П4 Геометрија

64 задачи за вежбање за државна матура по математика, со решенија.

Прво решете ја задачата во тетратка, па отворете го решението. Кај задачите со постапка е наведено и колку поени носи секој чекор.

Задача 1 Повеќечлен избор

Бројот на дијагонали на правилен шестаголник е :

А. 8

Б. 9

В.12

Г.15

Прикажи решение

Б. 9
$\frac{n(n-3)}{2}=\frac{6\cdot3}{2}=9$

Задача 2 Повеќечлен избор

Рамнокрак триаголник со крак 13 има висина кон основата еднаква на 12. Радиусот на опишана кружница е еднаков на:

А. $\frac{13}{12}$

Б. $4$

В. $\frac{169}{24}$

Г. 5

Прикажи решение

В.

\frac{169}{24}

Задача 3 Краток одговор

Со помош на аглите $α, β$ ( $β > α$ ) на правоаголен триаголник ABC, да се изрази аголот помеѓу висината и тежишната линија спуштени од темето C.

Прикажи решение

$δ = β - α$

Задача 4 Краток одговор

Колкав е аголот што е осум пати поголем од својот комплемент.

Дијагоналата на квадрат со страна $a = 3$ изнесува___________

Прикажи решение

$\alpha=8(90^\circ-\alpha)\Rightarrow\alpha=80^\circ$

$3 \sqrt{2}$

Задача 5 Задача со постапка

Кога бројот на страните на правилниот многуаголник ќе се зголеми за 2, тогаш централниот агол на многуаголникот ќе се намали за

6^{°}

. Колку дијагонали има многуаголникот?

Прикажи решение

Решение

$\frac{360^{°}}{n} - \frac{360^{°}}{n + 2} = 6^{°}$ 1 поен

$n = 10$ 1 поен

$\frac{n (n - 3)}{2} = \frac{10 (10 - 3)}{2} = 35$ 1 поен

Бројот на дијагонали е 35 1 поен

Задача 6 Краток одговор

Пресметај го периметарот на правоаголен триаголник ABC , со дадена хипотенуза $c = 5$ и $\cos α = \frac{4}{5}$ .

Прикажи решение

Задача 7 Задача со постапка

Должините на дијагоналите на ромбот ABCD се однесуваат како 3:4, а плоштината на ромбот е 48

c m^{2}

. Должината на страната на ромбот е:

Прикажи решение

Решение: $d_{1} : d_{2} = 3 : 4$ ,

$P = \frac{d_{1} d_{2}}{2} = \frac{3 k 4 k}{2} = 48$

$k = \sqrt{8}$ 1 поен

$\begin{array}{l} d_{1} = 3 \sqrt{8} = 6 \sqrt{2} \\ d_{2} = 4 \sqrt{8} = 8 \sqrt{2} \end{array}$ 1 поен

$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$

$\begin{array}{l} 4 a^{2} = 72 + 128 \\ 4 a^{2} = 200 \end{array}$ $\begin{array}{l} a^{2} = 50 \\ a = \sqrt{50} \\ a = 5 \sqrt{2} \end{array}$ 1 поен

Задача 8 Повеќечлен избор

Рамнокрак трапез има висина $4 \sqrt{3}$ и крак 8. Синус од остриот агол на трапезот е

А. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Б. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

В. 1

Г. $\frac{1}{2}$

Прикажи решение

А.

\frac{\sqrt{3}}{2}

Задача 9 Задача со постапка

Една страна на правоаголник изнесува 7

c m

, а дијагоналата е за 1

c m

подолга од другата страна. Колку изнесува должината на страната?

Прикажи решение

$d^{2} = a^{2} + b^{2}$ 1 поен

${(x + 1)}^{2} = 7^{2} + x^{2}$ 1 поен

$x = 24$ 1 поен

Задача 10 Краток одговор

Најдолгата тетива во даден круг се вика _________

Периферните агли над ист кружен лак се _________

Прикажи решение

Дијаметар

Еднакви

Задача 11 Повеќечлен избор

Колку степени е аголот помеѓу две соседни страни на правилен петоаголник, впишан во кружница.

