Paralel vektörler ve uygulamalar
Hız ve rota, paralel ve doğrusal vektörler, doğrusal birleşimler ve doğrusal bağımlılık. Adım adım çözümlü 8 soru.
Her soruyu önce defterinde çöz, sonra çözümü aç.
Soru 1 Rota ve hız
a) Bir gemi N 30° E yönünde 40 km/h hızla gidiyor. Hızının doğu ve kuzey bileşenlerini bulun.
b) Bir uçak 300 km/h hızla tam kuzeye uçuyor, rüzgâr batıdan 40 km/h hızla esiyor. Uçağın yere göre hızını ve yönünü bulun.
Çözümü göster
a) Doğu: \(40\sin 30^\circ = 20\) km/h; kuzey: \(40\cos 30^\circ = 20\sqrt3 \approx 34.6\) km/h.
b) Batıdan esen rüzgâr doğuya doğru eser. Yere göre hız \((40, 300)\): sürat \(\sqrt{1600 + 90000} \approx 302.7\) km/h, yön N \(\theta\) E, \(\tan\theta = \frac{40}{300}\), \(\theta \approx 7.6^\circ\).
Soru 2 Nehri geçmek
Bir kayık durgun suda 10 km/h hızla gidiyor. Nehir doğuya 5 km/h hızla akıyor. Kuzey kıyıda tam karşıdaki noktaya varmak için kayık hangi yöne gitmelidir? Yere göre hızı nedir?
Çözümü göster
Kayığın kendi hızının doğu bileşeni akıntıyı sıfırlamalıdır: \(10\sin\theta = 5\), \(\theta = 30^\circ\). Yön N 30° W.
Yere göre hız: \(10\cos 30^\circ = 5\sqrt3 \approx 8.66\) km/h, tam kuzeye.
Soru 3 Paralel vektörler
a) \(\vec{u} = (6, -4)\) ve \(\vec{v} = (-9, 6)\) vektörlerinin paralel olduğunu gösterin.
b) \(\vec{a} = (m - 2, 3)\) ve \(\vec{b} = (4, m + 2)\) paraleldir. \(m\) bulun.
c) \(A(1, -2)\), \(B(3, 2)\), \(C(4, -1)\), \(D(x, y)\) ve \(CD \parallel AB\). \(x\) ile \(y\) arasındaki bağıntıyı bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{v} = -\frac32\vec{u}\), yani paraleldirler (ayrıca \(\frac{6}{-9} = \frac{-4}{6}\)).
b) \(\frac{m - 2}{4} = \frac{3}{m + 2} \Rightarrow m^2 - 4 = 12 \Rightarrow m = \pm 4\).
c) \(\vec{AB} = (2, 4)\), \(\vec{CD} = (x - 4, y + 1)\). Paralel: \(4(x - 4) = 2(y + 1)\), yani \(y = 2x - 9\).
Soru 4 Doğrusal noktalar ve orta noktalar
a) \(A(-1, 3)\), \(B(1, 2)\) ve \(C(7, -1)\) doğrusal mı?
b) Bir üçgenin köşeleri \(A(4, 6)\), \(B(-2, 2)\), \(C(6, -4)\). \(E\) ve \(F\), \(AB\) ve \(AC\) kenarlarının orta noktalarıdır. \(E\), \(F\) bulun ve \(\vec{EF} = \frac12\vec{BC}\) olduğunu gösterin.
Çözümü göster
a) \(\vec{AB} = (2, -1)\), \(\vec{AC} = (8, -4) = 4\vec{AB}\). Paraleldirler ve \(A\) ortaktır: doğrusal.
b) \(E(1, 4)\), \(F(5, 1)\). \(\vec{EF} = (4, -3)\) ve \(\vec{BC} = (8, -6)\), yani \(\vec{EF} = \frac12\vec{BC}\).
