Prodhimi skalar
Prodhimi skalar, këndi ndërmjet vektorëve, vektorët pingulë, syprina, drejtëzat, projeksioni dhe puna. 11 detyra me zgjidhje hap pas hapi.
Së pari zgjidhe çdo detyrë në fletore, pastaj hape zgjidhjen.
Detyra 1 Prodhimi skalar
a) Gjej \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) për \(\vec{u} = (3, -2)\), \(\vec{v} = (4, 5)\).
b) Gjej \((\vec{u} + 2\vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v})\) për \(\vec{u} = (1, 2)\), \(\vec{v} = (-2, 1)\).
c) Gjej gjatësinë e \(\vec{w} = (-3, 3)\) me ndihmën e prodhimit skalar.
Shfaq zgjidhjen
a) \(12 - 10 = 2\).
b) \(\vec{u} + 2\vec{v} = (-3, 4)\), \(\vec{u} - \vec{v} = (3, 1)\): \(-9 + 4 = -5\).
c) \(|\vec{w}| = \sqrt{\vec{w}\cdot\vec{w}} = \sqrt{18} = 3\sqrt2\).
Detyra 2 Prodhimi skalar me pika
a) \(A(1, -2)\), \(B(3, 1)\), \(C(-1, 4)\). Gjej \(\vec{AB}\cdot\vec{CB}\).
b) \(A(-1, 2)\), \(B(2, 3)\), \(C(m, 1)\), \(D(0, -1)\) dhe \(\vec{AB}\cdot\vec{DC} = 10\). Gjej \(m\).
c) \(\vec{u} = (-5, m - 2)\), \(\vec{v} = (4, m + 2)\) dhe \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). Gjej \(m\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{AB} = (2, 3)\), \(\vec{CB} = (4, -3)\): \(8 - 9 = -1\).
b) \(\vec{AB} = (3, 1)\), \(\vec{DC} = (m, 2)\): \(3m + 2 = 10\), \(m = \frac83\).
c) \(-20 + m^2 - 4 = 0\), \(m = \pm 2\sqrt6\).
Detyra 3 Këndi ndërmjet vektorëve
a) Gjej kosinusin e këndit ndërmjet \(\vec{u} = (1, 3)\) dhe \(\vec{v} = (3, 1)\).
b) Gjej këndin ndërmjet \(\vec{u} = (1, \sqrt3)\) dhe \(\vec{v} = (\sqrt3, 1)\).
c) Gjej këndin ndërmjet \(\vec{p} = (2, -2)\) dhe \(\vec{q} = (-3, 0)\).
Shfaq zgjidhjen
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\).
a) \(\frac{6}{\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac35\).
b) \(\frac{2\sqrt3}{2\cdot 2} = \frac{\sqrt3}{2}\), \(\theta = 30^\circ\).
c) \(\frac{-6}{2\sqrt2\cdot 3} = -\frac{\sqrt2}{2}\), \(\theta = 135^\circ\).
Detyra 4 Këndi në trekëndësh
a) \(A(1, 1)\), \(B(4, 2)\), \(C(2, 5)\). Gjej \(\cos A\).
b) Këndi ndërmjet \(\vec{u} = (a, 1)\) dhe \(\vec{v} = (1, a)\) është \(60^\circ\). Gjej \(a\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{AB} = (3, 1)\), \(\vec{AC} = (1, 4)\): \(\cos A = \frac{3 + 4}{\sqrt{10}\sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{170}} \approx 0.537\).
b) \(\frac{2a}{a^2 + 1} = \frac12 \Rightarrow a^2 - 4a + 1 = 0 \Rightarrow a = 2 \pm \sqrt3\).
Detyra 5 Vektorë pingulë
a) A janë \(\vec{u} = (4, -6)\) dhe \(\vec{v} = (3, 2)\) pingulë? Po \((2, 5)\) dhe \((5, 2)\)?
b) \(\vec{u} = (a, 2)\) është pingul me \(\vec{v} = (5, -3)\). Gjej \(a\).
c) Shkruaj dy vektorë pingulë me \(\vec{w} = (3, -1)\).
d) \(\vec{A} = (k, 3)\), \(\vec{B} = (-2, k - 1)\) dhe \(\vec{A}\perp\vec{B}\). Gjej \(|\vec{A} + \vec{B}|\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(12 - 12 = 0\): po. \(10 + 10 = 20 \ne 0\): jo.
b) \(5a - 6 = 0\), \(a = \frac65\).
c) Për shembull \((1, 3)\) dhe \((-2, -6)\) (çdo \(t(1, 3)\), \(t \ne 0\)).
d) \(-2k + 3k - 3 = 0\), \(k = 3\). \(\vec{A} + \vec{B} = (1, 5)\), gjatësia \(\sqrt{26}\).
