Збирка задачи › Комбинаторика и веројатност – матура 2013

Комбинаторика и веројатност – матура 2013

25 задачи за вежбање за државна матура по математика, со решенија.

Прво решете ја задачата во тетратка, па отворете го решението. Кај задачите со постапка е наведено и колку поени носи секој чекор.

Задачи од банката задачи за државната матура 2013 (основно и напредно ниво). Програмата оттогаш е изменета, па некои теми веќе не се дел од матурата.

Задача 1 Краток одговор

А.Три бели топчиња (нумерирани со броевите 1,2,3) и четири црни(нумерирани со 4,5,6,7) треба да се наредат во низа наизменично. На колку начини може да се направи тоа.

Б.Колку различни петцифрени броеви може да се напишат

од цифрите 1,2,2,2,3?

Одговор: ______________.

Прикажи решение

А.144

Б. 20

Задача 2 Краток одговор

А.Колку седумцифрени броеви може да се формираат од цифрите 0,0,0,0,1,2,3?

Б. Колку пермутации од елементите 1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4 почнуваат со 22?

Прикажи решение

А. 90

Б. 2520

Задача 3 Краток одговор

А.На една средба сите 20 учесници се ракувале меѓусебно. Колку е вкупниот број на ракувања?

Б.Колку различни делители има бројот 210?

Прикажи решение

А. 190

Б.16

Задача 4 Краток одговор

Колку различни триаголници може да се формираат од темињата на седумаголник?

Одговор: ______________

Б.Од цифрите 0,1,3,5,7 се формираат четирицифрени броеви со различни цифри. Колку од нив се деливи со 5?

Одговор: ______________

Прикажи решение

А. 35

Б.42

Задача 5 Краток одговор

Студент дошол на испит знаејќи 85 од 100 прашања. На истиот извлекол ливче со три прашања. Одреди ја веројатноста дека студентот ќе ги знае сите прашања.

Прикажи решение

\(\frac{{{C}^{85}}_{3} }{{{C}^{100}}_{3}} \approx 0.61\)

Задача 6 Краток одговор

Во развојот на биномот \({({x}^{2}+\frac{1}{x})}^{9}\) најди го оној член што не зависи од \(x\) .

Прикажи решение

Задача 7 Краток одговор

Која е веројатноста дека две фрлени коцки за играње ќе покажат број на точки чиј збир е поголем од 9?

Прикажи решение

Б. \(\frac{1}{6}\)

Задача 8 Краток одговор

Упрости го изразот

\(\frac{(2n+2)!}{(2n-1)!} \cdot \frac{(n-1)!}{(n+2)!} =\) _________________

Прикажи решение

\(\frac{8n+4}{n+2}\)

Задача 9 Повеќечлен избор

Се фралаат две коцки. Која е веројатноста на настанот: Збирот од броевите на горната страна е 8, ако се знае дека броевите што се добиваат при фрлање на коцките различни.

А. \(\frac{1}{10}\)

Б. \(\frac{2}{15}\)

В. \(\frac{1}{6}\)

Г. \(\frac{7}{30}\)

Прикажи решение

Б. \(\frac{2}{15}\)

Задача 10 Повеќечлен избор

Во една кутија има 5 различни зелени топчиња и 9 различни сини топчиња. На колку различни начини може да се извлечат две топчиња.

А.132

Б.124

В.104

Г.91

Прикажи решение

Г.91

Задача 11 Повеќечлен избор

Најди го коефициентот пред членот \({x}^{12} {y}^{6}\) во изразот \({({x}^{3}-2{y}^{2})}^{7}\) .

А. 84

Б. -280

В.560

Г. 35

Прикажи решение

Б. -280

Задача 12 Повеќечлен избор

На цртежот се дадени 10 точки. Случајно се бираат три од нив така да формираат триаголник. Колку различни триаголници може да се конструираат?

Слика кон задачата

А. 80

Б. 90

В. 110

Г. 120

Прикажи решение

В. 110

Задача 13 Повеќечлен избор

Бројот на варииации со повторување од пет елементи од трета класа е:

А. 10

Б. \({3}^{5}\)

В. 125

Г. 25

Прикажи решение

В. 125

Задача 14 Повеќечлен избор

Во една кутија има 3 жолти топчиња , 4 црвени и 2 сини. Три топчиња се извлекуваат наеднаш. Која е веројатноста сите три топчиња да се од различна боја.

А. \(\frac{5}{7}\)

Б. \(\frac{3}{7}\)

В. \(\frac{2}{7}\)

Г. \(\frac{1}{7}\)

Прикажи решение

В. \(\frac{2}{7}\)

Задача 15 Повеќечлен избор

Во една група има 14 членови во друга група има 27 членови. Ако 5 луѓе се членови на двете групи. Колку луѓе има вкупно во двете групи заедно.:

А. 30

Б. 31

В. 36

Г. 26

Прикажи решение

В. 36

Задача 16 Повеќечлен избор

Тричлена делегација од 9 кандидати може да се избере на :

А. 9

Б. 72

В. 84

Г. 504 начини

Прикажи решение

В. 84

Задача 17 Повеќечлен избор

Седмиот член во развојот на биномот \({(\sqrt[3]{x}-x)}^{9} \) е:

А. \(84{x}^{7}\)

Б. \(-84{x}^{7}\)

В. \(504{x}^{7}\)

Г. \(-504{x}^{7}\)

Прикажи решение

А. \(84{x}^{7}\)

Задача 18 Задача со постапка

Во табелата подолу се дадени температури измерени во 13 часот за секој ден во една недела.

