Formulat për maturën në matematikë

Veprimet logjike

\(\top\) – i vërtetë, \(\bot\) – i pavërtetë

Ligjet logjike

\(\displaystyle \neg(\neg p)\Leftrightarrow p\) mohimi i dyfishtë

\(\displaystyle \neg(p\wedge q)\Leftrightarrow \neg p\vee\neg q\) ligjet e De Morganit

\(\displaystyle \neg(p\vee q)\Leftrightarrow \neg p\wedge\neg q\)

\(\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(\neg p\vee q)\) zëvendësimi i implikimit

\(\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(\neg q\Rightarrow\neg p)\) kontrapozicioni

\(\displaystyle p\vee\neg p\) përjashtimi i së tretës

\(\displaystyle \neg(p\wedge\neg p)\) moskundërthënia

\(\displaystyle p\wedge q\Leftrightarrow q\wedge p,\quad p\vee q\Leftrightarrow q\vee p\) ligji komutativ

\(\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\Leftrightarrow p\wedge(q\wedge r)\) ligji asociativ (njësoj për \(\vee\))

\(\displaystyle p\wedge(q\vee r)\Leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p\wedge r)\) ligjet distributive

\(\displaystyle p\vee(q\wedge r)\Leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p\vee r)\)

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge p\big)\Rightarrow q\) modus ponens

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge\neg q\big)\Rightarrow\neg p\) modus tollens

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge(q\Rightarrow r)\big)\Rightarrow(p\Rightarrow r)\) silogjizmi hipotetik

Bashkësitë

\(\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}\) unioni

\(\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}\) prerja

\(\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}\) diferenca

\(\displaystyle A'=U\setminus A\) komplementi

\(\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B',\quad (A\cap B)'=A'\cup B'\) ligjet e De Morganit

\(\displaystyle A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)

\(\displaystyle A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)

\(\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) numri i elementeve

\(\displaystyle 2^n\) nënbashkësitë e një bashkësie me \(n\) elemente

Numrat dhe pjesëtueshmëria

\(\displaystyle \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C\)

\(\displaystyle \mathbb Q=\left\{\tfrac mn\;\middle|\; m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\right\}\)

\(\displaystyle \text{PMP}(a,b)\cdot \text{SHVP}(a,b)=a\cdot b\)

Pjesëtueshmëria: me 2 – shifra e fundit është çift; me 3 (9) – shuma e shifrave pjesëtohet me 3 (9); me 4 – numri nga dy shifrat e fundit pjesëtohet me 4; me 5 – mbaron me 0 ose 5; me 10 – mbaron me 0.

Vlera absolute dhe intervalet

\(\displaystyle |x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x<0\end{cases}\)

\(\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot|b|,\quad \left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}\)

\(\displaystyle |x|<a\ \Leftrightarrow\ -a<x<a\) për \(a>0\)

\(\displaystyle |x|>a\ \Leftrightarrow\ x<-a\ \vee\ x>a\) për \(a>0\)

\(\displaystyle d(A,B)=|b-a|\) largësia ndërmjet pikave \(A(a)\) dhe \(B(b)\) në boshtin numerik

\(\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\},\quad [a,b]=\{x\mid a\le x\le b\}\)

\(\displaystyle [a,b)=\{x\mid a\le x<b\},\quad (a,+\infty)=\{x\mid x>a\}\)

Rrënjët

\(\displaystyle \sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\quad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\)

\(\displaystyle \left(\sqrt a\right)^2=a,\quad \sqrt{a^2}=|a|\)

\(\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\)

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a},\quad \frac{1}{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}\) racionalizimi

Numrat kompleksë

\(\displaystyle i^2=-1,\quad z=a+bi,\quad a=\operatorname{Re}z,\ b=\operatorname{Im}z\) pjesa reale dhe imagjinare

\(\displaystyle \bar z=a-bi,\quad -z=-a-bi\) numri i konjuguar dhe i kundërt

\(\displaystyle a+bi=c+di\ \Leftrightarrow\ a=c\ \wedge\ b=d\)

\(\displaystyle (a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i\)

\(\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

\(\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)

\(\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad z\cdot\bar z=|z|^2\) moduli

\(\displaystyle i^{4k}=1,\ \ i^{4k+1}=i,\ \ i^{4k+2}=-1,\ \ i^{4k+3}=-i\)

Numri \(z=a+bi\) është pika \((a,b)\) në rrafshin kompleks.

