec{r}\), па \(\vec{OT} = \vec{p} + \frac12\vec{r}\). \(\vec{ST} = \vec{OT} - \vec{OS} = \frac23\vec{p} + \frac12\vec{r}\).

б) \(\vec{OQ} = \vec{p} + \vec{r}\), \(\vec{OU} = \frac34\vec{p} + \frac34\vec{r}\), \(\vec{SU} = \vec{OU} - \vec{OS} = \frac{5}{12}\vec{p} + \frac34\vec{r}\).

Задача 12 Пресек на прави

\(OAB\) е триаголник со \(\vec{OA} = \vec{a}\), \(\vec{OB} = \vec{b}\). \(M\) е средина на \(OA\), а \(N\) е на \(OB\) со \(ON : NB = 2 : 1\). Правите \(AN\) и \(BM\) се сечат во \(X\). Најди го \(\vec{OX}\) преку \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Прикажи решение

\(X\) на \(AN\): \(\vec{OX} = \vec{a} + s\left(\frac23\vec{b} - \vec{a}\right) = (1 - s)\vec{a} + \frac{2s}{3}\vec{b}\).

\(X\) на \(BM\): \(\vec{OX} = \vec{b} + t\left(\frac12\vec{a} - \vec{b}\right) = \frac{t}{2}\vec{a} + (1 - t)\vec{b}\).

\(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не се паралелни, па коефициентите се еднакви: \(1 - s = \frac{t}{2}\) и \(\frac{2s}{3} = 1 - t\). Од втората \(t = 1 - \frac{2s}{3}\); потоа \(1 - s = \frac12 - \frac{s}{3}\), па \(s = \frac34\) и \(t = \frac12\).

\(\vec{OX} = \frac14\vec{a} + \frac12\vec{b}\).