А. $100^{°}$

Б. $72^{°}$

В. $108^{°}$

Г. $50^{°}$

Прикажи решение

В.

108^{°}

Задача 12 Повеќечлен избор

Да се пресмета висината на квадар, ако основните рабови се 3 и 5 , а плоштината му изнесува 190.

А. 10

Б. 12

В. 15

Г. 17

Прикажи решение

А. 10

Задача 13 Повеќечлен избор

Триаголникот ABC е впишана во кружница , така што страната AB e дијаметар на кружницата. Каков е аголот при темето C?

А. прав

Б. тап

В. остар

Г. Друго

Прикажи решение

А. Прав

Задача 14 Краток одговор

Должините на две страни на триаголник се 2 и 3, аголот меѓу нив е $60^{°}$ . Должината на третата страна е:

Прикажи решение

\sqrt{7}

Задача 15 Повеќечлен избор

Ученик поминал по нагорнина 1 km, се искачил во висина од 500 m. Колку степени е аголот на нагорнината?

А. $20^{°}$

Б. $30^{°}$

В. $45^{°}$

Г. $60^{°}$

Прикажи решение

Б. $30^{°}$

Задача 16 Повеќечлен избор

Рамностран триаголник има страна 12. Радиусот на опишана кружница е

А. $3 \sqrt{3}$

Б. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

В. $2 \sqrt{3}$

Г. $4 \sqrt{3}$

Прикажи решение

Г.

4 \sqrt{3}

Задача 17 Краток одговор

Средната линија во триаголникот е

4 c m

. Соодветната основа на триаголникот изнесува _________

c m

Прикажи решение

8 cm

Задача 18 Краток одговор

Плоштината на правоаголен триаголник е $24 c m^{2}$ и една од катетите е $8 c m$ Должината на другата катета е:

Еден од аглите во триаголник е за $15^{°}$ поголем од вториот агол и за $15^{°}$ помал од третиот агол. Тогаш тој агол е:

Прикажи решение

$60^{°}$

Задача 19 Краток одговор

Цилиндар и конус имаат еднакви основи и висини. Волуменот на цилиндарот е поголем од волуменот на конусот ______ пати.

Триаголник и паралелограм имаат еднакви основи и висини. Плоштината на паралелограмот е поголема од плоштината на триаголникот______ пати.

Прикажи решение

три пати

два пати

Задача 20 Краток одговор

Базен со волумен $100 m^{3}$ се полни од цевка со $100 l / m i n$ , истовремено се празни $1000 l / h$ . После колку часа ќе се наполни базенот?

Прикажи решение

20 часа

Задача 21 Краток одговор

Пирамида со основа квадрат има волумен 32 и висина 6. Страната на основата е:

Прикажи решение

Задача 22 Краток одговор

Дијагоналите на еден ромб се

6 c m

8 c m

. Периметарот на ромбот е _____ cm

Прикажи решение

20 cm
$a=\sqrt{3^2+4^2}=5,\ L=4a=20$

Задача 23 Задача со постапка

Квадратен лист со плоштина

Q

е завиткан во форма на бочна површина на прав кружен цилиндар. Пресметај ја плоштината на основата на цилиндарот.

Прикажи решение

Запишува дека периметарот на основата $L = \sqrt{Q}$ 1 поен

Го добива дека радиусот на основата $R = \frac{\sqrt{Q}}{2 π}$ 1 поен

Ја пресметува плоштината на основата $P = \frac{Q}{4 π}$ 1 поен

Задача 24 Задача со постапка

Осниот пресек на цилиндар е квадрат со плоштина

12 c m^{2}

. Да се пресмета бочната плоштина и волуменот на цилиндарот.