Përpjesëtimet

\(\displaystyle a:b=c:d\ \Leftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c\)

\(\displaystyle x:y:z=a:b:c\ \Rightarrow\ x=ak,\ y=bk,\ z=ck\) përpjesëtimi i zgjeruar

\(\displaystyle y=k\cdot x\quad\left(\tfrac yx=k\right)\) përpjesëtimi i drejtë

\(\displaystyle y=\frac kx\quad(x\cdot y=k)\) përpjesëtimi i zhdrejtë

\(\displaystyle k=\frac{S}{a+b+c}\) llogaria e ndarjes: \(S\) ndahet në raportin \(a:b:c\) në pjesët \(ak, bk, ck\)

Përqindja dhe interesi

\(\displaystyle D=\frac{G\cdot p}{100}\) \(G\) – vlera bazë, \(p\) – përqindja, \(D\) – vlera e përqindjes

\(\displaystyle G\left(1+\frac{p}{100}\right),\quad G\left(1-\frac{p}{100}\right)\) rritja dhe zvogëlimi për \(p\%\)

\(\displaystyle G=\frac{100\,(G+D)}{100+p}\) mbi njëqind: dihet vlera e rritur \(G+D\)

\(\displaystyle G=\frac{100\,(G-D)}{100-p}\) nën njëqind: dihet vlera e zvogëluar \(G-D\)

\(\displaystyle I=\frac{K\cdot p\cdot t}{100},\quad I=\frac{K\cdot p\cdot m}{1200},\quad I=\frac{K\cdot p\cdot d}{36500}\) interesi i thjeshtë: \(K\) – kryegjëja, \(p\) – norma vjetore e interesit, \(t\) vite, \(m\) muaj, \(d\) ditë

\(\displaystyle K_n=K\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\) interesi i përbërë pas \(n\) vitesh

Fuqitë

\(\displaystyle a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad a^m:a^n=a^{m-n}\)

\(\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\)

\(\displaystyle (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\quad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)

\(\displaystyle a^0=1,\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) për \(a\neq 0\)

\(\displaystyle (-a)^{2n}=a^{2n},\quad (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}\)

Formulat e shumëzimit të shkurtuar

\(\displaystyle (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\)

\(\displaystyle (a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\)

\(\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\(\displaystyle a^3\pm b^3=(a\pm b)\left(a^2\mp ab+b^2\right)\)

\(\displaystyle (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

Thyesat algjebrike

\(\displaystyle \frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm bc}{bd}\)

\(\displaystyle \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},\quad \frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc}\)

Është e përkufizuar kur emëruesi është i ndryshëm nga zero.

Ekuacioni dhe inekuacioni linear

\(\displaystyle ax=b,\ a\neq0\ \Rightarrow\ x=\frac ba\) një zgjidhje

\(\displaystyle a=0,\ b=0\) çdo \(x\) është zgjidhje

\(\displaystyle a=0,\ b\neq0\) nuk ka zgjidhje

\(\displaystyle a<b,\ c<0\ \Rightarrow\ a\cdot c>b\cdot c\) kur shumëzojmë ose pjesëtojmë me numër negativ, shenja e inekuacionit ndryshon

Funksioni linear

\(\displaystyle y=kx+n\) \(k\) – koeficienti i drejtimit, \(n\) – prerja me boshtin \(y\)

\(\displaystyle x_0=-\frac nk\) zeroja e funksionit; prerjet me boshtet \((x_0,0)\) dhe \((0,n)\)

\(\displaystyle k>0\) rritet; \(k<0\) – zvogëlohet; \(k=0\) – konstant

\(\displaystyle k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\quad y-y_1=k(x-x_1)\) drejtëza nëpër dy pika

\(\displaystyle k_1=k_2\) drejtëza paralele

\(\displaystyle k_1\cdot k_2=-1\) drejtëza pingule

\(\displaystyle \frac xm+\frac yn=1\) trajta segmentore

Sistemi i ekuacioneve lineare

\(\displaystyle \begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)

\(\displaystyle D=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\)

\(\displaystyle D_x=c_1b_2-c_2b_1,\quad D_y=a_1c_2-a_2c_1\)

\(\displaystyle D\neq0:\ x=\frac{D_x}{D},\ y=\frac{D_y}{D}\) një zgjidhje (drejtëzat priten)

\(\displaystyle D=0,\ D_x\neq0\ \vee\ D_y\neq0\) nuk ka zgjidhje (drejtëza paralele)

\(\displaystyle D=D_x=D_y=0\) pafundësisht shumë zgjidhje (drejtëzat përputhen)

