Скаларен производ
Скаларен производ, агол меѓу вектори, нормални вектори, плоштина, прави, проекција и работа. 11 задачи со решенија чекор по чекор.
Прво реши ја секоја задача во тетратка, па отвори го решението.
Задача 1 Скаларен производ
а) Најди \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) за \(\vec{u} = (3, -2)\), \(\vec{v} = (4, 5)\).
б) Најди \((\vec{u} + 2\vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v})\) за \(\vec{u} = (1, 2)\), \(\vec{v} = (-2, 1)\).
в) Најди ја должината на \(\vec{w} = (-3, 3)\) со помош на скаларниот производ.
Прикажи решение
а) \(12 - 10 = 2\).
б) \(\vec{u} + 2\vec{v} = (-3, 4)\), \(\vec{u} - \vec{v} = (3, 1)\): \(-9 + 4 = -5\).
в) \(|\vec{w}| = \sqrt{\vec{w}\cdot\vec{w}} = \sqrt{18} = 3\sqrt2\).
Задача 2 Скаларен производ со точки
а) \(A(1, -2)\), \(B(3, 1)\), \(C(-1, 4)\). Најди \(\vec{AB}\cdot\vec{CB}\).
б) \(A(-1, 2)\), \(B(2, 3)\), \(C(m, 1)\), \(D(0, -1)\) и \(\vec{AB}\cdot\vec{DC} = 10\). Најди \(m\).
в) \(\vec{u} = (-5, m - 2)\), \(\vec{v} = (4, m + 2)\) и \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). Најди \(m\).
Прикажи решение
а) \(\vec{AB} = (2, 3)\), \(\vec{CB} = (4, -3)\): \(8 - 9 = -1\).
б) \(\vec{AB} = (3, 1)\), \(\vec{DC} = (m, 2)\): \(3m + 2 = 10\), \(m = \frac83\).
в) \(-20 + m^2 - 4 = 0\), \(m = \pm 2\sqrt6\).
Задача 3 Агол меѓу вектори
а) Најди го косинусот на аголот меѓу \(\vec{u} = (1, 3)\) и \(\vec{v} = (3, 1)\).
б) Најди го аголот меѓу \(\vec{u} = (1, \sqrt3)\) и \(\vec{v} = (\sqrt3, 1)\).
в) Најди го аголот меѓу \(\vec{p} = (2, -2)\) и \(\vec{q} = (-3, 0)\).
Прикажи решение
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\).
а) \(\frac{6}{\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac35\).
б) \(\frac{2\sqrt3}{2\cdot 2} = \frac{\sqrt3}{2}\), \(\theta = 30^\circ\).
в) \(\frac{-6}{2\sqrt2\cdot 3} = -\frac{\sqrt2}{2}\), \(\theta = 135^\circ\).
Задача 4 Агол во триаголник
а) \(A(1, 1)\), \(B(4, 2)\), \(C(2, 5)\). Најди \(\cos A\).
б) Аголот меѓу \(\vec{u} = (a, 1)\) и \(\vec{v} = (1, a)\) е \(60^\circ\). Најди \(a\).
Прикажи решение
а) \(\vec{AB} = (3, 1)\), \(\vec{AC} = (1, 4)\): \(\cos A = \frac{3 + 4}{\sqrt{10}\sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{170}} \approx 0.537\).
б) \(\frac{2a}{a^2 + 1} = \frac12 \Rightarrow a^2 - 4a + 1 = 0 \Rightarrow a = 2 \pm \sqrt3\).
Задача 5 Нормални вектори
а) Дали \(\vec{u} = (4, -6)\) и \(\vec{v} = (3, 2)\) се нормални? Дали \((2, 5)\) и \((5, 2)\)?
б) \(\vec{u} = (a, 2)\) е нормален на \(\vec{v} = (5, -3)\). Најди \(a\).
в) Запиши два вектора нормални на \(\vec{w} = (3, -1)\).
г) \(\vec{A} = (k, 3)\), \(\vec{B} = (-2, k - 1)\) и \(\vec{A}\perp\vec{B}\). Најди \(|\vec{A} + \vec{B}|\).
Прикажи решение
а) \(12 - 12 = 0\): да. \(10 + 10 = 20 \ne 0\): не.
б) \(5a - 6 = 0\), \(a = \frac65\).
в) На пример \((1, 3)\) и \((-2, -6)\) (кое било \(t(1, 3)\), \(t \ne 0\)).
г) \(-2k + 3k - 3 = 0\), \(k = 3\). \(\vec{A} + \vec{B} = (1, 5)\), должина \(\sqrt{26}\).
Задача 6 Должина од скаларниот производ
а) \(|\vec{u}| = 3\), \(|\vec{v}| = 2\) и аголот меѓу нив е \(60^\circ\). Најди \(|2\vec{u} - 3\vec{v}|\).
