П3 Алгебра

85 задачи за вежбање за државна матура по математика, со решенија.

Прво решете ја задачата во тетратка, па отворете го решението. Кај задачите со постапка е наведено и колку поени носи секој чекор.

Задача 1 Повеќечлен избор

Равенката $x^{2} - p x + p - 8 = 0$ има корени $x_{1}$ и $x_{2}$ . Исполнето е $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 15$ за вредноста на $p$ еднаква на:

А. $- 1$

Б. $1$

В. $2$

Г. $- 2$

Прикажи решение

Б. $1$
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=p^2-2(p-8)$
$p^2-2p+16=15\Rightarrow(p-1)^2=0\Rightarrow p=1$

Задача 2 Повеќечлен избор

Равенката $x^{2} - 6 x + p + 1 = 0$ нема решение за :

А. $p > 8$

Б. $p < 8$

В. $p < 1$

Г. $p < - 8$

Прикажи решение

А.

p > 8

$D=36-4(p+1)=32-4p<0\Rightarrow p>8$

Задача 3 Повеќечлен избор

Корените на равенката $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ се броевите

А. $1, \frac{1}{3}$

Б. $- 1, \frac{1}{3}$

В. $1, - \frac{1}{3}$

Г. $- 1, - \frac{1}{3}$

Прикажи решение

В.

1, - \frac{1}{3}

Задача 4 Повеќечлен избор

Решенија на равенката $\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x + 1$ се броевите :

А. 2

Б. $\frac{1}{2}$

В. 0

Г. $\frac{1}{12}$

Прикажи решение

В. 0

Задача 5 Повеќечлен избор

Вредноста на изразот $\left( \frac{a^{4}{\cdot a}^{5} \cdot a}{a^{2} \cdot a^{3}} \right)^{3}$ е:

А. 1

Б. $a^{12}$

В.$a^{15}$

Г. 0

Прикажи решение

В.$a^{15}$

Задача 6 Повеќечлен избор

Изразот $\frac{{(a^{- 2} b^{- 3})}^{- 1}}{a^{3} b^{4}}$ има вредност :

А. $a b$

Б. $\frac{1}{a b}$

В. $\frac{b}{a}$

Г. $\frac{a}{b}$

Прикажи решение

Б.

\frac{1}{a b}

Задача 7 Повеќечлен избор

Интервалот $[1, 2]$ е решение на неравенката:

А. $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$

Б. $x^{2} - 1 \leq 0$

В. $x^{2} - 4 x + 3 \leq 0$

Г. $x^{2} - 3 x - 4 < 0$

Прикажи решение

А.

x^{2} - 3 x + 2 \leq 0

Задача 8 Задача со постапка

Двајца работници може да завршат една работа за 12 дена. Едниот работник може да ја заврши работата сам за 7 дена помалку, отколку другиот работник. За колку денови секој посебно може да ја заврши работата.

Прикажи решение

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 7} = \frac{1}{12}$ 1 поен

$x_{1} = 3, x_{2} = 28$ 1 поен

Првото решение се отфрла.

$x - 7 = 21$ 1 поен

Задача 9 Повеќечлен избор

Изразот ${(x^{2} + 1)}^{2} + {(x^{2} - 1)}^{2} + 2 (x - 1) (x + 1)$ е еднаков на:

А. $4 x^{3}$

Б. $2 x^{2} + 1$

В. $2 (x^{4} + x^{2})$

Г. $4$

Прикажи решение

В.

2 (x^{4} + x^{2})

Задача 10 Краток одговор

Колку вода има во 0,7 литри 35- процентен раствор на шпиритус?

Прикажи решение

0,455 литри вода

Задача 11 Краток одговор

При преработка на шеќерна репка се добива 23% шеќер. Од колку килограми репка ќе се добие 690 грама шеќер?

Прикажи решение

$690:0{,}23=3000$ g, т.е. 3 kg репка.

Задача 12 Краток одговор

Реши ја равенката

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} x - 3) - 3) - 3 = 0$

Прикажи решение

Решение: x=24

Задача 13 Краток одговор

Збирот на два последователни непарни природни броја е 96. Кои се тие броеви?

