Квиз

Кенгур 2020 – Student (III и IV година средно)

30 задачи од меѓународниот математички натпревар Кенгур (19.03.2020), категорија Student, за III и IV година средно. Решенијата се прикажуваат по проверката.

Кај секоја задача избери еден од петте одговори. Задачите 1–10 носат по 3 поени, 11–20 по 4, а 21–30 по 5. За погрешен одговор се одзема четвртина од поените на задачата, а без одговор е 0. На почетокот имаш 30 поени, најмногу 150. На натпреварот времето е 75 минути. На крајот кликни Провери ги одговорите.

1. Колкав е збирот на последните две цифри на производот \(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\)? (3 поени)

2. Мравка секој ден оди по права линија од A до B, на растојание 5 m. Еден ден поставиле две препреки, секоја висока 1 m (цртеж). Мравката оди по истата линија, а на препреките се качува и се спушта вертикално. Колкав пат поминува сега? (3 поени) Цртеж кон задача 2

3. Рене ги означил што попрецизно точките a и b на бројната оска. Која од точките p, q, r, s, t најдобро го претставува производот ab? (3 поени) Цртеж кон задача 3

4. Кружниот дијаграм покажува како учениците одат на училиште. Со велосипед одат приближно двапати повеќе отколку со јавен превоз, а со кола и пешки одат приближно исто многу. Останатите одат со скутер. Колкав процент оди со скутер? (3 поени) Цртеж кон задача 4

5. Збирот на петте трицифрени броеви на цртежот е 2664. Колку е A + B + C + D + E? (3 поени) Цртеж кон задача 5

6. Колкава е вредноста на изразот \(\dfrac{1010^2+2020^2+3030^2}{2020}\)? (3 поени)

7. Нека a, b и c се цели броеви за кои \(1\le a\le b\le c\) и \(abc=1\,000\,000\). Која е најголемата можна вредност на b? (3 поени)

8. Ако D кучиња имаат маса K килограми, а E слонови имаат маса колку M кучиња, колку е масата на еден слон? (3 поени)

9. Дадени се две коцки; секоја има две црвени, две сини и две бели страни. Ги фрламе истовремено. Која е веројатноста двете да покажат иста боја? (3 поени)

10. Кој од следниве броеви не е делив со 3 за ниеден цел број n? (3 поени)

11. Син и црвен правоаголник се преклопуваат; на цртежот се четири такви случаи. B е плоштината на делот од синиот што не е заеднички со црвениот, а R плоштината на делот од црвениот што не е заеднички со синиот. Што е точно за разликата B − R? (4 поени) Цртеж кон задача 11

A. во случајот 1, B − R е најголема

B. во случајот 2, B − R е најголема

C. во случајот 3, B − R е најголема

D. во случајот 4, B − R е најголема

E. B − R е иста во сите случаи

12. Пет монети се свртени со „писмо“ нагоре. Во секој чекор се превртуваат точно три монети. Колку најмалку чекори требаат за сите да покажуваат „глава“? (4 поени)

13. Четири исти кутии се залепени во тело како на цртежот. Ако за бојадисување на надворешноста на една кутија е потребен 1 литар боја, колку литри требаат за надворешноста на телото? (4 поени) Цртеж кон задача 13

14. Нека a, b и c се цели броеви. На која вредност изразот \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\) сигурно не е еднаков? (4 поени)

15. Првите две цифри на еден 100-цифрен број се 2 и 9. Колку цифри има квадратот на овој број? (4 поени) Цртеж кон задача 15

16. На едно тркало се запишани 15 броеви, а видлив е само 10 на врвот. Збирот на кои било 7 последователни броеви (на пример сивите) е секогаш ист. Колку од броевите 75, 216, 365 и 2020 може да се збирот на сите 15 броеви? (4 поени) Цртеж кон задача 16

17. Квадрат е поставен на два други квадрати како на цртежот; броевите во малите квадрати се нивните плоштини. Колкава е плоштината на големиот квадрат? (4 поени) Цртеж кон задача 17

18. Низата \(f_n\) е дадена со \(f_1=1\), \(f_2=3\) и \(f_{n+2}=f_n+f_{n+1}\) за \(n\ge1\). Колку од првите 2020 членови се парни? (4 поени)

19. Кружница ги допира двете страни на правоаголник и минува низ едно негово теме (цртеж). Едната допирна точка е на растојание 5 и 4 од двете соседни темиња. Колкава е плоштината на правоаголникот? (4 поени) Цртеж кон задача 19

20. Три квадри се споени во поголем квадар (цртеж). Една од нивните димензии е 6, а плоштините на некои страни се 14, 21, 16 и 30. Колкава е плоштината на страната означена со „?“? (4 поени) Цртеж кон задача 20

21. На цртежот е дел од параболата \(y=ax^2+bx+c\). Кој од следниве броеви е позитивен? (5 поени) Цртеж кон задача 21

22. Кенгурче повлекло права на квадратна мрежа и ги обоило трите триаголници на цртежот. Кој е односот на нивните плоштини? (5 поени) Цртеж кон задача 22

23. Едната страна на правоаголна градина е зголемена за 20%, а другата за 50%, и градината станала квадрат (цртеж). Ако означениот дел меѓу дијагоналите на правоаголникот и квадратот има плоштина 30 m², колкава била плоштината на правоаголната градина? (5 поени) Цртеж кон задача 23

24. Голем број N е делив со сите броеви од 2 до 11 освен со два од нив. Кои два броја може да се исклучоците? (5 поени)

25. Наутро продавница нудела 16 вида сладолед. Ана сака корнет со два различни вида. Навечер некои видови се потрошиле, а Бела сака корнет со три различни вида од останатите. Ана и Бела имале еднаков број можности. Колку видови се потрошиле? (5 поени)

26. Тони има 71 џамлија во кутија. Може да земе точно 30 џамлии од кутијата или да врати точно 18 во неа, колку пати сака. Колку најмалку џамлии може да останат во кутијата? (5 поени)

27. Владо свиткал две страни на квадратно парче хартија со страна 1 кон дијагоналата (цртеж) и добил четириаголник. Колкава е неговата плоштина? (5 поени) Цртеж кон задача 27

28. Леден брег има облик на коцка. Точно 90% од неговиот волумен е под водата. Три рабови на коцката делумно се гледаат над водата, а видливите делови се долги 24 m, 25 m и 27 m. Колку е долг работ на коцката? (5 поени)

29. Различни прости броеви \(p_1,\dots,p_n\) се запишани во најдолниот ред (цртеж). Производот на два соседни броја се запишува во квадратчето над нив. На врвот е бројот \(K=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}\). Ако \(\alpha_2=8\), колку броеви од табелата се деливи со \(p_4\)? (5 поени) Цртеж кон задача 29

30. Александар и Блаже сакаат да дознаат која од фигурите (цртеж) е омилена на Кирил. Кирил на Александар му ја кажал бојата, а на Блаже обликот. Александар: „Не знам која е и знам дека и Блаже не знае.“ Блаже: „На почетокот не знаев, но сега знам.“ Александар: „Сега знам и јас.“ Која е омилената фигура на Кирил? (5 поени) Цртеж кон задача 30