Detyra 6 Gjatësia nga prodhimi skalar
a) \(|\vec{u}| = 3\), \(|\vec{v}| = 2\) dhe këndi ndërmjet tyre është \(60^\circ\). Gjej \(|2\vec{u} - 3\vec{v}|\).
b) \(|\vec{a}| = 5\), \(|\vec{b}| = 3\), \(|\vec{a} + \vec{b}| = 7\). Gjej \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) dhe këndin ndërmjet \(\vec{a}\) dhe \(\vec{b}\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot 2\cdot\frac12 = 3\). \(|2\vec{u} - 3\vec{v}|^2 = 4\cdot 9 - 12\cdot 3 + 9\cdot 4 = 36\), prandaj gjatësia është \(6\).
b) \(49 = 25 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 9\), prandaj \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{15}{2}\). \(\cos\theta = \frac{7.5}{15} = \frac12\), \(\theta = 60^\circ\).
Detyra 7 Gjeometria me prodhim skalar
a) Në trekëndëshin barabrinjës \(ABC\) me brinjë 6, \(M\) është mesi i \(BC\). Gjej \(\vec{AM}\cdot\vec{BC}\) dhe \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).
b) Në katrorin \(ABCD\) me brinjë 6, \(E\) është mesi i \(CD\). Gjej \(\vec{AE}\cdot\vec{AB}\) dhe \(\vec{AE}\cdot\vec{BD}\).
Shfaq zgjidhjen
a) Mediana është edhe lartësi, prandaj \(\vec{AM}\perp\vec{BC}\) dhe \(\vec{AM}\cdot\vec{BC} = 0\). \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 6\cdot 6\cdot\cos 60^\circ = 18\).
b) Koordinatat: \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(6, 6)\), \(D(0, 6)\), \(E(3, 6)\). \(\vec{AE} = (3, 6)\), \(\vec{AB} = (6, 0)\): \(18\). \(\vec{BD} = (-6, 6)\): \(-18 + 36 = 18\).
Detyra 8 Syprina e trekëndëshit
a) Gjej syprinën e trekëndëshit me kulme \(A(1, 2)\), \(B(5, 3)\), \(C(2, 6)\).
b) Në trekëndëshin \(ABC\), \(|BA| = 5\), \(|BC| = 8\) dhe \(\vec{BA}\cdot\vec{BC} = 20\). Gjej syprinën.
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{AB} = (4, 1)\), \(\vec{AC} = (1, 4)\). Syprina \(= \frac12|4\cdot 4 - 1\cdot 1| = \frac{15}{2}\).
b) \(\cos B = \frac{20}{40} = \frac12\), \(\sin B = \frac{\sqrt3}{2}\). Syprina \(= \frac12\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3\).
Detyra 9 Drejtëza nëpër një pikë
a) Gjej ekuacionin e drejtëzës nëpër \(A(2, -1)\) pingule me \(\vec{n} = (4, 3)\).
b) Gjej ekuacionin e drejtëzës nëpër \(B(-3, 2)\) paralele me \(\vec{d} = (2, 5)\).
Shfaq zgjidhjen
a) Pika \(P(x, y)\) është në drejtëz kur \(\vec{AP}\cdot\vec{n} = 0\): \(4(x - 2) + 3(y + 1) = 0\), d.m.th. \(4x + 3y - 5 = 0\).
b) Një vektor normal është \((5, -2)\): \(5(x + 3) - 2(y - 2) = 0\), d.m.th. \(5x - 2y + 19 = 0\).
Detyra 10 Komponenti skalar (projeksioni)
a) Gjej komponentin skalar të \(\vec{u} = (3, 4)\) sipas \(\vec{v} = (1, -2)\).
b) Gjej komponentin skalar të \(\vec{u} = (2, 5)\) sipas \(\vec{v} = (-3, 4)\) dhe projeksionin vektorial të \(\vec{u}\) mbi \(\vec{v}\).
Shfaq zgjidhjen
Komponenti skalar: \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\).
a) \(\frac{3 - 8}{\sqrt5} = -\sqrt5\).
b) \(\frac{-6 + 20}{5} = \frac{14}{5}\). Projeksioni vektorial: \(\frac{14}{5}\cdot\frac{(-3, 4)}{5} = \left(-\frac{42}{25}, \frac{56}{25}\right)\).
Detyra 11 Forcat dhe puna
a) Një makinë me peshë 12 000 N qëndron në një rrugë të pjerrët \(20^\circ\). Gjej forcën e nevojshme që të mos rrokulliset poshtë dhe forcën me të cilën shtyp rrugën.
b) Një forcë \(\vec{F} = (3, 5)\) N e zhvendos një send nga \(A(1, 1)\) në \(B(5, 3)\) (në metra). Gjej punën e kryer.
c) Një sajë tërhiqet 50 m me forcë 30 N përgjatë një litari që formon \(40^\circ\) me tokën. Gjej punën.
Shfaq zgjidhjen
a) Përgjatë rrugës: \(12000\sin 20^\circ \approx 4104\) N. Pingul me rrugën: \(12000\cos 20^\circ \approx 11276\) N.
b) \(\vec{AB} = (4, 2)\): \(W = \vec{F}\cdot\vec{AB} = 12 + 10 = 22\) J.
c) \(W = 30\cdot 50\cos 40^\circ \approx 1149\) J.