Ден во неделата	Понеделник	Вторник	Среда	Четврток	Петок	Сабота	недела
\(T\quad [^{\circ}C ]\)	20	20	18	19	22	22	24

Пресметај ја средната температура за дадената недела. Резултатот да се заокружи на една децимала.

Прикажи решение

Го пресметува броителот 145 (1 поен)

Наоѓа дека именителот е 7 (1 поен)

Добива дека средната вредност е \(\frac{145}{7}\) =20.714 (1 поен)

Заклучува дека средната температура е \(20.7\quad ^{\circ}C\) . (1 поен)

Задача 19 Задача со постапка

Слика кон задачата Во рамнина се дадени 9 точки кои се распоредени како на сликата. Колку триаголници постојат за кои едното теме е фиксирано, а останатите две се бираат од останатите осум точки?

Прикажи решение

Ги разгледува трите случаи

Ако фиксиранат точката е теме од големиот квадрат \(\binom{8}{2}-3=25\) (1 поен)

Ако фиксираната точка е средина на страната на квадратот \(\binom{8}{2}-2=26\) (1 поен)

Ако фиксираната точка е центарот на квадратот \(\binom{8}{2}-4=24\) (1 поен)

Заклучува вкупно има 75 триаголници (1 поен)

Задача 20 Задача со постапка

На маса се фрлени две коцки. Колкава веројатност постои дека ќе се покажат или два еднакви броја или два броја чиј збир е 7 или два броја чиј збир е 9?

Прикажи решение

А: Броевите се еднакви наоѓа \(P(A)=\frac{6}{36}\) (1 поен)

B : Збир 7 \(P(B)=\frac{6}{36}\) (1 поен)

C: Збир 9 \(P(C)=\frac{4}{36}\) (1 поен)

Ја наоѓа веројатноста на бараниот настан \(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{4}{9}\) (1 поен)

Задача 21 Задача со постапка

Колку различни десетцифрени броеви може да се напишат со помошна цифрите 1,2,3 така да цифрата 3 се употребува точно два пати.

Прикажи решение

Две тројки можеме да ги разместиме на \(\frac{10 \cdot 9}{2}\) = 45 начини. (1 поен)

Останатите две цифри може да се распределат на \({2}^{8}\) начини. (1 поен)

Заклучува може да се напишат \(5\cdot 9\cdot {2}^{8}=11520\) броеви. (1 поен)

Задача 22 Задача со постапка

Нека \({2}^{7} x {y}^{3}\) е член од развојот \({(ax+2y)}^{4}\) . Најди го \(a\) .

Прикажи решение

Го запишува четвртион член \(\binom{4}{3}{(ax)}^{4-3}{(2y)}^{3}\) (1 поен)

Ги изедначува \(\binom{4}{3}{(ax)}^{4-3}{(2y)}^{3}={2}^{7} x {y}^{3}\) (1 поен)

Наоѓа \(a=4\) (1 поен)

Задача 23 Задача со постапка

Паричка се фрла четири пати. Која е веројатноста дека ќе се падне петка барем еднаш.

Прикажи решение

Го пресметува бројот на сите елементарни настани \({2}^{4}=16\). (1 поен)

Ја пресметува веројатноста на спротивниот настан(да не се падне ниту една петка)

\(p=\frac{1}{16}\) (1 поен)

Ја пресметува веројатноста на бараниот настан \(1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}\) . (1 поен)

Задача 24 Задача со постапка

Во група од 13 луѓе, 4 зборуваат англиски, 6 француски и 3 германски. Се формира одбор од 5 луѓе по случаен избор од групата. Која е веројатноста во одборот да има луѓе од кои двајца зборуваат англиски, двајца француски и еден германски .

Прикажи решение

Се бираат 5 луѓе од 13. Добива тоа е\(n=\binom{13}{5}\) (1 поен)

Заклучува дека има \(m=\binom{4}{2}\binom{6}{2}\binom{3}{1}\)

поволни настани (1 поен)

Заклучува веројатноста на бараниот настан е:

\(p=\frac{m}{n}=\frac{\binom{4}{2}\binom{6}{2}\binom{3}{1}}{\binom{13}{5}}=\frac{30}{143}\) (1 поен)

Задача 25 Задача со постапка

Која е веројатноста случајно избран број од првите 500 позитивни броеви е делив со 3 или 4.

Прикажи решение

Ја наоѓа веројатноста бројот да е делив со 3.

\(\frac{166}{500}\) (1 поен)

Ја наоѓа веројатноста бројот да е делив со 4.

\(\frac{125}{500}\) (1 поен)

Ја наоѓа веројатноста бројот да е делив со 3 и 4.

\(\frac{41}{500}\) (1 поен)

Ја наоѓа веројатноста на бараниот настан

\(p=\frac{166}{500}+\frac{125}{500}-\frac{41}{500}=0.5\) (1 поен)