Прикажи решение

Од оскиниот пресек го добива радиусот на цилиндарот $R = \sqrt{3}$ 1 поен

Ја пресметува бочната плоштина $P = 12 π c m^{2}$ 1 поен

Го добива волуменот на цилиндарот $V = 6 \sqrt{3} π c m^{3}$ 1 поен

Задача 25 Краток одговор

Колку денари чини материјал што се користи за правење шатор во форма на правилна четириаголна пирамида (без основа) со основен раб

3 m

и висина

2 m

, ак

1 m^{2}

чини 800 денари?

Прикажи решение

Ја добива апотемата на пирамидата $h = 2.5 m$

Ја пресметува бочната плоштина $15 m^{2}$

Ја добива сумата потреба да се купи материјалот $12\ 000$ ден.

Задача 26 Задача со постапка

Пресметај го волуменот V на конус со радиус

r = 7 c m

и бочна плоштина

M = 175 π c m^{2}

Прикажи решение

Од $M = r π s$ добива $s = 25 c m$ 1 поен

Од $H^{2} = s^{2} - r^{2}$ добива $H = 24 c m$ 1 поен

Од $V = \frac{1}{3} π r^{2} H$ добива $V = 392 π$ 1 поен

Задача 27 Задача со постапка

Правоаголен трапез со основи

15 c m

9 c m

и плоштина

96 c m^{2}

ротира околу поголемата основа. Пресметај го волуменот на ротационото тело.

Прикажи решение

Го добива радиусот на ротационото тело(цилиндар и конус) $R = 8$ 1 поен

Го добива волуменот на цилиндарот $V = 8^{2} π 9 = 576 π$ 1 поен

Го добива волуменот на конусот $V = \frac{8^{2} π 6}{3} = 128 π$ 1 поен

Го добива волуменот на телото $V = 704 π c m^{3}$ 1 поен

Задача 28 Краток одговор

Ако периферниот агол има $32^{\circ}$ , тогаш централниот агол над ист кружен лак изнесува :

Прикажи решение

$64^{\circ}$

Задача 29 Краток одговор

Ако од едно теме може да се повлечат вкупно 12 дијагонали, тогаш тој многуаголник има _________ страни

Прикажи решение

15
$n-3=12\Rightarrow n=15$

Задача 30 Краток одговор

Два вектори што имаат еднакви должини и спротивни насоки се викаат __________ вектори.

Прикажи решение

спротивни

Задача 31 Краток одговор

Пресметај ја плоштината на правоаголник со страна 6 $cm$ и дијагонала 10 $cm$

Прикажи решение

$b = \sqrt{d^{2} - a^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$

$P = ab;P = 6 \cdot 8 = 48$

$P = 48\ cm^{2}$

Задача 32 Краток одговор

Ромб со страна 8 $cm$ и агол од $45^{\circ}$ има плоштина еднаква на:

Прикажи решение

$\sin 45^{\circ} = \frac{h}{8}\ $

$h = 8 \cdot \sin 45^{\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

$P = ah = 8 \cdot 4\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$

Задача 33 Краток одговор

Плоштината на рамнокрак триаголник со основа $a = 2$ и агол при врвот од $60^\circ$

Прикажи решение

Триаголникот е рамностран, па $P = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

Задача 34 Краток одговор

Плоштината на еден паралелограм е 54 $cm^{2}$, а неговите висини се 9 $cm$ и 12 $cm$. Неговиот периметар изнесува:

Прикажи решение

$54 = 9 \cdot a;a = 6$

$54 = 12 \cdot b;b = \frac{9}{2} = 4,5$

$P = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 4,5 = 12 + 9 = 21$

Задача 35 Краток одговор

Пресметај го радиусот на впишаната кружница во триаголникот

со страни 26 $cm$, 28 $cm\ $и 30 $cm$.

