Формули за матура по математика

Логички операции

\(\top\) – точно, \(\bot\) – неточно

Логички закони

\(\displaystyle \neg(\neg p)\Leftrightarrow p\) двојна негација

\(\displaystyle \neg(p\wedge q)\Leftrightarrow \neg p\vee\neg q\) Де Морганови закони

\(\displaystyle \neg(p\vee q)\Leftrightarrow \neg p\wedge\neg q\)

\(\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(\neg p\vee q)\) замена на импликацијата

\(\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(\neg q\Rightarrow\neg p)\) контрапозиција

\(\displaystyle p\vee\neg p\) исклучување на третото

\(\displaystyle \neg(p\wedge\neg p)\) непротивречност

\(\displaystyle p\wedge q\Leftrightarrow q\wedge p,\quad p\vee q\Leftrightarrow q\vee p\) комутативен закон

\(\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\Leftrightarrow p\wedge(q\wedge r)\) асоцијативен закон (исто и за \(\vee\))

\(\displaystyle p\wedge(q\vee r)\Leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p\wedge r)\) дистрибутивни закони

\(\displaystyle p\vee(q\wedge r)\Leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p\vee r)\)

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge p\big)\Rightarrow q\) модус поненс

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge\neg q\big)\Rightarrow\neg p\) модус толенс

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge(q\Rightarrow r)\big)\Rightarrow(p\Rightarrow r)\) хипотетички силогизам

Множества

\(\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}\) унија

\(\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}\) пресек

\(\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}\) разлика

\(\displaystyle A'=U\setminus A\) комплемент

\(\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B',\quad (A\cap B)'=A'\cup B'\) Де Морганови закони

\(\displaystyle A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)

\(\displaystyle A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)

\(\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) број на елементи

\(\displaystyle 2^n\) подмножества на множество со \(n\) елементи

Броеви и деливост

\(\displaystyle \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C\)

\(\displaystyle \mathbb Q=\left\{\tfrac mn\;\middle|\; m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\right\}\)

\(\displaystyle \text{НЗД}(a,b)\cdot \text{НЗС}(a,b)=a\cdot b\)

Деливост: со 2 – последната цифра е парна; со 3 (9) – збирот на цифрите се дели со 3 (9); со 4 – бројот од последните две цифри се дели со 4; со 5 – завршува на 0 или 5; со 10 – завршува на 0.

Апсолутна вредност и интервали

\(\displaystyle |x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x<0\end{cases}\)

\(\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot|b|,\quad \left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}\)

\(\displaystyle |x|<a\ \Leftrightarrow\ -a<x<a\) за \(a>0\)

\(\displaystyle |x|>a\ \Leftrightarrow\ x<-a\ \vee\ x>a\) за \(a>0\)

\(\displaystyle d(A,B)=|b-a|\) растојание меѓу точките \(A(a)\) и \(B(b)\) на бројната права

\(\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\},\quad [a,b]=\{x\mid a\le x\le b\}\)

\(\displaystyle [a,b)=\{x\mid a\le x<b\},\quad (a,+\infty)=\{x\mid x>a\}\)

Корени

\(\displaystyle \sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\quad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\)

\(\displaystyle \left(\sqrt a\right)^2=a,\quad \sqrt{a^2}=|a|\)

\(\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\)

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a},\quad \frac{1}{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}\) рационализација

Комплексни броеви

\(\displaystyle i^2=-1,\quad z=a+bi,\quad a=\operatorname{Re}z,\ b=\operatorname{Im}z\) реален и имагинарен дел

\(\displaystyle \bar z=a-bi,\quad -z=-a-bi\) конјугиран и спротивен број

\(\displaystyle a+bi=c+di\ \Leftrightarrow\ a=c\ \wedge\ b=d\)

\(\displaystyle (a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i\)

\(\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

\(\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)

\(\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad z\cdot\bar z=|z|^2\) модул

\(\displaystyle i^{4k}=1,\ \ i^{4k+1}=i,\ \ i^{4k+2}=-1,\ \ i^{4k+3}=-i\)

Бројот \(z=a+bi\) е точката \((a,b)\) во комплексната рамнина.