Првиот број е ________ вториот е _________

Прикажи решение

Првиот број е 47 втор 49

Задача 14 Краток одговор

Определи:

А. НЗД за полиномите: $1 - 2 x; 1 - 4 x^{2}, 4 x^{2} - 4 x + 1$ ;

Б. НЗС за полиномите $2 a - 4; a + 2; a^{2} - 4 a + 4$ .

Прикажи решение

1 - 2 x

, Б.

2 {(a - 2)}^{2} (a + 2)

Задача 15 Повеќечлен избор

Дефиниционата област на изразот $\frac{2 x + 3}{x^{2} + 1}$ е:

А. $(- \infty, - 1) \cup (- 1, + \infty)$

Б. $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$

В. $(- \infty, + \infty)$

Г. $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, + \infty)$

Прикажи решение

В.

(- \infty, + \infty)

Задача 16 Повеќечлен избор

Графикот на која од дадените функции има само една заедничка точка со x-оската?

А. $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

Б. $f (x) = x^{2} + 5 x + 25$

В. $f (x) = x^{2} + 25 x + 25$

Г. $f (x) = x^{2} - 5 x + 25$

Прикажи решение

А.

f (x) = x^{2} - 10 x + 25

Задача 17 Задача со постапка

Столб е закопан во земја третина од својата должина, половина од должината е во вода и 2 метри е над вода. Колкава е должината на столбот?

Прикажи решение

Решение:

$\frac{x}{3} + \frac{x}{2} + 2 = x$ 1 поен

Добива x=12 1 поен

Заклучува дека должината на столбот е 12 метри 1 поен

Задача 18 Повеќечлен избор

Ако извадите 30% од 150, а потоа извадите уште 50% од добиениот број ќе добиете.

А. 52,5

Б. 60

В. 75

Г. 80

Прикажи решение

А. 52,5

Задача 19 Повеќечлен избор

Решенијата на системот неравенки $\{\begin{cases} x - 2 \leq 0 \\ 2 x - 7 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{cases}$ се :

А. $[0, \frac{7}{2}]$

Б. $[2, \frac{7}{2}]$

В. $[0, 2]$

Г. $[0, + \infty)$

Прикажи решение

В. $[0, 2]$

Задача 20 Повеќечлен избор

Решенија на неравенството $\sqrt{x - 3} \geq 2$ се:

А. $(- \infty, - 3]$

Б. $[3, 7]$

В. $[7, + \infty)$

Г. Ниту еден од понудените одговори

Прикажи решение

В. $[7, + \infty)$

Задача 21 Задача со постапка

Нека

x_{1}

x_{2}

се решенија на равенката

x^{2} - 5 x + 4 = 0

, да се пресмета вредноста на изразот

\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}}

Прикажи решение

Добива

$\begin{array}{l} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 1 \end{array}$ по 1 еден поен за секое решение

Заменува и добива $\frac{65}{4} = 16 \frac{1}{4}$ 1 поен

Второ решение со Виетови формули

Задача 22 Краток одговор

Да се реши системот

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 13 \\ 4 x + y = 10 \end{cases}$

Прикажи решение

(3, - 2)

Задача 23 Краток одговор

Да се реши неравенката

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{1}{3}$

Прикажи решение

$x \in (- 3, - \frac{3}{2})$

Задача 24 Краток одговор

Билет за кино со 20% намалување чини 120 ден. Колку е цената на билетот без намалување?

Прикажи решение

150 ден

Задача 25 Повеќечлен избор

За која вредност на параметарот $a$ равенката $a x^{2} - 4 (a + 3) x + a + 3 = 0$ нема реални корени ?

А. $a \in (- \infty, 4)$

Б. $a \in (- 4, - 3)$

В. $a \in (- 3, + \infty)$

Г. $a \in (- \infty, + \infty)$

Прикажи решение

Б.

a \in (- 4, - 3)

Задача 26 Повеќечлен избор

Кои се решенијата на неравенката $x^{2} + 5 x - 6 > 0$ ?