Soru 5 Doğrusal birleşim
a) \(\vec{w} = (7, 1)\) vektörünü \(\vec{u} = (1, 2)\) ve \(\vec{v} = (3, -1)\) vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak yazın.
b) \(\vec{x} = (1, 8)\) vektörünü \(\vec{a} = (2, -1)\) ve \(\vec{b} = (-1, 3)\) vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak yazın.
c) \(\vec{u} = (4, -1)\), \(\vec{v} = (1, 2)\) için \(\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}\) bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{w} = c_1\vec{u} + c_2\vec{v}\): \(c_1 + 3c_2 = 7\), \(2c_1 - c_2 = 1\). Yani \(c_1 = \frac{10}{7}\), \(c_2 = \frac{13}{7}\). Kontrol: \(\frac{10}{7} + \frac{39}{7} = 7\), \(\frac{20}{7} - \frac{13}{7} = 1\).
b) \(2c_1 - c_2 = 1\), \(-c_1 + 3c_2 = 8\): \(c_1 = \frac{11}{5}\), \(c_2 = \frac{17}{5}\).
c) \((8, -2) - (3, 6) = (5, -8)\).
Soru 6 Doğrusal bağımlılık
a) \(\{(2, 1), (1, 3)\}\) kümesinin doğrusal bağımsız olduğunu gösterin.
b) \(\{(1, 0), (0, 1), (2, -5)\}\) kümesinin doğrusal bağımlı olduğunu gösterin.
c) \(\vec{a} = (k, 3)\) ve \(\vec{b} = (2, k + 1)\) doğrusal bağımlıdır. \(k\) bulun.
Çözümü göster
a) \(c_1(2, 1) + c_2(1, 3) = (0, 0)\): \(2c_1 + c_2 = 0\), \(c_1 + 3c_2 = 0\), yalnızca \(c_1 = c_2 = 0\). Bağımsız.
b) \(2(1, 0) - 5(0, 1) - (2, -5) = (0, 0)\), katsayılar sıfırdan farklı. Bağımlı.
c) İki vektör paralel olduğunda bağımlıdır: \(k(k + 1) = 6\), yani \(k = 2\) ya da \(k = -3\).
Soru 7 Vektörlerle paralelkenar
\(ABCD\) bir paralelkenardır, \(\vec{OA} = 2\vec{i} + \vec{j}\), \(\vec{AB} = 4\vec{i} + \vec{j}\) ve \(\vec{AD} = \vec{i} + 3\vec{j}\). Dört köşenin koordinatlarını ve köşegenlerin kesişim noktasını bulun.
Çözümü göster
\(A(2, 1)\), \(B = A + \vec{AB} = (6, 2)\), \(D = A + \vec{AD} = (3, 4)\), \(C = A + \vec{AB} + \vec{AD} = (7, 5)\).
Köşegenler \(AC\) parçasının orta noktasında kesişir: \(\left(\frac92, 3\right)\).
Soru 8 Karışık sorular
a) \(\vec{PQ} = (8, -15)\) ve \(Q(3, -6)\). \(|\vec{PQ}|\) ve \(P\) noktasını bulun.
b) \(\vec{RS}\), \(\vec{PQ}\) ile paraleldir ve \(|\vec{RS}| = 34\). Olası iki \(\vec{RS}\) vektörünü yazın.
c) \(\vec{A} = (2a + 1)\vec{i} + 4\vec{j}\) ve \(\vec{B} = 3\vec{i} + (a + 1)\vec{j}\) paraleldir. \(a\) bulun.
Çözümü göster
a) \(|\vec{PQ}| = \sqrt{64 + 225} = 17\). \(P = Q - \vec{PQ} = (-5, 9)\).
b) \(\vec{RS} = \pm 2\vec{PQ} = (16, -30)\) ya da \((-16, 30)\).
c) \((2a + 1)(a + 1) = 12 \Rightarrow 2a^2 + 3a - 11 = 0 \Rightarrow a = \frac{-3 \pm \sqrt{97}}{4}\).