Vektorët në koordinata
Vektorët e pozitës, gjatësia, vektorët e barabartë, veprimet, vektorët njësi dhe komponentët. 9 detyra me zgjidhje hap pas hapi.
Së pari zgjidhe çdo detyrë në fletore, pastaj hape zgjidhjen.
Detyra 1 Kuadrantet dhe vektorët e pozitës
a) Emërto kuadrantin ose boshtin e çdo pike: \(A(4, -1)\), \(B(-2, -5)\), \(C(0, 3)\), \(D(-6, 2)\), \(E(7, 0)\).
b) Gjej vektorin e pozitës së \(\vec{PQ}\) për \(P(3, -2)\) dhe \(Q(-1, 4)\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(A\): IV; \(B\): III; \(C\): në boshtin \(y\); \(D\): II; \(E\): në boshtin \(x\).
b) \(\vec{PQ} = (x_Q - x_P,\ y_Q - y_P) = (-4, 6)\).
Detyra 2 Gjatësia e vektorit
a) Gjej gjatësinë e \(\vec{u} = (5, -12)\), \(\vec{v} = (0, -7)\) dhe \(\vec{w} = (\sqrt3, 1)\).
b) Gjej gjatësinë e \(\vec{AB}\) për \(A(-2, 1)\) dhe \(B(4, 9)\).
c) \(A(a, 1)\), \(B(3, 5)\) dhe \(|AB| = 5\). Gjej \(a\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(|\vec{u}| = \sqrt{25 + 144} = 13\); \(|\vec{v}| = 7\); \(|\vec{w}| = \sqrt{3 + 1} = 2\).
b) \(\vec{AB} = (6, 8)\), \(|\vec{AB}| = 10\).
c) \((3 - a)^2 + 16 = 25\), prandaj \((3 - a)^2 = 9\) dhe \(a = 0\) ose \(a = 6\).
Detyra 3 Vektorë të barabartë
a) \(\vec{u} = (a - b, 4)\) dhe \(\vec{v} = (6, a + b)\) janë të barabartë. Gjej \(a\) dhe \(b\).
b) Vektori \(\vec{v} = (5, -3)\) ka pikën fillestare \((-1, 2)\). Gjej pikën e tij të fundit.
c) \(\vec{MN} = (4, -1)\), \(M(1, k)\) dhe \(N(p, 3)\). Gjej \(p + k\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(a - b = 6\) dhe \(a + b = 4\): \(a = 5\), \(b = -1\).
b) \((-1 + 5,\ 2 - 3) = (4, -1)\).
c) \(p - 1 = 4\), prandaj \(p = 5\); \(3 - k = -1\), prandaj \(k = 4\). \(p + k = 9\).
Detyra 4 Kulmi i paralelogramit
a) \(A(1, 2)\), \(B(5, 3)\), \(C(4, 7)\) janë tre kulme të paralelogramit \(ABCD\). Gjej \(D\).
b) Jepen \(A(2, -1)\), \(B(-3, 4)\), \(C(1, 0)\) dhe \(D(a, b)\) me \(\vec{AC} = \vec{BD}\). Gjej \(D\) dhe \(|\vec{AD}|\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{AD} = \vec{BC} = (-1, 4)\), prandaj \(D = (1 - 1,\ 2 + 4) = (0, 6)\).
b) \(\vec{AC} = (-1, 1)\) dhe \(\vec{BD} = (a + 3, b - 4)\). Pra \(a = -4\), \(b = 5\): \(D(-4, 5)\).
\(\vec{AD} = (-6, 6)\), \(|\vec{AD}| = 6\sqrt2\).
Detyra 5 Veprimet
\(\vec{u} = (2, -3)\), \(\vec{v} = (-1, 4)\) dhe \(\vec{w} = (3, 0)\). Gjej:
a) \(\vec{u} + \vec{v}\) b) \(\vec{u} - \vec{w}\) c) \(3\vec{u} - 2\vec{v}\) d) \(|2\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}|\) e) \(\vec{x}\) ashtu që \(2\vec{x} + \vec{u} = \vec{w}\)
Shfaq zgjidhjen
- a) \((1, 1)\)
- b) \((-1, -3)\)
- c) \((6, -9) - (-2, 8) = (8, -17)\)
- d) \((4, -6) + (-1, 4) - (3, 0) = (0, -2)\), gjatësia \(2\)
- e) \(2\vec{x} = \vec{w} - \vec{u} = (1, 3)\), prandaj \(\vec{x} = \left(\frac12, \frac32\right)\)
Detyra 6 Ekuacione me vektorë
a) \(M(2, 1)\), \(N(3, m)\), \(K(m, 4)\) dhe \(|\vec{MN} + \vec{NK}| = 5\). Gjej \(m\).