А. $(- \infty, - 6) \cup (1, + \infty)$

Б. $(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$

В. $(2, 3)$

Г. $(- 6, 1)$

Прикажи решение

А. $(- \infty, - 6) \cup (1, + \infty)$

Задача 27 Краток одговор

А. Ако коефициентите пред аргументот на линеарните функции се еднакви, тогаш нивните графици се _____________ прави.

Б. Графикот на линеарната функција $y = a x + b$ ја сече y-оската во точка со координати (0, _____).

Прикажи решение

А. Паралелни

Б. b

Задача 28 Задача со постапка

За кои вредности на x е позитивен квадратниот трином

- x^{2} + x + 6

Прикажи решение

Ги наоѓа корените на квадратната равенка -2, 3 1 поен

Ја скицира квадратната функција 1 поен

Го запишува интервалот (-2,3) 1 поен

Задача 29 Задача со постапка

Скицирај ги квадратните функции

y = x^{2}

y = - x^{2}

y = x^{2} + 1

y = {(x - 1)}^{2}

во ист координатен систем

Прикажи решение

За секоја точна скица 1 поен.

Задача 30 Краток одговор

Разложи го на множители триномот

$x^{2} - 10 x + 24$

Прикажи решение

(x - 4) (x - 6)

Задача 31 Краток одговор

Одреди го темето на параболата $y = 5 {(x - 1)}^{2} + 4$

Прикажи решение

(1, 4)

Задача 32 Краток одговор

Одреди ја квадратната функција

f (x) = a x^{2} + c

ако

f (0) = 2

f (2) = 0

Прикажи решение

f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2

Задача 33 Краток одговор

Состави квадратна равенка чии корени се 3 и 5.

Прикажи решение

\[(x - 3)(x - 5) = 0\]

\[x^{2} - 8x + 15 = 0\]

Задача 34 Краток одговор

Без да ги наоѓаш корените $x_{1}$ и $x_{2}$ на равенката

$4x^{2} - 3x + 1 = 0$ , пресметај ја вредноста на изразот:

\[\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}} =\]

Прикажи решение

Задача 35 Задача со постапка

Реши ја равенката

\[\frac{x}{2}-\frac{7x + 10}{2 - x}= 0\]

Прикажи решение

$\frac{- 12x - x^{2} - 20}{2 \cdot (2 - x)} = 0$ 1 поен

$x^{2} + 12x + 20 = 0$ 1 поен

$x_{1} = - 2,$ 1 поен

$x_{2} = - 10$ 1 поен

Задача 36 Краток одговор

Дадена е квадратната функција $f(x) = x^{2} - x + 2$ .

Пресметај $f( - 2) =$

Прикажи решение

$f( - 2) = 8$

Задача 37 Краток одговор

Графикот на функцијата $f\left( x \right)= ax^{2}$ минува низ точката $M\left( - 2,8 \right)$. Одреди го коефициентот $a$.

$a =$

Прикажи решение

$a =$ 2

Задача 38 Краток одговор

Одреди го множеството вредности на функцијата $f:\lbrack - 2,3\rbrack\rightarrow\mathbb{R}$, зададена со формулата $f(x) = x^{2}$.

$V_{f}=$

Прикажи решение

$V_{f}=\left\lbrack 0,9 \right\rbrack$

Задача 39 Краток одговор

Одреди го темето $T\left( \alpha,\beta \right)$ на параболата

$f\left( x \right)=x^{2}- 4x + 7$

$\alpha =$

$\beta =$

Прикажи решение

$\alpha =$ 2

$\beta =$ 3

Задача 40 Задача со постапка

Реши го системот равенки

\[\left\{ \begin{array}{r} 2x + y = 7 \\ 3x + 2y = 12 \end{array} \right.\ \]

Прикажи решение

$y = 7 - 2x$ 1 поен

$3x + 2(7 - 2x) = 12$ 1 поен

$x = 2$ 1 поен

$\begin{array}{r} y = 7 - 2 \cdot 2 \\ y = 3 \end{array}$ 1 поен

$(x,y) = (2,3)$

Задача 41 Задача со постапка

Страната на правоаголник е 12, а дијагоналата е за 8 подолга од другата страна. Пресметај ја плоштината на правоаголникот.

