Skaler çarpım
Skaler çarpım, vektörler arasındaki açı, dik vektörler, alan, doğrular, izdüşüm ve iş. Adım adım çözümlü 11 soru.
Her soruyu önce defterinde çöz, sonra çözümü aç.
Soru 1 Skaler çarpım
a) \(\vec{u} = (3, -2)\), \(\vec{v} = (4, 5)\) için \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) bulun.
b) \(\vec{u} = (1, 2)\), \(\vec{v} = (-2, 1)\) için \((\vec{u} + 2\vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v})\) bulun.
c) Skaler çarpım yardımıyla \(\vec{w} = (-3, 3)\) uzunluğunu bulun.
Çözümü göster
a) \(12 - 10 = 2\).
b) \(\vec{u} + 2\vec{v} = (-3, 4)\), \(\vec{u} - \vec{v} = (3, 1)\): \(-9 + 4 = -5\).
c) \(|\vec{w}| = \sqrt{\vec{w}\cdot\vec{w}} = \sqrt{18} = 3\sqrt2\).
Soru 2 Noktalarla skaler çarpım
a) \(A(1, -2)\), \(B(3, 1)\), \(C(-1, 4)\). \(\vec{AB}\cdot\vec{CB}\) bulun.
b) \(A(-1, 2)\), \(B(2, 3)\), \(C(m, 1)\), \(D(0, -1)\) ve \(\vec{AB}\cdot\vec{DC} = 10\). \(m\) bulun.
c) \(\vec{u} = (-5, m - 2)\), \(\vec{v} = (4, m + 2)\) ve \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). \(m\) bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{AB} = (2, 3)\), \(\vec{CB} = (4, -3)\): \(8 - 9 = -1\).
b) \(\vec{AB} = (3, 1)\), \(\vec{DC} = (m, 2)\): \(3m + 2 = 10\), \(m = \frac83\).
c) \(-20 + m^2 - 4 = 0\), \(m = \pm 2\sqrt6\).
Soru 3 Vektörler arasındaki açı
a) \(\vec{u} = (1, 3)\) ile \(\vec{v} = (3, 1)\) arasındaki açının kosinüsünü bulun.
b) \(\vec{u} = (1, \sqrt3)\) ile \(\vec{v} = (\sqrt3, 1)\) arasındaki açıyı bulun.
c) \(\vec{p} = (2, -2)\) ile \(\vec{q} = (-3, 0)\) arasındaki açıyı bulun.
Çözümü göster
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\).
a) \(\frac{6}{\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac35\).
b) \(\frac{2\sqrt3}{2\cdot 2} = \frac{\sqrt3}{2}\), \(\theta = 30^\circ\).
c) \(\frac{-6}{2\sqrt2\cdot 3} = -\frac{\sqrt2}{2}\), \(\theta = 135^\circ\).
Soru 4 Üçgende açı
a) \(A(1, 1)\), \(B(4, 2)\), \(C(2, 5)\). \(\cos A\) bulun.
b) \(\vec{u} = (a, 1)\) ile \(\vec{v} = (1, a)\) arasındaki açı \(60^\circ\). \(a\) bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{AB} = (3, 1)\), \(\vec{AC} = (1, 4)\): \(\cos A = \frac{3 + 4}{\sqrt{10}\sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{170}} \approx 0.537\).
b) \(\frac{2a}{a^2 + 1} = \frac12 \Rightarrow a^2 - 4a + 1 = 0 \Rightarrow a = 2 \pm \sqrt3\).
Soru 5 Dik vektörler
a) \(\vec{u} = (4, -6)\) ve \(\vec{v} = (3, 2)\) dik mi? Ya \((2, 5)\) ve \((5, 2)\)?
b) \(\vec{u} = (a, 2)\), \(\vec{v} = (5, -3)\) vektörüne diktir. \(a\) bulun.
c) \(\vec{w} = (3, -1)\) vektörüne dik iki vektör yazın.
d) \(\vec{A} = (k, 3)\), \(\vec{B} = (-2, k - 1)\) ve \(\vec{A}\perp\vec{B}\). \(|\vec{A} + \vec{B}|\) bulun.
Çözümü göster
a) \(12 - 12 = 0\): evet. \(10 + 10 = 20 \ne 0\): hayır.
b) \(5a - 6 = 0\), \(a = \frac65\).
c) Örneğin \((1, 3)\) ve \((-2, -6)\) (herhangi \(t(1, 3)\), \(t \ne 0\)).
d) \(-2k + 3k - 3 = 0\), \(k = 3\). \(\vec{A} + \vec{B} = (1, 5)\), uzunluk \(\sqrt{26}\).