Ekuacioni katror

\(\displaystyle ax^2+bx+c=0,\ \ a\neq0\)

\(\displaystyle D=b^2-4ac,\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\) diskriminanta

\(\displaystyle D>0\) dy rrënjë reale të ndryshme; \(D=0\) – një rrënjë reale e dyfishtë \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\); \(D<0\) – dy rrënjë komplekse të konjuguara

\(\displaystyle ax^2+bx=0\ \Rightarrow\ x_1=0,\ x_2=-\frac ba\) ekuacionet jo të plota

\(\displaystyle ax^2+c=0\ \Rightarrow\ x^2=-\frac ca\)

\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) faktorizimi i trinomit

Formulat e Vietës

\(\displaystyle x_1+x_2=-\frac ba,\quad x_1\cdot x_2=\frac ca\)

\(\displaystyle x^2+px+q=0:\ \ x_1+x_2=-p,\ \ x_1x_2=q\)

\(\displaystyle x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2=0\) ekuacioni me rrënjët \(x_1\) dhe \(x_2\)

\(\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)

\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

Funksioni katror

\(\displaystyle y=ax^2+bx+c,\ \ a\neq0\)

\(\displaystyle T\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)\) kulmi i parabolës

\(\displaystyle y=a(x-\alpha)^2+\beta,\quad \alpha=-\frac{b}{2a},\ \beta=-\frac{D}{4a}\) trajta kanonike

\(\displaystyle a>0\) parabola hapet lart, minimumi \(\beta\); \(a<0\) – poshtë, maksimumi \(\beta\)

\(\displaystyle x=\alpha\) boshti i simetrisë; prerja me boshtin \(y\) \((0,c)\)

\(\displaystyle a>0,\ D>0:\ \ ax^2+bx+c<0\ \Leftrightarrow\ x_1<x<x_2\) inekuacioni katror (\(x_1<x_2\)); \(>0\) për \(x<x_1\) ose \(x>x_2\)

\(\displaystyle a>0,\ D<0:\ \ ax^2+bx+c>0\) për çdo \(x\) real

Trekëndëshi

\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^\circ,\quad \alpha_1=\beta+\gamma\) këndi i jashtëm është shuma e dy këndeve të brendshme jo fqinje

\(\displaystyle |a-b|<c<a+b\) mosbarazimi i trekëndëshit

\(\displaystyle L=a+b+c,\quad P=\frac{a\cdot h_a}{2}\)

\(\displaystyle P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\frac{a+b+c}{2}\) formula e Heronit

\(\displaystyle P=\frac{a\cdot b\cdot\sin\gamma}{2}\)

\(\displaystyle r=\frac Ps,\quad R=\frac{abc}{4P}\) rrezja e rrethit të brendashkruar dhe të jashtëshkruar

Trekëndëshi kënddrejtë dhe barabrinjës

\(\displaystyle c^2=a^2+b^2\) teorema e Pitagorës (\(c\) – hipotenuza)

\(\displaystyle P=\frac{a\cdot b}{2},\quad h_c=\frac{a\cdot b}{c}\)

\(\displaystyle a^2=c\cdot p,\quad b^2=c\cdot q,\quad h_c^2=p\cdot q\) \(p, q\) – projeksionet e kateteve mbi hipotenuzë

\(\displaystyle R=\frac c2,\quad r=\frac{a+b-c}{2}\)

\(\displaystyle h=\frac{a\sqrt3}{2},\quad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\) trekëndëshi barabrinjës

\(\displaystyle R=\frac{a\sqrt3}{3},\quad r=\frac{a\sqrt3}{6}\)

Katërkëndëshat

\(\displaystyle L=4a,\quad P=a^2,\quad d=a\sqrt2\) katrori

\(\displaystyle L=2(a+b),\quad P=a\cdot b,\quad d=\sqrt{a^2+b^2}\) drejtkëndëshi

\(\displaystyle L=2(a+b),\quad P=a\cdot h_a=b\cdot h_b\) paralelogrami (romboidi)

\(\displaystyle L=4a,\quad P=a\cdot h=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\) rombi

\(\displaystyle P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=m\cdot h,\quad m=\frac{a+b}{2}\) trapezi (\(m\) – vija e mesme)

\(\displaystyle P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\) deltoidi dhe çdo katërkëndësh me diagonale pingule

\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ\) trapezoidi: syprina gjendet duke e ndarë me diagonale në dy trekëndësha