Прикажи решение

$d^{2} = a^{2} + b^{2}$ 1 поен

$(8 + b)^{2} = 12^{2} + b^{2}$ 1 поен

$b = 5$ 1 поен

$\begin{array}{r} P = 5 \cdot 12 \\ P = 60 \end{array}$ 1 поен

Задача 42 Задача со постапка

Со еден трактор А нива може да се изора за 10 дена, а со друг трактор Б за 15 дена. За колку дена двата трактора ќе ја изораат нивата?

Прикажи решение

За еден ден тракторот А ќе изора $\frac{1}{10}$ од нивата

За еден ден тракторот Б ќе изора $\frac{1}{15}$ од нивата

Двата трактора за еден ден ќе изораат $\frac{1}{x}$ од нивата

\[\frac{1}{x} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}\]

\[x = 6\]

Ги воведува поимите 1 поен

Ја поставува равенката 1 поен

Ја решава равенката 1 поен

Задача 43 Задача со постапка

Колку проценти алкохол има во раствор што се добива од 10 литри 60% -тен и 15 литри 40%-тен алкохол?

Прикажи решение

Решение:

$\frac{10 \cdot 60\% + 15 \cdot 40\%}{10 + 15}$ 1 поен

$= \frac{6 + 6}{25} = \frac{12}{25}$ 1 поен

$= \frac{12 \cdot 4}{100} = \frac{48}{100} = 48\%$ 1 поен

Задача 44 Задача со постапка

Реши ја неравенката $\left( x - 1 \right)\left( x - 4 \right)> 0$ .

Прикажи решение

Решение:

$\left\{ \begin{array}{r} x - 1 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{array} \right.\ $ или $\left\{ \begin{array}{r} x - 1 < 0 \\ x - 4 < 0 \end{array} \right.\ $ 1 поен

$\left\{ \begin{array}{r} x > 1 \\ x > 4 \end{array} \right.\ $ или $\left\{ \begin{array}{r} x < 1 \\ x < 4 \end{array} \right.\ $ 1 поен

$x \in ( - \infty,1) \cup (4, + \infty)$ 1 поен

Задача 45 Краток одговор

Квадратната функција $y = ax^{2} + bx + c\ $каде $a,b,\ c\in\mathbb{R}$ и $a \neq 0$ со теме $T(\alpha,\beta)$ запишана во канонична форма е:

Прикажи решение

$y = a \cdot\left( x - \alpha \right)^{2}+ \beta$

Задача 46 Краток одговор

Ако $x^{2} + 8x + c$ е полн квадрат, тогаш вредноста на $c$ изнесува.

$c =$

Прикажи решение

Задача 47 Задача со постапка

Реши ја равенката

\[2x\left( x - 5 \right)+ 3x\left( x + 4 \right)= x\left( x + 1 \right)+\left( 2x - 1 \right)^{2}\]

Прикажи решение

$2x^{2}- 10x + 3x^{2}+ 12x =x^{2}+ x + 4x^{2}- 4x + 1$ 1 поен

$5x^{2}+ 2x = 5x^{2}- 3x + 1$ 1 поен

$\begin{array}{r} 5x = 1 \\ x =\frac{1}{5} \end{array}$ 1 поен

Задача 48 Краток одговор

Подредениот пар $(2, - 1)$ е решение на равенка $(5 - k)x - (k - 1)y = 3$ ако $k =$

Прикажи решение

Задача 49 Повеќечлен избор

Во третиот квадрант се наоѓа пресечната точка на правите:

