Паралелни вектори и примени
Брзина и курс, паралелни и колинеарни вектори, линеарни комбинации и линеарна зависност. 8 задачи со решенија чекор по чекор.
Прво реши ја секоја задача во тетратка, па отвори го решението.
Задача 1 Курс и брзина
а) Брод плови во насока N 30° E со 40 km/h. Најди ги источната и северната компонента на неговата брзина.
б) Авион лета право на север со 300 km/h, а ветерот дува од запад со 40 km/h. Најди ја брзината на авионот во однос на земјата и неговата насока.
Прикажи решение
а) Исток: \(40\sin 30^\circ = 20\) km/h; север: \(40\cos 30^\circ = 20\sqrt3 \approx 34.6\) km/h.
б) Ветерот од запад дува кон исток. Брзина во однос на земјата \((40, 300)\): брзина \(\sqrt{1600 + 90000} \approx 302.7\) km/h, насока N \(\theta\) E со \(\tan\theta = \frac{40}{300}\), \(\theta \approx 7.6^\circ\).
Задача 2 Преминување река
Чамец се движи со 10 km/h во мирна вода. Реката тече на исток со 5 km/h. Во која насока треба да се движи чамецот за да стигне до точката точно спроти, на северниот брег? Колкава е неговата брзина во однос на земјата?
Прикажи решение
Источната компонента на сопствената брзина на чамецот мора да ја поништи струјата: \(10\sin\theta = 5\), \(\theta = 30^\circ\). Насока N 30° W.
Брзина во однос на земјата: \(10\cos 30^\circ = 5\sqrt3 \approx 8.66\) km/h, право на север.
Задача 3 Паралелни вектори
а) Покажи дека \(\vec{u} = (6, -4)\) и \(\vec{v} = (-9, 6)\) се паралелни.
б) \(\vec{a} = (m - 2, 3)\) и \(\vec{b} = (4, m + 2)\) се паралелни. Најди \(m\).
в) \(A(1, -2)\), \(B(3, 2)\), \(C(4, -1)\), \(D(x, y)\) и \(CD \parallel AB\). Најди ја врската меѓу \(x\) и \(y\).
Прикажи решение
а) \(\vec{v} = -\frac32\vec{u}\), па се паралелни (исто така \(\frac{6}{-9} = \frac{-4}{6}\)).
б) \(\frac{m - 2}{4} = \frac{3}{m + 2} \Rightarrow m^2 - 4 = 12 \Rightarrow m = \pm 4\).
в) \(\vec{AB} = (2, 4)\), \(\vec{CD} = (x - 4, y + 1)\). Паралелни: \(4(x - 4) = 2(y + 1)\), т.е. \(y = 2x - 9\).
Задача 4 Колинеарни точки и средини
а) Дали \(A(-1, 3)\), \(B(1, 2)\) и \(C(7, -1)\) се колинеарни?
б) Триаголник има темиња \(A(4, 6)\), \(B(-2, 2)\), \(C(6, -4)\). \(E\) и \(F\) се средини на \(AB\) и \(AC\). Најди \(E\), \(F\) и покажи дека \(\vec{EF} = \frac12\vec{BC}\).
Прикажи решение
а) \(\vec{AB} = (2, -1)\), \(\vec{AC} = (8, -4) = 4\vec{AB}\). Тие се паралелни и ја делат \(A\): колинеарни.
б) \(E(1, 4)\), \(F(5, 1)\). \(\vec{EF} = (4, -3)\) и \(\vec{BC} = (8, -6)\), па \(\vec{EF} = \frac12\vec{BC}\).
Задача 5 Линеарна комбинација
а) Запиши го \(\vec{w} = (7, 1)\) како линеарна комбинација на \(\vec{u} = (1, 2)\) и \(\vec{v} = (3, -1)\).
б) Запиши го \(\vec{x} = (1, 8)\) како линеарна комбинација на \(\vec{a} = (2, -1)\) и \(\vec{b} = (-1, 3)\).
в) Најди \(\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}\) за \(\vec{u} = (4, -1)\), \(\vec{v} = (1, 2)\).
Прикажи решение
а) \(\vec{w} = c_1\vec{u} + c_2\vec{v}\): \(c_1 + 3c_2 = 7\), \(2c_1 - c_2 = 1\). Значи \(c_1 = \frac{10}{7}\), \(c_2 = \frac{13}{7}\). Проверка: \(\frac{10}{7} + \frac{39}{7} = 7\), \(\frac{20}{7} - \frac{13}{7} = 1\).
б) \(2c_1 - c_2 = 1\), \(-c_1 + 3c_2 = 8\): \(c_1 = \frac{11}{5}\), \(c_2 = \frac{17}{5}\).
в) \((8, -2) - (3, 6) = (5, -8)\).
Задача 6 Линеарна зависност
а) Покажи дека \(\{(2, 1), (1, 3)\}\) е линеарно независно.
б) Покажи дека \(\{(1, 0), (0, 1), (2, -5)\}\) е линеарно зависно.
в) \(\vec{a} = (k, 3)\) и \(\vec{b} = (2, k + 1)\) се линеарно зависни. Најди \(k\).
Прикажи решение
а) \(c_1(2, 1) + c_2(1, 3) = (0, 0)\): \(2c_1 + c_2 = 0\), \(c_1 + 3c_2 = 0\), само \(c_1 = c_2 = 0\). Независни.
б) \(2(1, 0) - 5(0, 1) - (2, -5) = (0, 0)\) со коефициенти различни од нула. Зависни.
в) Два вектора се зависни кога се паралелни: \(k(k + 1) = 6\), па \(k = 2\) или \(k = -3\).
Задача 7 Паралелограм со вектори
\(ABCD\) е паралелограм, \(\vec{OA} = 2\vec{i} + \vec{j}\), \(\vec{AB} = 4\vec{i} + \vec{j}\) и \(\vec{AD} = \vec{i} + 3\vec{j}\). Најди ги координатите на четирите темиња и пресечната точка на дијагоналите.
Прикажи решение
\(A(2, 1)\), \(B = A + \vec{AB} = (6, 2)\), \(D = A + \vec{AD} = (3, 4)\), \(C = A + \vec{AB} + \vec{AD} = (7, 5)\).
Дијагоналите се сечат во средината на \(AC\): \(\left(\frac92, 3\right)\).
Задача 8 Мешани задачи
а) \(\vec{PQ} = (8, -15)\) и \(Q(3, -6)\). Најди \(|\vec{PQ}|\) и точката \(P\).
б) \(\vec{RS}\) е паралелен со \(\vec{PQ}\) и \(|\vec{RS}| = 34\). Запиши ги двата можни вектори \(\vec{RS}\).
в) \(\vec{A} = (2a + 1)\vec{i} + 4\vec{j}\) и \(\vec{B} = 3\vec{i} + (a + 1)\vec{j}\) се паралелни. Најди \(a\).
Прикажи решение
а) \(|\vec{PQ}| = \sqrt{64 + 225} = 17\). \(P = Q - \vec{PQ} = (-5, 9)\).
б) \(\vec{RS} = \pm 2\vec{PQ} = (16, -30)\) или \((-16, 30)\).
в) \((2a + 1)(a + 1) = 12 \Rightarrow 2a^2 + 3a - 11 = 0 \Rightarrow a = \frac{-3 \pm \sqrt{97}}{4}\).