Shumëkëndëshat

\(\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ\) shuma e këndeve të brendshme; shuma e të jashtmeve është \(360^\circ\)

\(\displaystyle D_n=\frac{n(n-3)}{2}\) numri i diagonaleve; nga një kulm \(n-3\)

\(\displaystyle \alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n},\quad \varphi=\frac{360^\circ}{n}\) shumëkëndëshi i rregullt: këndi i brendshëm dhe qendror

\(\displaystyle P=\frac{n\cdot a\cdot r}{2}\) \(r\) – rrezja e rrethit të brendashkruar

\(\displaystyle P=\frac{3a^2\sqrt3}{2},\quad R=a\) gjashtëkëndëshi i rregullt

Rrethi dhe qarku

\(\displaystyle L=2r\pi,\quad P=r^2\pi\)

\(\displaystyle l=\frac{r\pi\alpha}{180^\circ}\) gjatësia e harkut

\(\displaystyle P_i=\frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ}=\frac{l\cdot r}{2}\) sektori qarkor

\(\displaystyle P_o=P_i-P_\triangle\) segmenti qarkor

\(\displaystyle P=(R^2-r^2)\pi\) unaza rrethore

\(\displaystyle \alpha=\frac{\varphi}{2}\) këndi periferik është gjysma e këndit qendror mbi të njëjtin hark; mbi diametër është \(90^\circ\)

Vektorët

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)\) për \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)

\(\displaystyle |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) intensiteti (gjatësia)

\(\displaystyle \vec a\pm\vec b=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2),\quad k\vec a=(ka_1,\ ka_2)\)

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\) rregulla e trekëndëshit; vektori i kundërt

\(\displaystyle \vec a=k\cdot\vec b\) vektorë kolinearë

\(\displaystyle d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) largësia ndërmjet dy pikave

\(\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) mesi i segmentit

Prizmi

\(\displaystyle P=2B+M,\quad V=B\cdot H\)

\(\displaystyle P=6a^2,\quad V=a^3,\quad D=a\sqrt3\) kubi

\(\displaystyle P=2(ab+bc+ca),\quad V=abc,\quad D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) kuboidi

Piramida

\(\displaystyle P=B+M,\quad V=\frac{B\cdot H}{3}\)

\(\displaystyle M=\frac{n\cdot a\cdot h}{2}\) piramida e rregullt (\(h\) – apotema)

\(\displaystyle P=B_1+B_2+M,\quad V=\frac H3\left(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)\) piramida e cunguar

Cilindri dhe koni

\(\displaystyle M=2r\pi H,\quad P=2r\pi(r+H),\quad V=r^2\pi H\) cilindri; barabrinjës: \(H=2r\)

\(\displaystyle s^2=r^2+H^2,\quad M=r\pi s\) koni

\(\displaystyle P=r\pi(r+s),\quad V=\frac{r^2\pi H}{3}\)

\(\displaystyle s^2=H^2+(R-r)^2,\quad M=\pi s(R+r)\) koni i cunguar

\(\displaystyle P=\pi\left(R^2+r^2+s(R+r)\right),\quad V=\frac{\pi H}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\)

Sfera

\(\displaystyle P=4R^2\pi,\quad V=\frac{4R^3\pi}{3}\)

\(\displaystyle P=2R\pi h\) kalota dhe zona sferike (\(h\) – lartësia)

\(\displaystyle V=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}\) segmenti sferik

\(\displaystyle V=\frac{2R^2\pi h}{3}\) sektori sferik

\(\displaystyle \rho=\sqrt{R^2-d^2}\) rrezja e prerjes me rrafsh në largësi \(d\) nga qendra

Trekëndëshi kënddrejtë

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac ac,\quad \cos\alpha=\frac bc\)

\(\displaystyle \operatorname{tg} \alpha=\frac ab,\quad \operatorname{ctg} \alpha=\frac ba\) \(a\) – kateti përballë, \(b\) – kateti anësor, \(c\) – hipotenuza

\(\displaystyle \alpha_{\text{rad}}=\frac{\alpha^\circ\cdot\pi}{180^\circ},\quad 180^\circ=\pi\) gradët dhe radianët

Identitetet

\(\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\displaystyle \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

\(\displaystyle \operatorname{tg} \alpha\cdot \operatorname{ctg} \alpha=1\)

\(\displaystyle 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\quad 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}\)

\(\displaystyle \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\) këndet komplementare

\(\displaystyle \operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg} \alpha,\quad \operatorname{ctg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{tg} \alpha\)

Vlerat