Matematik maturası için formüller

Mantık işlemleri

\(\top\) – doğru, \(\bot\) – yanlış

Mantık kuralları

\(\displaystyle \neg(\neg p)\Leftrightarrow p\) çift olumsuzlama

\(\displaystyle \neg(p\wedge q)\Leftrightarrow \neg p\vee\neg q\) De Morgan kuralları

\(\displaystyle \neg(p\vee q)\Leftrightarrow \neg p\wedge\neg q\)

\(\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(\neg p\vee q)\) koşullu önermenin yerine yazılması

\(\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(\neg q\Rightarrow\neg p)\) karşıt ters

\(\displaystyle p\vee\neg p\) üçüncü halin olanaksızlığı

\(\displaystyle \neg(p\wedge\neg p)\) çelişmezlik

\(\displaystyle p\wedge q\Leftrightarrow q\wedge p,\quad p\vee q\Leftrightarrow q\vee p\) değişme özelliği

\(\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\Leftrightarrow p\wedge(q\wedge r)\) birleşme özelliği (\(\vee\) için de)

\(\displaystyle p\wedge(q\vee r)\Leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p\wedge r)\) dağılma özellikleri

\(\displaystyle p\vee(q\wedge r)\Leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p\vee r)\)

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge p\big)\Rightarrow q\) modus ponens

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge\neg q\big)\Rightarrow\neg p\) modus tollens

\(\displaystyle \big((p\Rightarrow q)\wedge(q\Rightarrow r)\big)\Rightarrow(p\Rightarrow r)\) hipotetik kıyas

Kümeler

\(\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}\) birleşim

\(\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}\) kesişim

\(\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}\) fark

\(\displaystyle A'=U\setminus A\) tümleyen

\(\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B',\quad (A\cap B)'=A'\cup B'\) De Morgan kuralları

\(\displaystyle A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)

\(\displaystyle A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)

\(\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) eleman sayısı

\(\displaystyle 2^n\) \(n\) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı

Sayılar ve bölünebilme

\(\displaystyle \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C\)

\(\displaystyle \mathbb Q=\left\{\tfrac mn\;\middle|\; m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\right\}\)

\(\displaystyle \text{EBOB}(a,b)\cdot \text{EKOK}(a,b)=a\cdot b\)

Bölünebilme: 2 ile – son basamak çift; 3 (9) ile – rakamların toplamı 3’e (9’a) bölünür; 4 ile – son iki basamağın oluşturduğu sayı 4’e bölünür; 5 ile – 0 veya 5 ile biter; 10 ile – 0 ile biter.

Mutlak değer ve aralıklar

\(\displaystyle |x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x<0\end{cases}\)

\(\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot|b|,\quad \left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}\)

\(\displaystyle |x|<a\ \Leftrightarrow\ -a<x<a\) \(a>0\) için

\(\displaystyle |x|>a\ \Leftrightarrow\ x<-a\ \vee\ x>a\) \(a>0\) için

\(\displaystyle d(A,B)=|b-a|\) sayı doğrusunda \(A(a)\) ve \(B(b)\) noktaları arasındaki uzaklık

\(\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\},\quad [a,b]=\{x\mid a\le x\le b\}\)

\(\displaystyle [a,b)=\{x\mid a\le x<b\},\quad (a,+\infty)=\{x\mid x>a\}\)

Kökler

\(\displaystyle \sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\quad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\)

\(\displaystyle \left(\sqrt a\right)^2=a,\quad \sqrt{a^2}=|a|\)

\(\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\)

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a},\quad \frac{1}{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}\) paydayı rasyonel yapma

Karmaşık sayılar

\(\displaystyle i^2=-1,\quad z=a+bi,\quad a=\operatorname{Re}z,\ b=\operatorname{Im}z\) reel ve sanal kısım

\(\displaystyle \bar z=a-bi,\quad -z=-a-bi\) eşlenik ve ters işaretli sayı

\(\displaystyle a+bi=c+di\ \Leftrightarrow\ a=c\ \wedge\ b=d\)

\(\displaystyle (a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i\)

\(\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

\(\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)

\(\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad z\cdot\bar z=|z|^2\) modül

\(\displaystyle i^{4k}=1,\ \ i^{4k+1}=i,\ \ i^{4k+2}=-1,\ \ i^{4k+3}=-i\)

\(z=a+bi\) sayısı karmaşık düzlemde \((a,b)\) noktasıdır.