Прикажи решение

$s = \frac{26 + 28 + 30}{2} = 42$

$P = \sqrt{42(42 - 26)(42 - 28)(42 - 30)} = 336$

$r = \frac{P}{s} = \frac{336}{42} = 8$

Задача 36 Краток одговор

Пресметај ја плоштината на рамнокрак трапез со основи 24 $cm$ и 14 $cm$, а крак 13 $cm$

Прикажи решение

$P = \frac{a + b}{2} \cdot h$

$P = \frac{24 + 14}{2} \cdot h = 19h$

$h^{2} = 13^{2} - \left( \frac{a - b}{2} \right)^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 144$ , $h = \sqrt{144} = 12,h = 12$

$P = 19 \cdot 12 = 228$

Задача 37 Краток одговор

Основите на еден трапез се 36 $cm$ и 12 $cm$, а кракот со должина 7 $cm\ $образува агол од $150^{\circ}$ со едната основа. Пресметај ја плоштината на трапезот.

Прикажи решение

$h = 7 \cdot \sin 30^{\circ} = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

$P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{36 + 12}{2} \cdot \frac{7}{2} = 12 \cdot 7 = 84$

Задача 38 Краток одговор

Пресекот на една железна прачка е правилен осумаголник. Пресметај ја неговата плоштина, ако растојанието меѓу две негови најоддалечени темиња е 12.

Прикажи решение

\[P = 8\frac{6 \cdot 6 \cdot \sin 45^{\circ}}{2} = 8 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot 9\sqrt{2} = 72\sqrt{2}\]

Задача 39 Краток одговор

Два круга имаат еднакви радиуси. Ако радиусот на едниот се зголеми за 1, а периметарот на другиот се зголеми за 2$\pi$, кој од нив ќе има поголема плоштина?

Прикажи решение

\[S = (R + 1)^{2}\pi\]

\[P = 2R\pi + 2\pi = 2\pi(R + 1)\]

\[S_{1} = (R + 1)^{2}\pi\]

Еднакви

Задача 40 Краток одговор

Колкав е радиусот на кругот, ако еден негов исечок со централен агол од $18^\circ$ има плоштина 10?

Прикажи решение

$P = \frac{R^{2}\pi \cdot \alpha}{360^{\circ}}\ $

$10 = \frac{R^{2} \cdot \pi \cdot 18^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{R^{2}\pi}{20}$

$\begin{array}{r} R^{2} = \frac{200}{\pi} \\ R = \sqrt{\frac{200}{\pi}} \end{array}$

Задача 41 Краток одговор

Две кружници, секоја со радиус 4 $cm$, се сечат така што заедничката тетива е 4 $cm$. Пресметај ја плоштината на делот што е опфатен со двата мали лака

Прикажи решение

\[P = 2\left( \frac{4^{2}\pi}{6} - \frac{4^{2}\sqrt{3}}{4} \right) = 16\left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\]

Задача 42 Повеќечлен избор

Периметрите на два слични триаголници се однесуваат како 3:5, а збирот од плоштините им е $340\ cm^{2}$. Плоштината на помалиот триаголник во сантиметри квадратни е:

А.250

Б. 90

В. 9

Г. 127,5

Прикажи решение

Б. 90
Плоштините се однесуваат како $9:25$: $9k+25k=340\Rightarrow k=10$, па $9k=90$.

Задача 43 Повеќечлен избор

Рамнокрак триаголник има основа 6 и тежишните линии кон краците се заемно нормални. Плоштината на триаголникот изнесува:

А. 12

Б. 18

В. 24

Г. 27

Прикажи решение

Г. 27

Задача 44 Повеќечлен избор

Ромб има дијагонали 12 и 16. Ако последователно се поврзат средините на страните се добива нов четириаголник со еднакви дијагонали. Плоштината на новодобиениот четириаголник е:

А. 24

Б. 48

В. 72

Г. 30

Прикажи решение

Б. 48
Новиот четириаголник има половина од плоштината на ромбот: $\frac12\cdot\frac{12\cdot16}{2}=48$.