А. $y = \frac{1}{2}x - 1\ \ $ и $\ y = \frac{1}{2}x + 1$

Б. $y = \frac{1}{2}x - 1\ \ $ и $\ y = - \frac{1}{2}x + 1$

В. $y = \frac{1}{2}x + 1\ $ и $y = - 5$

Г. $y = - 5 + x\ \ $ и $\ \ y = - x + 6$

Прикажи решение

В. $y = \frac{1}{2}x + 1\ $ и $y = - 5$

Задача 50 Повеќечлен избор

За $x \neq \pm 2$ изразот $\frac{1}{x - 2} + \frac{4}{4 - x^{2}}$ e идентичен со изразот:

А. $\frac{1}{x - 2}$

Б. $\frac{5}{4 - x^{2}}$

В. $\frac{1}{2 - x}$

Г. $\frac{1}{x + 2}$

Прикажи решение

Г. $\frac{1}{x + 2}$
$\frac{1}{x-2}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}$

Задача 51 Повеќечлен избор

Ако $x_{1}$ и $x_{2}$ се реални корени на равенката $x^{2} - 2x - 4 = 0$, тогаш изразот $\frac{1}{x_{1}^{3}} + \frac{1}{x_{2}^{3}}$ е еднаков на:

А. $- \frac{1}{2}$

Б. $2$

В. $- 2$

Г. $10$

Прикажи решение

А. $- \frac{1}{2}$

Задача 52 Повеќечлен избор

Која од равенките претставува права паралелна на правата $y = 3 - x$:

А. $2x + 2y = 5$

Б. $2x + 4y = 1$

В. $y = 3 - 4x$

Г. $y = 4x - 2$

Прикажи решение

А. $2x + 2y = 5$
Двете прави имаат коефициент на правецот $-1$.

Задача 53 Повеќечлен избор

Вредноста на изразот $A = \sqrt[3]{\left( 1 - \sqrt{3}\ \right)^{3}} + \sqrt[4]{\left( 1 - \sqrt{3}\ \right)^{4}}$ е:

А. $2\sqrt{3} - 2\ $

Б. $2 - 2\sqrt{3}$

В. $0$

Г. $2$

Прикажи решение

В. $0$

Задача 54 Повеќечлен избор

Решенијата на неравенството $(x - 5)(x + 4)(x + 1) \leq 0$ се:

А. $( - \infty, - 4\rbrack \cup \lbrack - 1,5\rbrack$

Б. $( - \infty, - 4) \cup \lbrack - 1, - 5\rbrack$

В. $( - \infty,\ 5\rbrack$

Г. $( - \infty,4) \cup \lbrack 1, - 5\rbrack$

Прикажи решение

А. $( - \infty, - 4\rbrack \cup \lbrack - 1,5\rbrack$

Задача 55 Повеќечлен избор

За кои вредности на параметарот $p$ квадратната равенка

$(p - 3)x^{2} - 2px + p + 2 = 0$ има два различни реални корени?

А. $( - 6,\ + \infty)$

Б. $\ ( - \infty, - 6)$

В. $\lbrack - 6, + \infty)$

Г. $( - 6,\ 3) \cup (3, + \infty)$

Прикажи решение

Г. $( - 6,\ 3) \cup (3, + \infty)$

Задача 56 Краток одговор

Ако $\frac{b}{a} = - \frac{1}{2}$ , тогаш вредноста на изразот $\frac{a^{3}b - b^{4}}{ab^{3} - b^{4}}$ е: ____________

Прикажи решение

Задача 57 Краток одговор

Бројот $- \frac{1}{3}$ е корен на равенката $- 6x^{2} = 11x + 3$ . Вториот корен на равенката е _____________

Прикажи решение

\[- \frac{3}{2}\]

Задача 58 Краток одговор

Системот $\left\{ \begin{array}{r} a^{2}x - 3ay = 2a + 3 \\ x + y = \frac{1}{a} \end{array} \right.\ $

Нема решение, ако вредноста на параметарот $a$ e ______________

Б. Има бесконечно многу решенија ако вредноста на параметарот $a$ e _______

Прикажи решение

нула

Б. -3

Задача 59 Краток одговор

Најголемата вредност за $\ x$ која ги исполнува условите на системот неравенки $\left\{ \begin{array}{r} 6x + 18 \leq 0 \\ x + 8 \geq 2 \end{array} \right.\ $ е ___________

