Vektorët në gjeometri

Vektorë të barabartë dhe të kundërt, mbledhja, mesat, qendra e rëndesës, pikat që ndajnë segmentin, gjashtëkëndëshi i rregullt. 12 detyra me zgjidhje hap pas hapi.

Së pari zgjidhe çdo detyrë në fletore, pastaj hape zgjidhjen.

Detyra 1 Vektorë të barabartë dhe të kundërt

\(ABCD\) është paralelogram dhe \(O\) është prerja e diagonaleve të tij.

a) Emërto të gjithë vektorët e barabartë me \(\vec{AO}\) dhe me \(\vec{AB}\). b) Emërto të gjithë vektorët e kundërt me \(\vec{OB}\). c) A është \(\vec{AD} = \vec{BC}\)? A është \(\vec{AD} = \vec{CB}\)?

Shfaq zgjidhjen

Diagonalet e paralelogramit përgjysmohen, prandaj \(AO = OC\) dhe \(BO = OD\).

a) \(\vec{AO} = \vec{OC}\); \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
b) Vektorët e kundërt kanë gjatësi të njëjtë dhe kahe të kundërt: \(\vec{BO}\) dhe \(\vec{OD}\).
c) \(\vec{AD} = \vec{BC}\) (gjatësi e njëjtë, kah i njëjtë). \(\vec{AD} \ne \vec{CB}\): ata janë të kundërt, \(\vec{CB} = -\vec{AD}\).

Detyra 2 Mesat e brinjëve të trekëndëshit

Në trekëndëshin \(ABC\), pikat \(K\), \(L\), \(M\) janë mesat e \(AB\), \(BC\) dhe \(CA\). Emërto të gjithë vektorët (me skaje ndër \(A, B, C, K, L, M\)) të barabartë me \(\vec{KL}\), me \(\vec{AM}\) dhe me \(\vec{LM}\).

Shfaq zgjidhjen

Sipas teoremës së vijës së mesme \(KL \parallel AC\), \(KL = \frac12 AC\); \(LM \parallel AB\), \(LM = \frac12 AB\); \(KM \parallel BC\), \(KM = \frac12 BC\).

\(\vec{KL} = \vec{AM} = \vec{MC}\) (të gjithë drejtohen nga ana e \(A\) drejt \(C\), gjysma e \(AC\)).
\(\vec{AM} = \vec{KL} = \vec{MC}\).
\(\vec{LM} = \vec{BK} = \vec{KA}\).

Detyra 3 Mbledhja e vektorëve

Thjeshto.

a) \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\) b) \(\vec{PQ} + \vec{RP} + \vec{QS}\) c) \(\vec{MN} - \vec{KN} + \vec{KL}\) d) \(\vec{OA} - \vec{OB} + \vec{BC} - \vec{AC}\)

Shfaq zgjidhjen

Përdor \(\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}\) dhe \(-\vec{XY} = \vec{YX}\).

a) \(\vec{AD}\)
b) \(\vec{RP} + \vec{PQ} + \vec{QS} = \vec{RS}\)
c) \(\vec{MN} + \vec{NK} + \vec{KL} = \vec{ML}\)
d) \(\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}\), prandaj fitojmë \(\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{CA}\). Meqë \(\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}\), rezultati është \(2\vec{BA}\).

Detyra 4 Mediana e trekëndëshit

Në trekëndëshin \(ABC\), \(M\) është mesi i \(BC\). Shpreh \(\vec{AM}\) me anë të \(\vec{AB}\) dhe \(\vec{AC}\).

Shfaq zgjidhjen

\(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \frac12\vec{BC}\) dhe \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\).

\[\vec{AM} = \vec{AB} + \tfrac12(\vec{AC} - \vec{AB}) = \tfrac12\vec{AB} + \tfrac12\vec{AC}.\]

Detyra 5 Pika që ndan brinjën

Në trekëndëshin \(ABC\), pika \(D\) shtrihet në \(BC\) me \(|BD| = 3|DC|\). Shpreh \(\vec{AD}\) me anë të \(\vec{AB}\) dhe \(\vec{AC}\).

