Vektorët paralelë dhe zbatimet
Shpejtësia dhe kursi, vektorët paralelë dhe kolinearë, kombinimet lineare dhe varësia lineare. 8 detyra me zgjidhje hap pas hapi.
Së pari zgjidhe çdo detyrë në fletore, pastaj hape zgjidhjen.
Detyra 1 Kursi dhe shpejtësia
a) Një anije lundron në drejtimin N 30° E me 40 km/h. Gjej komponentët lindor dhe verior të shpejtësisë së saj.
b) Një aeroplan fluturon drejt veriut me 300 km/h dhe era fryn nga perëndimi me 40 km/h. Gjej shpejtësinë e aeroplanit në lidhje me tokën dhe drejtimin e tij.
Shfaq zgjidhjen
a) Lindje: \(40\sin 30^\circ = 20\) km/h; veri: \(40\cos 30^\circ = 20\sqrt3 \approx 34.6\) km/h.
b) Era nga perëndimi fryn drejt lindjes. Shpejtësia ndaj tokës \((40, 300)\): shpejtësia \(\sqrt{1600 + 90000} \approx 302.7\) km/h, drejtimi N \(\theta\) E me \(\tan\theta = \frac{40}{300}\), \(\theta \approx 7.6^\circ\).
Detyra 2 Kalimi i lumit
Një varkë lëviz me 10 km/h në ujë të qetë. Lumi rrjedh drejt lindjes me 5 km/h. Në cilin drejtim duhet të lëvizë varka për të arritur pikën drejtpërdrejt përballë, në bregun verior? Sa është shpejtësia e saj ndaj tokës?
Shfaq zgjidhjen
Komponenti lindor i shpejtësisë së vetë varkës duhet të anulojë rrymën: \(10\sin\theta = 5\), \(\theta = 30^\circ\). Drejtimi N 30° W.
Shpejtësia ndaj tokës: \(10\cos 30^\circ = 5\sqrt3 \approx 8.66\) km/h, drejt veriut.
Detyra 3 Vektorë paralelë
a) Trego se \(\vec{u} = (6, -4)\) dhe \(\vec{v} = (-9, 6)\) janë paralelë.
b) \(\vec{a} = (m - 2, 3)\) dhe \(\vec{b} = (4, m + 2)\) janë paralelë. Gjej \(m\).
c) \(A(1, -2)\), \(B(3, 2)\), \(C(4, -1)\), \(D(x, y)\) dhe \(CD \parallel AB\). Gjej lidhjen ndërmjet \(x\) dhe \(y\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{v} = -\frac32\vec{u}\), prandaj janë paralelë (gjithashtu \(\frac{6}{-9} = \frac{-4}{6}\)).
b) \(\frac{m - 2}{4} = \frac{3}{m + 2} \Rightarrow m^2 - 4 = 12 \Rightarrow m = \pm 4\).
c) \(\vec{AB} = (2, 4)\), \(\vec{CD} = (x - 4, y + 1)\). Paralelë: \(4(x - 4) = 2(y + 1)\), d.m.th. \(y = 2x - 9\).
Detyra 4 Pika kolineare dhe mesat
a) A janë \(A(-1, 3)\), \(B(1, 2)\) dhe \(C(7, -1)\) kolineare?
b) Një trekëndësh ka kulmet \(A(4, 6)\), \(B(-2, 2)\), \(C(6, -4)\). \(E\) dhe \(F\) janë mesat e \(AB\) dhe \(AC\). Gjej \(E\), \(F\) dhe trego se \(\vec{EF} = \frac12\vec{BC}\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{AB} = (2, -1)\), \(\vec{AC} = (8, -4) = 4\vec{AB}\). Janë paralelë dhe kanë të përbashkët \(A\): kolineare.
b) \(E(1, 4)\), \(F(5, 1)\). \(\vec{EF} = (4, -3)\) dhe \(\vec{BC} = (8, -6)\), prandaj \(\vec{EF} = \frac12\vec{BC}\).