Б. Kвадратна равенка чие решенија се $x_{1} = - 5\ ,\ x_{2} = - 9\ $ е ______________________

Прикажи решение

А. -3

Б. $x^{2} + 14x + 45 = 0$

Задача 60 Краток одговор

Ако $(x + 3)(x + 5) - (x - 4)(x - 2) = 0$ , тогаш $x = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

Б. Бројната вредност на полиномот $5abc - (2a^{2}b - \left( 3abc - \left( 4ab^{2} - a^{2}b \right)) \right)$ за $a = - 2\ ,\ b = - 1\ ,\ c = 3\ $ е _________

Прикажи решение

-1/2
60

Задача 61 Задача со постапка

Решете ја равенката $\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{1 + x} = - \frac{8}{1 - x^{2}}$ .

Прикажи решение

Ја запишува дефиниционата област $x \neq \pm 1$ (1 поен)

Добива $\ x^{2} + 3x - 10 = 0$ (1 поен)

Го добивa решението $x_{1} = 2$ (1 поен)

Го добивa решението $x_{2} = - 5\ $ (1 поен)

Задача 62 Задача со постапка

Еден работник завршува одредена работа за 2 дена повеќе од друг работник.

Но ако првиот работник работи 5 дена, а потоа вториот работник работи 6 дена, тогаш целата работа ќе биде завршена. За колку дена секој работник сам може да ја заврши целата работа?

Прикажи решение

Означува со x-бројот на денови потребни да ја заврши целата работа првиот работник. (1 поен)

Ја поставува равенката $\frac{5}{x} + \frac{6}{x + 2} = 1$ (1 поен)

Ја добива квадратната равенка $x^{2} - 9x - 10 = 0$

Добива $x_{1} = 10\ ,\ x_{2} = - 1$ (1 поен)

Заклучува дека првиот работник ќе ја заврши работата за 10 дена, а вториот за 12 дена. (1 поен)

Задача 63 Краток одговор

Решение на равенката $3x + 2 = x - 4(5x - 1)$ е:

\[x = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\]

Прикажи решение

$x = \frac{1}{11}$ или $x = \frac{2}{22}$

Задача 64 Краток одговор

Решенија на квадратната равенка $10x^{2} + 3x - 1 = 0$ се:

$x_{1} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

$x_{2} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

Прикажи решение

$x_{1} = \frac{1}{5}$

\[x_{2} = - \frac{1}{2}\]

Задача 65 Краток одговор

Дадени се множествата $A = (0,3\rbrack$ и $B = \lbrack - 2,4\rbrack$, тогаш $A \cap B = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

Колку цели броеви има во множеството $M = \{ - \sqrt{3},\ - 1,0,\sqrt{9},6,\pi^{2},\frac{23}{3}\}$?

Прикажи решение

$A$ или $(0,3\rbrack$

Задача 66 Краток одговор

Запиши го множеството решенија на системот неравенки

\[\left\{ \ \begin{array}{r} x \geq 1 \\ \ x < 2 \end{array} \right.\ \]

\[M = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\]

Прикажи решение

\[M = \lbrack 1,2)\]

Задача 67 Краток одговор

Дадени се полиномите $A = x^{2} - 2x\ $ и $B = x^{2} - 4$.

А. НЗД$(x^{2} - 2x,\ x^{2} - 4)$ = _________________

Б. НЗС$\ (x^{2} - 2x,\ x^{2} - 4)$ = _________________

Прикажи решение

А. $x - 2$

Б. $x(x - 2)(x + 2)$

Задача 68 Краток одговор

А. Вредноста на изразот $\frac{b + |1 + a|}{a^{3} - 3b}$ , за $a = - 2,\ b = \frac{1}{3}$ e:

Б. Решение на системот равенки $\left\{ \begin{array}{r} x + y = 1 \\ x - y = 2 \end{array} \right.\ $ е $x = \_\_\_\_\_\_\_\_\_$ , $y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$.