Shfaq zgjidhjen

\(|BD| = \frac34|BC|\), prandaj \(\vec{BD} = \frac34\vec{BC} = \frac34(\vec{AC} - \vec{AB})\).

\[\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \tfrac14\vec{AB} + \tfrac34\vec{AC}.\]

Detyra 6 Qendra e rëndesës

\(G\) është qendra e rëndesës së trekëndëshit \(ABC\) dhe \(P\) është pikë e çfarëdoshme. Trego se \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\) dhe se \(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = 3\vec{PG}\).

Shfaq zgjidhjen

Le të jetë \(M\) mesi i \(BC\). Atëherë \(\vec{GB} + \vec{GC} = 2\vec{GM}\). Qendra e rëndesës e ndan medianën \(AM\) në raportin \(2:1\), prandaj \(\vec{GA} = -2\vec{GM}\).

Prandaj \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = -2\vec{GM} + 2\vec{GM} = \vec{0}\).

Për çdo \(P\): \(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = 3\vec{PG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = 3\vec{PG}\).

Detyra 7 Pika në drejtëz

Pikat \(A\), \(C\), \(M\), \(B\) shtrihen në një drejtëz me këtë radhë, \(|AB| = 4|AC|\) dhe \(M\) është mesi i \(CB\). Shpreh \(\vec{MA}\) me anë të \(\vec{MC}\) dhe \(\vec{MB}\).

Shfaq zgjidhjen

Merr \(|AC| = 1\), prandaj \(|AB| = 4\) dhe \(|CB| = 3\). Atëherë \(|MC| = |MB| = 1.5\) dhe \(|MA| = 2.5\).

\(\vec{MA}\) drejtohet njësoj si \(\vec{MC}\) (drejt \(A\)), prandaj \(\vec{MA} = \frac{2.5}{1.5}\vec{MC} = \frac53\vec{MC}\). Meqë \(\vec{MB} = -\vec{MC}\), mund të shkruajmë edhe \(\vec{MA} = -\frac53\vec{MB}\).

Forma me të dy vektorët: \(\vec{MA} = \frac43\vec{MC} - \frac13\vec{MB}\) (kontroll: \(\frac43\vec{MC} + \frac13\vec{MC} = \frac53\vec{MC}\)).

Detyra 8 Gjashtëkëndësh i rregullt

\(ABCDEF\) është gjashtëkëndësh i rregullt me qendër \(O\), \(\vec{AB} = \vec{a}\) dhe \(\vec{BC} = \vec{b}\). Shpreh me anë të \(\vec{a}\) dhe \(\vec{b}\):

a) \(\vec{CD}\) b) \(\vec{AO}\) c) \(\vec{AD}\) d) \(\vec{DE}\) e) \(\vec{AC}\) f) \(\vec{FC}\)

Shfaq zgjidhjen

Në gjashtëkëndëshin e rregullt gjashtë trekëndëshat \(OAB, OBC, \dots\) janë barabrinjës, prandaj \(\vec{OC} = \vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AF} = \vec{CD}\) dhe \(\vec{BC} = \vec{AO} = \vec{OD} = \vec{b}\).

a) \(\vec{CD} = \vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = -\vec{a} + \vec{b}\), prandaj \(\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}\).
b) \(\vec{AO} = \vec{b}\).
c) \(\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2\vec{b}\).
d) \(\vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{a}\).
e) \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\).
f) \(\vec{FC} = 2\vec{AB} = 2\vec{a}\).

Detyra 9 Vija e mesme me vektorë

a) Në trekëndëshin \(ABC\), \(D\) dhe \(E\) janë mesat e \(AB\) dhe \(AC\). Trego me vektorë se \(DE \parallel BC\) dhe \(|DE| = \frac12|BC|\).

b) Trego me vektorë se diagonalet e paralelogramit përgjysmohen.