Detyra 5 Kombinimi linear
a) Shkruaj \(\vec{w} = (7, 1)\) si kombinim linear të \(\vec{u} = (1, 2)\) dhe \(\vec{v} = (3, -1)\).
b) Shkruaj \(\vec{x} = (1, 8)\) si kombinim linear të \(\vec{a} = (2, -1)\) dhe \(\vec{b} = (-1, 3)\).
c) Gjej \(\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}\) për \(\vec{u} = (4, -1)\), \(\vec{v} = (1, 2)\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{w} = c_1\vec{u} + c_2\vec{v}\): \(c_1 + 3c_2 = 7\), \(2c_1 - c_2 = 1\). Pra \(c_1 = \frac{10}{7}\), \(c_2 = \frac{13}{7}\). Kontroll: \(\frac{10}{7} + \frac{39}{7} = 7\), \(\frac{20}{7} - \frac{13}{7} = 1\).
b) \(2c_1 - c_2 = 1\), \(-c_1 + 3c_2 = 8\): \(c_1 = \frac{11}{5}\), \(c_2 = \frac{17}{5}\).
c) \((8, -2) - (3, 6) = (5, -8)\).
Detyra 6 Varësia lineare
a) Trego se \(\{(2, 1), (1, 3)\}\) është linearisht i pavarur.
b) Trego se \(\{(1, 0), (0, 1), (2, -5)\}\) është linearisht i varur.
c) \(\vec{a} = (k, 3)\) dhe \(\vec{b} = (2, k + 1)\) janë linearisht të varur. Gjej \(k\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(c_1(2, 1) + c_2(1, 3) = (0, 0)\): \(2c_1 + c_2 = 0\), \(c_1 + 3c_2 = 0\), vetëm \(c_1 = c_2 = 0\). Të pavarur.
b) \(2(1, 0) - 5(0, 1) - (2, -5) = (0, 0)\) me koeficientë jozero. Të varur.
c) Dy vektorë janë të varur kur janë paralelë: \(k(k + 1) = 6\), prandaj \(k = 2\) ose \(k = -3\).
Detyra 7 Paralelogrami me vektorë
\(ABCD\) është paralelogram, \(\vec{OA} = 2\vec{i} + \vec{j}\), \(\vec{AB} = 4\vec{i} + \vec{j}\) dhe \(\vec{AD} = \vec{i} + 3\vec{j}\). Gjej koordinatat e katër kulmeve dhe pikën e prerjes së diagonaleve.
Shfaq zgjidhjen
\(A(2, 1)\), \(B = A + \vec{AB} = (6, 2)\), \(D = A + \vec{AD} = (3, 4)\), \(C = A + \vec{AB} + \vec{AD} = (7, 5)\).
Diagonalet priten në mesin e \(AC\): \(\left(\frac92, 3\right)\).
Detyra 8 Detyra të përziera
a) \(\vec{PQ} = (8, -15)\) dhe \(Q(3, -6)\). Gjej \(|\vec{PQ}|\) dhe pikën \(P\).
b) \(\vec{RS}\) është paralel me \(\vec{PQ}\) dhe \(|\vec{RS}| = 34\). Shkruaj dy vektorët e mundshëm \(\vec{RS}\).
c) \(\vec{A} = (2a + 1)\vec{i} + 4\vec{j}\) dhe \(\vec{B} = 3\vec{i} + (a + 1)\vec{j}\) janë paralelë. Gjej \(a\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(|\vec{PQ}| = \sqrt{64 + 225} = 17\). \(P = Q - \vec{PQ} = (-5, 9)\).
b) \(\vec{RS} = \pm 2\vec{PQ} = (16, -30)\) ose \((-16, 30)\).
c) \((2a + 1)(a + 1) = 12 \Rightarrow 2a^2 + 3a - 11 = 0 \Rightarrow a = \frac{-3 \pm \sqrt{97}}{4}\).