Прикажи решение

А. $-\frac{4}{27}$

Б. $(\frac{3}{2},\ -\frac{1}{2})$

Задача 69 Краток одговор

А. Колку чинат 4 kg јаболка ако 3 kg чинат 225 денари?

Одговор: __________ денари

Б. За $a = 2\ $ и $b = 3$ вредноста на изразот $a^{b} + b^{a} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

Прикажи решение

А. 300

Б. 17

Задача 70 Задача со постапка

Тежината на еден студент заедно со ранецот е 5 пати поголема од тежината на ранецот. Сумата от тежината на студентот и два такви ранци е $120\ kg$ . Да се најде тежината на студентот.

Прикажи решение

Ги означува тежината на студентот со $s$ и тежината на ранецот $r$ и запишува

\[\left\{ \begin{array}{r} s + r = 5 \cdot r \\ s + 2r = 120 \end{array} \right.\ \] (1 поен)

Добива $r = 20$ (1 поен)

Добива $s = 80$ и заклучува тежината на студентот е $80\ kg$. (1 поен)

Задача 71 Задача со постапка

Да се најдат допуштените вредности за параметарот $a$ и да се упрости изразот

\[А = \frac{a^{2} - 9\ }{a + 2} \cdot \frac{1}{a^{2} + 3a} - \frac{a + 3}{a^{2} - 2a}\]

Прикажи решение

Запишува $a \neq 0, \pm 2, - 3$ (1 поен)

Добива $\frac{a^{2} - 9\ }{a + 2} \cdot \frac{1}{a^{2} + 3a} = \frac{a - 3}{a(a + 2)}$ (1 поен)

Добива $\frac{(a - 3)(a - 2) - (a + 3)(a + 2)}{a(a + 2)(a - 2)}$ (1 поен)

Добива $\frac{10}{4 - a^{2}}$ (1 поен)

Задача 72 Задача со постапка

Нека $x_{1}$ и $x_{2}$ се корени на равенката $x^{2} + 8ax + 4 = 0$ , во која $a$ e позитивен параметар. За кoи вредности на $a$ e исполнет условот $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > - 10$?

Прикажи решение

Наоѓа

$x_{1} + x_{2} = - 8a$

\[x_{1}x_{2} = 4\] (1 поен)

Добива

$\frac{- 8a}{4} > - 10$ (1 поен)

Добива $0 < a < 5$ (1 поен)

Задача 73 Задача со постапка

Најди го решението на системот неравенки

\[\left\{ \begin{array}{r} \frac{x - 5}{x + 3} > 0 \\ \frac{x + 7}{x - 3} < 0 \end{array} \right.\ \]

Прикажи решение

Добива $M_{1} = ( - \infty, - 3) \cup (5, + \infty)$ (1 поен)

Добива $M_{2} = ( - 7,3)$ (1 поен)

Добива решението на системот е $M = ( - 7, - 3)$ (1 поен)

Задача 74 Задача со постапка

Една цевка го полни базенот за четири часа побрзо од друга цевка.

Поспората цевка започнува да го полни базенот сама седум часа, потоа се отвара и другата цевка. Двете цевки заедно го дополнуваат базенот за уште два часа. За колку време секоја од цевките одделно би го наполнила базенот?

Прикажи решение

Означува

Времето потребно да го наполни базенот брзата цевка $t$

и спората цевка $t + 4$ (1 поен)

Ја запишува врската

\[\frac{7}{t + 4} + \frac{2}{t + 4} + \frac{2}{t} = 1\] (1 поен)

Добива $t^{2} - 7t - 8 = 0$ (1 поен)

Ја решава квадратната равенка и добива $t_{1} = 8$ , $t_{2} = - 1$ (1 поен)

Заклучува дека цевките одделно би го полнеле за 8 и за 12 часа. (1 поен)

Задача 75 Задача со постапка

Реши ја равенката

$\frac{x}{x - 2} + \frac{5}{x + 2} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Прикажи решение

Наоѓа дефинициона област

\[D\mathbb{= R\backslash}\text{\{} - 2,2\}\] (1 поен)

Ја добива квадратната равенка $x^{2} + 7x - 18 = 0$ (1 поен)

Ги добива решенијата

$x_{1} = - 9\ ,x_{2} = 2$ (1 поен)

Заклучува дека $x = - 9$ е решение на равенката. (1 поен)

Задача 76 Задача со постапка

На прашањето колку години има син му, таткото одговорил: “Пред 5 години бев 5 пати постар од син ми, додека после 3 години ќе бидам 3 пати постар од син ми”. Колку години има таткото, а колку синот?