б) \(|\vec{a}| = 5\), \(|\vec{b}| = 3\), \(|\vec{a} + \vec{b}| = 7\). Најди \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) и аголот меѓу \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Прикажи решение
а) \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot 2\cdot\frac12 = 3\). \(|2\vec{u} - 3\vec{v}|^2 = 4\cdot 9 - 12\cdot 3 + 9\cdot 4 = 36\), па должината е \(6\).
б) \(49 = 25 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 9\), па \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{15}{2}\). \(\cos\theta = \frac{7.5}{15} = \frac12\), \(\theta = 60^\circ\).
Задача 7 Геометрија со скаларен производ
а) Во рамностран триаголник \(ABC\) со страна 6, \(M\) е средина на \(BC\). Најди \(\vec{AM}\cdot\vec{BC}\) и \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).
б) Во квадрат \(ABCD\) со страна 6, \(E\) е средина на \(CD\). Најди \(\vec{AE}\cdot\vec{AB}\) и \(\vec{AE}\cdot\vec{BD}\).
Прикажи решение
а) Тежишната линија е и висина, па \(\vec{AM}\perp\vec{BC}\) и \(\vec{AM}\cdot\vec{BC} = 0\). \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 6\cdot 6\cdot\cos 60^\circ = 18\).
б) Координати: \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(6, 6)\), \(D(0, 6)\), \(E(3, 6)\). \(\vec{AE} = (3, 6)\), \(\vec{AB} = (6, 0)\): \(18\). \(\vec{BD} = (-6, 6)\): \(-18 + 36 = 18\).
Задача 8 Плоштина на триаголник
а) Најди ја плоштината на триаголникот со темиња \(A(1, 2)\), \(B(5, 3)\), \(C(2, 6)\).
б) Во триаголникот \(ABC\), \(|BA| = 5\), \(|BC| = 8\) и \(\vec{BA}\cdot\vec{BC} = 20\). Најди ја плоштината.
Прикажи решение
а) \(\vec{AB} = (4, 1)\), \(\vec{AC} = (1, 4)\). Плоштина \(= \frac12|4\cdot 4 - 1\cdot 1| = \frac{15}{2}\).
б) \(\cos B = \frac{20}{40} = \frac12\), \(\sin B = \frac{\sqrt3}{2}\). Плоштина \(= \frac12\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3\).
Задача 9 Права низ точка
а) Најди ја равенката на правата низ \(A(2, -1)\) нормална на \(\vec{n} = (4, 3)\).
б) Најди ја равенката на правата низ \(B(-3, 2)\) паралелна со \(\vec{d} = (2, 5)\).
Прикажи решение
а) Точка \(P(x, y)\) е на правата кога \(\vec{AP}\cdot\vec{n} = 0\): \(4(x - 2) + 3(y + 1) = 0\), т.е. \(4x + 3y - 5 = 0\).
б) Нормален вектор е \((5, -2)\): \(5(x + 3) - 2(y - 2) = 0\), т.е. \(5x - 2y + 19 = 0\).
Задача 10 Скаларна компонента (проекција)
а) Најди ја скаларната компонента на \(\vec{u} = (3, 4)\) по \(\vec{v} = (1, -2)\).
б) Најди ја скаларната компонента на \(\vec{u} = (2, 5)\) по \(\vec{v} = (-3, 4)\) и векторската проекција на \(\vec{u}\) врз \(\vec{v}\).
Прикажи решение
Скаларна компонента: \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\).
а) \(\frac{3 - 8}{\sqrt5} = -\sqrt5\).
б) \(\frac{-6 + 20}{5} = \frac{14}{5}\). Векторска проекција: \(\frac{14}{5}\cdot\frac{(-3, 4)}{5} = \left(-\frac{42}{25}, \frac{56}{25}\right)\).
Задача 11 Сили и работа
а) Автомобил со тежина 12 000 N стои на пат наклонет за \(20^\circ\). Најди ја силата потребна за да не се лизне надолу и силата со која притиска на патот.
б) Сила \(\vec{F} = (3, 5)\) N поместува предмет од \(A(1, 1)\) до \(B(5, 3)\) (во метри). Најди ја извршената работа.
в) Санка се влече 50 m со сила од 30 N по јаже што зафаќа \(40^\circ\) со земјата. Најди ја работата.
Прикажи решение
а) По патот: \(12000\sin 20^\circ \approx 4104\) N. Нормално на патот: \(12000\cos 20^\circ \approx 11276\) N.
б) \(\vec{AB} = (4, 2)\): \(W = \vec{F}\cdot\vec{AB} = 12 + 10 = 22\) J.
в) \(W = 30\cdot 50\cos 40^\circ \approx 1149\) J.