Пропорции

\(\displaystyle a:b=c:d\ \Leftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c\)

\(\displaystyle x:y:z=a:b:c\ \Rightarrow\ x=ak,\ y=bk,\ z=ck\) продолжена пропорција

\(\displaystyle y=k\cdot x\quad\left(\tfrac yx=k\right)\) правa пропорционалност

\(\displaystyle y=\frac kx\quad(x\cdot y=k)\) обратна пропорционалност

\(\displaystyle k=\frac{S}{a+b+c}\) делбена сметка: \(S\) се дели во однос \(a:b:c\) на делови \(ak, bk, ck\)

Процентна и каматна сметка

\(\displaystyle D=\frac{G\cdot p}{100}\) \(G\) – главнина (основна вредност), \(p\) – процент, \(D\) – процентен износ

\(\displaystyle G\left(1+\frac{p}{100}\right),\quad G\left(1-\frac{p}{100}\right)\) зголемување и намалување за \(p\%\)

\(\displaystyle G=\frac{100\,(G+D)}{100+p}\) над сто: позната е зголемената вредност \(G+D\)

\(\displaystyle G=\frac{100\,(G-D)}{100-p}\) под сто: позната е намалената вредност \(G-D\)

\(\displaystyle I=\frac{K\cdot p\cdot t}{100},\quad I=\frac{K\cdot p\cdot m}{1200},\quad I=\frac{K\cdot p\cdot d}{36500}\) проста камата: \(K\) – главнина, \(p\) – годишна каматна стапка, \(t\) години, \(m\) месеци, \(d\) денови

\(\displaystyle K_n=K\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\) сложена камата по \(n\) години

Степени

\(\displaystyle a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad a^m:a^n=a^{m-n}\)

\(\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\)

\(\displaystyle (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\quad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)

\(\displaystyle a^0=1,\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) за \(a\neq 0\)

\(\displaystyle (-a)^{2n}=a^{2n},\quad (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}\)

Формули за скратено множење

\(\displaystyle (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\)

\(\displaystyle (a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\)

\(\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\(\displaystyle a^3\pm b^3=(a\pm b)\left(a^2\mp ab+b^2\right)\)

\(\displaystyle (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

Алгебарски дропки

\(\displaystyle \frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm bc}{bd}\)

\(\displaystyle \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},\quad \frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc}\)

Дефинирана е кога именителот е различен од нула.

Линеарна равенка и неравенка

\(\displaystyle ax=b,\ a\neq0\ \Rightarrow\ x=\frac ba\) едно решение

\(\displaystyle a=0,\ b=0\) секој \(x\) е решение

\(\displaystyle a=0,\ b\neq0\) нема решение

\(\displaystyle a<b,\ c<0\ \Rightarrow\ a\cdot c>b\cdot c\) при множење или делење со негативен број знакот на неравенката се менува

Линеарна функција

\(\displaystyle y=kx+n\) \(k\) – коефициент на правецот, \(n\) – одсечок на \(y\)-оската

\(\displaystyle x_0=-\frac nk\) нула на функцијата; пресеци со оските \((x_0,0)\) и \((0,n)\)

\(\displaystyle k>0\) расте; \(k<0\) – опаѓа; \(k=0\) – константна

\(\displaystyle k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\quad y-y_1=k(x-x_1)\) права низ две точки

\(\displaystyle k_1=k_2\) паралелни прави

\(\displaystyle k_1\cdot k_2=-1\) нормални прави

\(\displaystyle \frac xm+\frac yn=1\) сегментен облик

Систем линеарни равенки

\(\displaystyle \begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)

\(\displaystyle D=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\)

\(\displaystyle D_x=c_1b_2-c_2b_1,\quad D_y=a_1c_2-a_2c_1\)

\(\displaystyle D\neq0:\ x=\frac{D_x}{D},\ y=\frac{D_y}{D}\) едно решение (правите се сечат)

\(\displaystyle D=0,\ D_x\neq0\ \vee\ D_y\neq0\) нема решение (паралелни прави)

\(\displaystyle D=D_x=D_y=0\) бесконечно многу решенија (правите се совпаѓаат)

Квадратна равенка

\(\displaystyle ax^2+bx+c=0,\ \ a\neq0\)