Задача 45 Повеќечлен избор

За дијагоналите $d_{1}$ и $d_{2}$ на ромб со страна $a$ и плоштина $S$ е точно, дека:

А. $d_{1} + d_{2} = \sqrt{2S + 4a^{2}}$

Б. $d_{1} + d_{2} = 2S + a^{2}$

В. $d_{1} + d_{2} = 2\sqrt{S + a^{2}}$

Г. $d_{1} + d_{2} = 4S + 2a^{2}$

Прикажи решение

В. $d_{1} + d_{2} = 2\sqrt{S + a^{2}}$

Задача 46 Краток одговор

Сфера со дијаметар $8\ cm$ е впишана во цилиндар

А.Плоштината на цилиндарот изнесува:__________$cm^{2}$

Б.Волуменот на цилиндарот изнесува: ___________$cm^{3}$

Прикажи решение

A.$96\pi$

Б. $128\pi$

Задача 47 Краток одговор

Цилиндричен сад со дијаметар 12 $cm$ е наполнет со вода. Потоа е потопен камен така што е истечено одредено количество вода. Кога каменот е отстранет нивото на водата е спуштено за 10 $cm$. Волуменот на каменот изнесува_____________$cm^{3}$

Прикажи решение

\[360\pi\]

$V=r^2\pi\cdot h=6^2\pi\cdot10=360\pi$

Задача 48 Краток одговор

Бочната плоштина на конус со висина 12 и радиус 5 изнесува_______$cm^{2}$.

Б. Волуменот на конусот изнесува________$cm^{3}$

Прикажи решение

А.$65\pi$

Б. $100\pi$

Задача 49 Задача со постапка

Даден е трапез $ABCD(AB \parallel CD)\ $ така што $AB = 24\ $ и $CD = 10$ и краци $AD = 15$ и $BC = 13$. Пресметај ја плоштината на трапезот.Направи скица.

Прикажи решение

Прави скица Скица кон задачата (1 поен)

ја запишува Хероновата формула за плоштината на триаголникот $\Delta BCE$ . (1 поен)

Ја добива плоштината на триаголникот $\Delta BCE$ $\ P =$84 (1 поен)

Ја наоѓа $h = 12$ (1 поен)

Ја пресметува плоштината на трапезот $P = 204$. (1 поен)

Задача 50 Задача со постапка

Коцка е впишана во топка. Пресметај го односот на плоштините.

Прикажи решение

Добива $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ (1 поен)

Запишува $S_{t} = 4R^{2}\pi$

\[S_{k} = 6a^{2}\] (1 поен)

Го добива односот $\frac{S_{t}}{S_{k}} = \frac{\pi}{2}$ (1 поен)

Задача 51 Задача со постапка

Полутопка и конус имаат заедничка основа со радиус $R$. Волуменот на конусот и полутопката се еднакви. Пресметај ја бочната плоштина на конусот. Направи скица.

Прикажи решение

Прави скица (1 поен)

Добива $h = 2R$ каде $h$ e висината на конусост (1 поен)

Ја добива генератрисата на конусот $s = R\sqrt{5}$ (1 поен)

Ја пресметува бочната плоштина $P = \pi R^{2}\sqrt{5}$ (1 поен)

Задача 52 Краток одговор

Плоштината на круг со периметар $8\pi\ cm$ e:______________$cm^{2}$

Прикажи решение

\[16\pi\]

Задача 53 Краток одговор

Дијагоналата на правоаголник со плоштина $48cm^{2}$ и страна $6cm\ $e:

___________$cm$

Прикажи решение

Задача 54 Краток одговор

Дадена е четириаголна пирамида $ABCDM$ со основа правоаголник $ABCD$, така што $MD\bot ABCD$, $AB = 2,\ \ AD = \sqrt{5},\ \ DM = 2$. Волуменот на пирамидата е_________________

Прикажи решение

\[\frac{4}{3}\sqrt{5}\]

Задача 55 Краток одговор

Дијагоналата на правилна четириаголна призма е $\sqrt{34}\ cm$, а дијагоналата на основата и е $3\sqrt{2}\ cm$.