Прикажи решение

Означува со $x$ годините на таткото сега, а со $y$ годините на синот сега. (1 поен)

\[\left\{ \begin{array}{r} (x - 5) = 5(y - 5) \\ x + 3 = 3(y + 3) \end{array} \right.\ \] (1 поен)

Добива $x = 45\ ,\ y = 13$ (1 поен)

Задача 77 Задача со постапка

Да се реши системот равенки

\[\left\{ \begin{array}{r} \frac{1}{x + 2y} + y = 2 \\ \frac{y}{x + 2y} = - 3 \end{array} \right.\ \]

Прикажи решение

Добива $y_{1} = 3,\ y_{2} = - 1$ (1 поен)

Заменува во една од равенките и добива $x_{1} = - 7,\ x_{2} = \frac{7}{3}$ (1 поен)

Го запишува решението $( - 7,3)$ (1 поен)

Го запишува решението $(\frac{7}{3}, - 1)$ (1 поен)

Задача 78 Повеќечлен избор

Ако $3 - a = 2$ ,тогаш $9 - a^{2} =$

А. 2

Б. 4

В. 6

Г. 8

Прикажи решение

Г. 8

Задача 79 Повеќечлен избор

Бројот на решенија на равенката $x^{2} - 5x + 3 = 0$ е:

А. ниту едно

Б. едно

В. две

Г. три

Прикажи решение

В. две

Задача 80 Повеќечлен избор

Решение на равенката $3(1 - x) = 2 - x$ е:

А. $- \frac{1}{2}$

Б. $- \frac{1}{4}$

В. $\frac{1}{4}$

Г. $\frac{1}{2}$

Прикажи решение

Г. $\frac{1}{2}$
$3-3x=2-x\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac12$

Задача 81 Повеќечлен избор

$(x + 1) \bullet (x - 2) =$?

А. $x^{2} - 2$

Б. $x^{2} - x - 2$

В. $x^{2} - 3x - 2$

Г. $x^{2} + x - 2$

Прикажи решение

Б. $x^{2} - x - 2$

Задача 82 Повеќечлен избор

Која од квадратните равенки има решенија -2 и 3?

А. $2x^{2} - x - 6 = 0$

Б. $x^{2} + x - 6 = 0$

В. $x^{2} - x - 6 = 0$

Г. $x^{2} + x + 6 = 0$

Прикажи решение

В. $x^{2} - x - 6 = 0$

Задача 83 Повеќечлен избор

Решение на системот равенки $\left\{ \begin{array}{r} 3x + 5y = 29 \\ 2x - 3y = - 6 \end{array} \right.\ $ e:

А. $(1,2)$

Б. $(2,3)$

В. $(3,4)$

Г. $(2,4)$

Прикажи решение

В. $(3,4)$

Задача 84 Повеќечлен избор

На кој цртеж е прикажана правата $y = ax + b$, за која важи $a < 0\ $и $b > 0$?

Скица кон задачата

А.1

Б.2

В.3

Г.4

Прикажи решение

Б.2

Задача 85 Повеќечлен избор

По средување на изразот $\frac{1}{3 - a} + \frac{2}{3a}\ $ се добива:

А. $\frac{3}{3 - 2a}\ $

Б. $\frac{a + 2}{a(3 - a)}\ $

В. $\frac{2}{3 - a}\ $

Г. $\frac{a + 6}{3a(3 - a)}\ $

Прикажи решение

Г. $\frac{a + 6}{3a(3 - a)}\ $