\(\displaystyle D=b^2-4ac,\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\) дискриминанта

\(\displaystyle D>0\) два различни реални корени; \(D=0\) – еден двоен реален корен \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\); \(D<0\) – два конјугирано комплексни корени

\(\displaystyle ax^2+bx=0\ \Rightarrow\ x_1=0,\ x_2=-\frac ba\) неполни равенки

\(\displaystyle ax^2+c=0\ \Rightarrow\ x^2=-\frac ca\)

\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) разложување на трином

Виетови формули

\(\displaystyle x_1+x_2=-\frac ba,\quad x_1\cdot x_2=\frac ca\)

\(\displaystyle x^2+px+q=0:\ \ x_1+x_2=-p,\ \ x_1x_2=q\)

\(\displaystyle x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2=0\) равенка со корени \(x_1\) и \(x_2\)

\(\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)

\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

Квадратна функција

\(\displaystyle y=ax^2+bx+c,\ \ a\neq0\)

\(\displaystyle T\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)\) теме на параболата

\(\displaystyle y=a(x-\alpha)^2+\beta,\quad \alpha=-\frac{b}{2a},\ \beta=-\frac{D}{4a}\) каноничен вид

\(\displaystyle a>0\) параболата е отворена нагоре, минимум \(\beta\); \(a<0\) – надолу, максимум \(\beta\)

\(\displaystyle x=\alpha\) оска на симетрија; пресек со \(y\)-оската \((0,c)\)

\(\displaystyle a>0,\ D>0:\ \ ax^2+bx+c<0\ \Leftrightarrow\ x_1<x<x_2\) квадратна неравенка (\(x_1<x_2\)); \(>0\) за \(x<x_1\) или \(x>x_2\)

\(\displaystyle a>0,\ D<0:\ \ ax^2+bx+c>0\) за секој реален \(x\)

Триаголник

\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^\circ,\quad \alpha_1=\beta+\gamma\) надворешниот агол е збир од двата несоседни внатрешни агли

\(\displaystyle |a-b|<c<a+b\) неравенство на триаголник

\(\displaystyle L=a+b+c,\quad P=\frac{a\cdot h_a}{2}\)

\(\displaystyle P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\frac{a+b+c}{2}\) Херонова формула

\(\displaystyle P=\frac{a\cdot b\cdot\sin\gamma}{2}\)

\(\displaystyle r=\frac Ps,\quad R=\frac{abc}{4P}\) радиус на впишана и опишана кружница

Правоаголен и рамностран триаголник

\(\displaystyle c^2=a^2+b^2\) Питагорова теорема (\(c\) – хипотенуза)

\(\displaystyle P=\frac{a\cdot b}{2},\quad h_c=\frac{a\cdot b}{c}\)

\(\displaystyle a^2=c\cdot p,\quad b^2=c\cdot q,\quad h_c^2=p\cdot q\) \(p, q\) – проекции на катетите врз хипотенузата

\(\displaystyle R=\frac c2,\quad r=\frac{a+b-c}{2}\)

\(\displaystyle h=\frac{a\sqrt3}{2},\quad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\) рамностран триаголник

\(\displaystyle R=\frac{a\sqrt3}{3},\quad r=\frac{a\sqrt3}{6}\)

Четириаголници

\(\displaystyle L=4a,\quad P=a^2,\quad d=a\sqrt2\) квадрат

\(\displaystyle L=2(a+b),\quad P=a\cdot b,\quad d=\sqrt{a^2+b^2}\) правоаголник

\(\displaystyle L=2(a+b),\quad P=a\cdot h_a=b\cdot h_b\) паралелограм (ромбоид)

\(\displaystyle L=4a,\quad P=a\cdot h=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\) ромб

\(\displaystyle P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=m\cdot h,\quad m=\frac{a+b}{2}\) трапез (\(m\) – средна линија)

\(\displaystyle P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\) делтоид и секој четириаголник со нормални дијагонали

\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ\) трапезоид: плоштината се наоѓа со делење со дијагонала на два триаголника

Многуаголници

\(\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ\) збир на внатрешните агли; збирот на надворешните е \(360^\circ\)