А. Волуменот на призмата е _____________ $cm^{3}$

Б. Плоштината на призмата е _____________ $cm^{2}$

Прикажи решение

А.$36$

Б. 66

Задача 56 Краток одговор

А. Дадени се векторите $\overrightarrow{a} = (13,2),\ \overrightarrow{b} = (11,6)$ и $\ \overrightarrow{c} = (1,1)$.

Ако $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{u} = 4\overrightarrow{c} - \overrightarrow{u}$, тогаш $\overrightarrow{u} = (\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )$.

Б. Ученик трча со константна брзина од $6\ km/h$ во спротивен правец од ветерот. Колку е моменталната брзина на ученикот ако ветeрот дува со константна брзина од $3\ km/h$ .

Прикажи решение

А. (-10,-2)

Б. $3km/h$

Задача 57 Краток одговор

Да се пресмета плоштината на паралелниот пресек на конус што минува низ средината на висината, ако радиусот на основата на конусот е $20\ cm$.

Осниот пресек на еден конус е рамностран триаголник со страна $a$ , да се определи висината на конусот.

\[H = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\]

Прикажи решение

А.$100\pi cm^{2}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Задача 58 Краток одговор

Да се пресмета радиусот на впишана и опишана сфера во коцка со раб $a$.

Радиусот на впишана сфера е_____________

Радиусот на опишана сфера е_____________

Прикажи решение

$\frac{a}{2}$

Б. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Задача 59 Задача со постапка

Должините на страните на правоаголен триаголник $\Delta ABC$ со периметар 36 формираат аритметичка прогресија ($AC < BC < AB$). Пресметај ги должините на страните на триаголникот $ABC$.

Прикажи решение

Ги запишува страните на триаголникот во облик

\[b = a - d,a,a + d = c\] (1 поен)

Добива $a = 12$ (1 поен)

Добива $\ d = 3$ (1 поен)

Ги добива страните

$a = 12,\ b = 9,c = 15\ $ (1 поен)

Задача 60 Задача со постапка

Основата на четириаголна пирамида $ABCDM$ е квадрат со должина на страна $3a\ cm$. Бочниот раб $DM$ е нормален на рамнината на основата и е со должина $4a\ cm$ . Пресметај ја плоштината на пирамидата.

Прикажи решение

Ја запишува формулата за плоштина на пирамида

$P = B + M$

$M = M_{1} + M_{2} + M_{3} + M_{4}$

Добива $МА = MC = 5a$ (1 поен)

Добива $B = 9a^{2}$ (1 поен)

Добива $М_{1} = M_{2} = 6a^{2}$ (1 поен)

Добива $М_{3} = M_{4} = \frac{15a^{2}}{2}$ (1 поен)

Ја добива плоштината на пирамидата $P = 36a^{2}$ (1 поен)

Задача 61 Повеќечлен избор

Дијагоналата на квадрат со страна $a = 2$ е:

А.1

Б. 2

В. $2\sqrt{2}$

Г. $\sqrt{2}$

Прикажи решение

В. $2\sqrt{2}$

Задача 62 Повеќечлен избор

Средната линија во триаголникот е $3cm$. Соодветната основа на триаголникот е:

А. $12cm$

Б. $9cm$.

В. $6cm$.

Г. $3cm$.

Прикажи решение

В. $6cm$.

Задача 63 Повеќечлен избор

Плоштината на правоаголен триаголник е $24cm^{2}$ и една од катетите е $6cm$. Должината на другата катета е:

А.$4cm$

Б. $8cm$

В.$10cm$

Г. $14cm$

Прикажи решение

Б. $8cm$

Задача 64 Повеќечлен избор

Даден е правоаголен триаголник $ABC$ со должини како на цртежот. Вредноста на $\overline{AD} = x\ $ е:

Скица кон задачата

А.$1cm$

Б. $2cm$

В.$3cm$

Г. $4cm$

Прикажи решение

Г. $4cm$
Висината кон хипотенузата: $h^2=x\cdot8\Rightarrow32=8x\Rightarrow x=4$