Shfaq zgjidhjen

a) \(\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE} = \frac12\vec{BA} + \frac12\vec{AC} = \frac12(\vec{BA} + \vec{AC}) = \frac12\vec{BC}\). Pra \(\vec{DE}\) është shumëfish i \(\vec{BC}\): drejtëzat janë paralele dhe \(|DE| = \frac12|BC|\).

b) Le të jetë \(ABCD\) paralelogram, \(\vec{AB} = \vec{u}\), \(\vec{AD} = \vec{v}\). Mesi \(M\) i \(AC\) plotëson \(\vec{AM} = \frac12(\vec{u} + \vec{v})\). Mesi \(N\) i \(BD\): \(\vec{AN} = \vec{AB} + \frac12\vec{BD} = \vec{u} + \frac12(\vec{v} - \vec{u}) = \frac12(\vec{u} + \vec{v})\). Pra \(M = N\).

Detyra 10 Shuma e medianave

Në trekëndëshin \(ABC\), \(D\), \(E\), \(F\) janë mesat e \(BC\), \(CA\), \(AB\). Gjej \(\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF}\).

Shfaq zgjidhjen

\(\vec{AD} = \frac12(\vec{AB} + \vec{AC})\), \(\vec{BE} = \frac12(\vec{BA} + \vec{BC})\), \(\vec{CF} = \frac12(\vec{CA} + \vec{CB})\).

Në shumë, \(\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}\), \(\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}\), \(\vec{BC} + \vec{CB} = \vec{0}\). Pra \(\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \vec{0}\).

Detyra 11 Raportet në paralelogram

\(OPQR\) është paralelogram me \(\vec{OP} = \vec{p}\) dhe \(\vec{OR} = \vec{r}\). \(S\) është pika në \(OP\) me \(OS : SP = 1 : 2\) dhe \(T\) është mesi i \(PQ\).

a) Shpreh \(\vec{OS}\), \(\vec{OT}\) dhe \(\vec{ST}\) me anë të \(\vec{p}\) dhe \(\vec{r}\). b) \(U\) është në \(OQ\) me \(\vec{OU} = \frac34\vec{OQ}\). Shpreh \(\vec{SU}\).

Shfaq zgjidhjen

a) \(\vec{OS} = \frac13\vec{p}\). \(\vec{PQ} = \vec{OR} = \vec{r}\), prandaj \(\vec{OT} = \vec{p} + \frac12\vec{r}\). \(\vec{ST} = \vec{OT} - \vec{OS} = \frac23\vec{p} + \frac12\vec{r}\).

b) \(\vec{OQ} = \vec{p} + \vec{r}\), \(\vec{OU} = \frac34\vec{p} + \frac34\vec{r}\), \(\vec{SU} = \vec{OU} - \vec{OS} = \frac{5}{12}\vec{p} + \frac34\vec{r}\).

Detyra 12 Prerja e drejtëzave

\(OAB\) është trekëndësh me \(\vec{OA} = \vec{a}\), \(\vec{OB} = \vec{b}\). \(M\) është mesi i \(OA\) dhe \(N\) është në \(OB\) me \(ON : NB = 2 : 1\). Drejtëzat \(AN\) dhe \(BM\) priten në \(X\). Gjej \(\vec{OX}\) me anë të \(\vec{a}\) dhe \(\vec{b}\).

Shfaq zgjidhjen

\(X\) në \(AN\): \(\vec{OX} = \vec{a} + s\left(\frac23\vec{b} - \vec{a}\right) = (1 - s)\vec{a} + \frac{2s}{3}\vec{b}\).

\(X\) në \(BM\): \(\vec{OX} = \vec{b} + t\left(\frac12\vec{a} - \vec{b}\right) = \frac{t}{2}\vec{a} + (1 - t)\vec{b}\).

\(\vec{a}\) dhe \(\vec{b}\) nuk janë paralelë, prandaj koeficientët janë të barabartë: \(1 - s = \frac{t}{2}\) dhe \(\frac{2s}{3} = 1 - t\). Nga e dyta \(t = 1 - \frac{2s}{3}\); pastaj \(1 - s = \frac12 - \frac{s}{3}\), prandaj \(s = \frac34\) dhe \(t = \frac12\).

\(\vec{OX} = \frac14\vec{a} + \frac12\vec{b}\).