b) \(3\vec{OA} + 2\vec{OB} = (7, 4)\) dhe \(\vec{OA} - \vec{OB} = (-1, 3)\). Gjej \(\vec{OA}\) dhe \(\vec{OB}\).
c) \(\vec{AB} = (m - 1, m)\) dhe \(\vec{CD} = (m + 1, 2)\), dhe \(|\vec{AB} + \vec{CD}| = 10\). Gjej \(m\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{MN} + \vec{NK} = \vec{MK} = (m - 2, 3)\). \((m - 2)^2 + 9 = 25\), prandaj \(m - 2 = \pm 4\): \(m = 6\) ose \(m = -2\).
b) Le të jetë \(\vec{OA} = \vec{x}\), \(\vec{OB} = \vec{y}\). Nga e dyta, \(\vec{x} = \vec{y} + (-1, 3)\). Atëherë \(5\vec{y} + (-3, 9) = (7, 4)\), prandaj \(\vec{y} = (2, -1)\) dhe \(\vec{x} = (1, 2)\).
c) \(\vec{AB} + \vec{CD} = (2m, m + 2)\). \(4m^2 + (m + 2)^2 = 100 \Rightarrow 5m^2 + 4m - 96 = 0 \Rightarrow m = 4\) ose \(m = -\frac{24}{5}\).
Detyra 7 Vektorët njësi
a) Gjej vektorin njësi në kahun e \(\vec{a} = (3, -4)\).
b) \(\vec{OA} = 2\vec{i} + 3\vec{j}\) dhe \(\vec{OB} = 5\vec{i} - \vec{j}\). Gjej vektorin njësi në kahun e \(\vec{AB}\).
c) \(\vec{OA} = 6\vec{i} + 8\vec{j}\) dhe \(C\) është në \(OA\) me \(|OC| = 4\). Gjej \(\vec{OC}\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(|\vec{a}| = 5\): \(\left(\frac35, -\frac45\right)\).
b) \(\vec{AB} = 3\vec{i} - 4\vec{j}\), gjatësia 5: \(\frac35\vec{i} - \frac45\vec{j}\).
c) Vektori njësi i \(\vec{OA}\) është \(\frac{1}{10}(6, 8) = (0.6, 0.8)\). \(\vec{OC} = 4\cdot(0.6, 0.8) = 2.4\vec{i} + 3.2\vec{j}\).
Detyra 8 Komponentët dhe këndi i drejtimit
a) Shkruaj \(\vec{u} = (-7, 2)\) me \(\vec{i}\) dhe \(\vec{j}\).
b) \(|\vec{v}| = 6\) dhe \(\vec{v}\) formon këndin \(150^\circ\) me boshtin pozitiv \(x\). Gjej komponentët e tij.
c) Gjej këndin ndërmjet boshtit pozitiv \(x\) dhe \(\vec{w} = 2\vec{i} - 2\sqrt3\,\vec{j}\).
Shfaq zgjidhjen
a) \(\vec{u} = -7\vec{i} + 2\vec{j}\).
b) \(\vec{v} = (6\cos 150^\circ,\ 6\sin 150^\circ) = (-3\sqrt3,\ 3)\).
c) \(|\vec{w}| = 4\), \(\cos\theta = \frac12\), \(\sin\theta = -\frac{\sqrt3}{2}\): \(\theta = 300^\circ\) (ose \(-60^\circ\)).
Detyra 9 Trekëndëshi kënddrejtë në koordinata
\(A(1, 1)\), \(B(4, 5)\) dhe \(C(8, 2)\) janë kulmet e një trekëndëshi. Gjej \(|AB|\), \(|BC|\), \(|AC|\) dhe trego se trekëndëshi është kënddrejtë dybrinjënjëshëm.
Shfaq zgjidhjen
\(\vec{AB} = (3, 4)\), \(|AB| = 5\); \(\vec{BC} = (4, -3)\), \(|BC| = 5\); \(\vec{AC} = (7, 1)\), \(|AC| = \sqrt{50}\).
\(|AB|^2 + |BC|^2 = 25 + 25 = 50 = |AC|^2\), prandaj këndi te \(B\) është i drejtë, dhe \(|AB| = |BC|\): kënddrejtë dybrinjënjëshëm.