\(\displaystyle D_n=\frac{n(n-3)}{2}\) број на дијагонали; од едно теме \(n-3\)

\(\displaystyle \alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n},\quad \varphi=\frac{360^\circ}{n}\) правилен многуаголник: внатрешен и централен агол

\(\displaystyle P=\frac{n\cdot a\cdot r}{2}\) \(r\) – радиус на впишаната кружница

\(\displaystyle P=\frac{3a^2\sqrt3}{2},\quad R=a\) правилен шестаголник

Круг и кружница

\(\displaystyle L=2r\pi,\quad P=r^2\pi\)

\(\displaystyle l=\frac{r\pi\alpha}{180^\circ}\) должина на кружен лак

\(\displaystyle P_i=\frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ}=\frac{l\cdot r}{2}\) кружен исечок

\(\displaystyle P_o=P_i-P_\triangle\) кружен отсечок

\(\displaystyle P=(R^2-r^2)\pi\) кружен прстен

\(\displaystyle \alpha=\frac{\varphi}{2}\) периферен агол е половина од централниот над ист лак; периферен агол над дијаметар е \(90^\circ\)

Вектори

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)\) за \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)

\(\displaystyle |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) интензитет (должина)

\(\displaystyle \vec a\pm\vec b=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2),\quad k\vec a=(ka_1,\ ka_2)\)

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\) правило на триаголник; спротивен вектор

\(\displaystyle \vec a=k\cdot\vec b\) колинеарни вектори

\(\displaystyle d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) растојание меѓу две точки

\(\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) средина на отсечка

Призма

\(\displaystyle P=2B+M,\quad V=B\cdot H\)

\(\displaystyle P=6a^2,\quad V=a^3,\quad D=a\sqrt3\) коцка

\(\displaystyle P=2(ab+bc+ca),\quad V=abc,\quad D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) квадар

Пирамида

\(\displaystyle P=B+M,\quad V=\frac{B\cdot H}{3}\)

\(\displaystyle M=\frac{n\cdot a\cdot h}{2}\) правилна пирамида (\(h\) – апотема)

\(\displaystyle P=B_1+B_2+M,\quad V=\frac H3\left(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)\) потсечена пирамида

Цилиндар и конус

\(\displaystyle M=2r\pi H,\quad P=2r\pi(r+H),\quad V=r^2\pi H\) цилиндар; рамностран: \(H=2r\)

\(\displaystyle s^2=r^2+H^2,\quad M=r\pi s\) конус

\(\displaystyle P=r\pi(r+s),\quad V=\frac{r^2\pi H}{3}\)

\(\displaystyle s^2=H^2+(R-r)^2,\quad M=\pi s(R+r)\) потсечен конус

\(\displaystyle P=\pi\left(R^2+r^2+s(R+r)\right),\quad V=\frac{\pi H}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\)

Топка

\(\displaystyle P=4R^2\pi,\quad V=\frac{4R^3\pi}{3}\)

\(\displaystyle P=2R\pi h\) калота и сферен појас (\(h\) – висина)

\(\displaystyle V=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}\) топкин отсечок

\(\displaystyle V=\frac{2R^2\pi h}{3}\) топкин исечок

\(\displaystyle \rho=\sqrt{R^2-d^2}\) радиус на пресекот со рамнина на растојание \(d\) од центарот

Правоаголен триаголник

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac ac,\quad \cos\alpha=\frac bc\)

\(\displaystyle \operatorname{tg} \alpha=\frac ab,\quad \operatorname{ctg} \alpha=\frac ba\) \(a\) – спротивна катета, \(b\) – прилежна катета, \(c\) – хипотенуза

\(\displaystyle \alpha_{\text{rad}}=\frac{\alpha^\circ\cdot\pi}{180^\circ},\quad 180^\circ=\pi\) степени и радијани

Идентитети

\(\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\displaystyle \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

\(\displaystyle \operatorname{tg} \alpha\cdot \operatorname{ctg} \alpha=1\)

\(\displaystyle 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\quad 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}\)

\(\displaystyle \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\) комплементни агли

\(\displaystyle \operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg} \alpha,\quad \operatorname{ctg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{tg} \alpha\)

Вредности