Soru 6 Skaler çarpımdan uzunluk
a) \(|\vec{u}| = 3\), \(|\vec{v}| = 2\) ve aralarındaki açı \(60^\circ\). \(|2\vec{u} - 3\vec{v}|\) bulun.
b) \(|\vec{a}| = 5\), \(|\vec{b}| = 3\), \(|\vec{a} + \vec{b}| = 7\). \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) ve \(\vec{a}\) ile \(\vec{b}\) arasındaki açıyı bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot 2\cdot\frac12 = 3\). \(|2\vec{u} - 3\vec{v}|^2 = 4\cdot 9 - 12\cdot 3 + 9\cdot 4 = 36\), yani uzunluk \(6\).
b) \(49 = 25 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 9\), yani \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{15}{2}\). \(\cos\theta = \frac{7.5}{15} = \frac12\), \(\theta = 60^\circ\).
Soru 7 Skaler çarpımla geometri
a) Kenarı 6 olan \(ABC\) eşkenar üçgeninde \(M\), \(BC\) kenarının orta noktasıdır. \(\vec{AM}\cdot\vec{BC}\) ve \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) bulun.
b) Kenarı 6 olan \(ABCD\) karesinde \(E\), \(CD\) kenarının orta noktasıdır. \(\vec{AE}\cdot\vec{AB}\) ve \(\vec{AE}\cdot\vec{BD}\) bulun.
Çözümü göster
a) Kenarortay aynı zamanda yüksekliktir, yani \(\vec{AM}\perp\vec{BC}\) ve \(\vec{AM}\cdot\vec{BC} = 0\). \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 6\cdot 6\cdot\cos 60^\circ = 18\).
b) Koordinatlar: \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(6, 6)\), \(D(0, 6)\), \(E(3, 6)\). \(\vec{AE} = (3, 6)\), \(\vec{AB} = (6, 0)\): \(18\). \(\vec{BD} = (-6, 6)\): \(-18 + 36 = 18\).
Soru 8 Üçgenin alanı
a) Köşeleri \(A(1, 2)\), \(B(5, 3)\), \(C(2, 6)\) olan üçgenin alanını bulun.
b) \(ABC\) üçgeninde \(|BA| = 5\), \(|BC| = 8\) ve \(\vec{BA}\cdot\vec{BC} = 20\). Alanı bulun.
Çözümü göster
a) \(\vec{AB} = (4, 1)\), \(\vec{AC} = (1, 4)\). Alan \(= \frac12|4\cdot 4 - 1\cdot 1| = \frac{15}{2}\).
b) \(\cos B = \frac{20}{40} = \frac12\), \(\sin B = \frac{\sqrt3}{2}\). Alan \(= \frac12\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3\).
Soru 9 Bir noktadan geçen doğru
a) \(A(2, -1)\) noktasından geçen ve \(\vec{n} = (4, 3)\) vektörüne dik olan doğrunun denklemini bulun.
b) \(B(-3, 2)\) noktasından geçen ve \(\vec{d} = (2, 5)\) vektörüne paralel olan doğrunun denklemini bulun.
Çözümü göster
a) \(P(x, y)\) noktası, \(\vec{AP}\cdot\vec{n} = 0\) olduğunda doğru üzerindedir: \(4(x - 2) + 3(y + 1) = 0\), yani \(4x + 3y - 5 = 0\).
b) Bir normal vektör \((5, -2)\): \(5(x + 3) - 2(y - 2) = 0\), yani \(5x - 2y + 19 = 0\).
Soru 10 Skaler bileşen (izdüşüm)
a) \(\vec{u} = (3, 4)\) vektörünün \(\vec{v} = (1, -2)\) doğrultusundaki skaler bileşenini bulun.
b) \(\vec{u} = (2, 5)\) vektörünün \(\vec{v} = (-3, 4)\) doğrultusundaki skaler bileşenini ve \(\vec{u}\) vektörünün \(\vec{v}\) üzerine vektörel izdüşümünü bulun.
Çözümü göster
Skaler bileşen: \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\).
a) \(\frac{3 - 8}{\sqrt5} = -\sqrt5\).
b) \(\frac{-6 + 20}{5} = \frac{14}{5}\). Vektörel izdüşüm: \(\frac{14}{5}\cdot\frac{(-3, 4)}{5} = \left(-\frac{42}{25}, \frac{56}{25}\right)\).
Soru 11 Kuvvetler ve iş
a) Ağırlığı 12 000 N olan bir araba \(20^\circ\) eğimli bir yolda duruyor. Aşağı kaymasını önlemek için gereken kuvveti ve yola uyguladığı baskı kuvvetini bulun.
b) \(\vec{F} = (3, 5)\) N’luk bir kuvvet bir cismi \(A(1, 1)\) noktasından \(B(5, 3)\) noktasına (metre cinsinden) götürüyor. Yapılan işi bulun.
c) Bir kızak, yerle \(40^\circ\) açı yapan bir iple 30 N kuvvetle 50 m çekiliyor. Yapılan işi bulun.
Çözümü göster
a) Yol boyunca: \(12000\sin 20^\circ \approx 4104\) N. Yola dik: \(12000\cos 20^\circ \approx 11276\) N.
b) \(\vec{AB} = (4, 2)\): \(W = \vec{F}\cdot\vec{AB} = 12 + 10 = 22\) J.
c) \(W = 30\cdot 50\cos 40^\circ \approx 1149\) J.