Orantı

\(\displaystyle a:b=c:d\ \Leftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c\)

\(\displaystyle x:y:z=a:b:c\ \Rightarrow\ x=ak,\ y=bk,\ z=ck\) bileşik orantı

\(\displaystyle y=k\cdot x\quad\left(\tfrac yx=k\right)\) doğru orantı

\(\displaystyle y=\frac kx\quad(x\cdot y=k)\) ters orantı

\(\displaystyle k=\frac{S}{a+b+c}\) orantılı bölme: \(S\), \(a:b:c\) oranında \(ak, bk, ck\) parçalarına bölünür

Yüzde ve faiz

\(\displaystyle D=\frac{G\cdot p}{100}\) \(G\) – ana değer, \(p\) – yüzde, \(D\) – yüzde tutarı

\(\displaystyle G\left(1+\frac{p}{100}\right),\quad G\left(1-\frac{p}{100}\right)\) \(p\%\) artış ve azalış

\(\displaystyle G=\frac{100\,(G+D)}{100+p}\) yüzün üstü: artmış değer \(G+D\) bilinir

\(\displaystyle G=\frac{100\,(G-D)}{100-p}\) yüzün altı: azalmış değer \(G-D\) bilinir

\(\displaystyle I=\frac{K\cdot p\cdot t}{100},\quad I=\frac{K\cdot p\cdot m}{1200},\quad I=\frac{K\cdot p\cdot d}{36500}\) basit faiz: \(K\) – ana para, \(p\) – yıllık faiz oranı, \(t\) yıl, \(m\) ay, \(d\) gün

\(\displaystyle K_n=K\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\) \(n\) yıl sonra bileşik faiz

Üslü ifadeler

\(\displaystyle a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad a^m:a^n=a^{m-n}\)

\(\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\)

\(\displaystyle (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\quad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)

\(\displaystyle a^0=1,\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) \(a\neq 0\) için

\(\displaystyle (-a)^{2n}=a^{2n},\quad (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}\)

Özdeşlikler

\(\displaystyle (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\)

\(\displaystyle (a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\)

\(\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\(\displaystyle a^3\pm b^3=(a\pm b)\left(a^2\mp ab+b^2\right)\)

\(\displaystyle (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

Rasyonel ifadeler

\(\displaystyle \frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm bc}{bd}\)

\(\displaystyle \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},\quad \frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc}\)

Payda sıfırdan farklı olduğunda tanımlıdır.

Doğrusal denklem ve eşitsizlik

\(\displaystyle ax=b,\ a\neq0\ \Rightarrow\ x=\frac ba\) tek çözüm

\(\displaystyle a=0,\ b=0\) her \(x\) çözümdür

\(\displaystyle a=0,\ b\neq0\) çözüm yok

\(\displaystyle a<b,\ c<0\ \Rightarrow\ a\cdot c>b\cdot c\) negatif bir sayıyla çarpınca veya bölünce eşitsizlik yön değiştirir

Doğrusal fonksiyon

\(\displaystyle y=kx+n\) \(k\) – eğim, \(n\) – \(y\)-eksenini kestiği değer

\(\displaystyle x_0=-\frac nk\) fonksiyonun sıfırı; eksenleri kestiği noktalar \((x_0,0)\) ve \((0,n)\)

\(\displaystyle k>0\) artan; \(k<0\) – azalan; \(k=0\) – sabit

\(\displaystyle k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\quad y-y_1=k(x-x_1)\) iki noktadan geçen doğru

\(\displaystyle k_1=k_2\) paralel doğrular

\(\displaystyle k_1\cdot k_2=-1\) dik doğrular

\(\displaystyle \frac xm+\frac yn=1\) eksen parçaları biçimi

Doğrusal denklem sistemi

\(\displaystyle \begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)

\(\displaystyle D=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\)

\(\displaystyle D_x=c_1b_2-c_2b_1,\quad D_y=a_1c_2-a_2c_1\)

\(\displaystyle D\neq0:\ x=\frac{D_x}{D},\ y=\frac{D_y}{D}\) tek çözüm (doğrular kesişir)

\(\displaystyle D=0,\ D_x\neq0\ \vee\ D_y\neq0\) çözüm yok (paralel doğrular)

\(\displaystyle D=D_x=D_y=0\) sonsuz çözüm (doğrular çakışık)

İkinci dereceden denklem

\(\displaystyle ax^2+bx+c=0,\ \ a\neq0\)

\(\displaystyle D=b^2-4ac,\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\) diskriminant

\(\displaystyle D>0\) iki farklı reel kök; \(D=0\) – çift katlı reel kök \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\); \(D<0\) – iki eşlenik karmaşık kök

\(\displaystyle ax^2+bx=0\ \Rightarrow\ x_1=0,\ x_2=-\frac ba\) eksik denklemler

\(\displaystyle ax^2+c=0\ \Rightarrow\ x^2=-\frac ca\)

\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) üç terimlinin çarpanlara ayrılması

Vieta formülleri

\(\displaystyle x_1+x_2=-\frac ba,\quad x_1\cdot x_2=\frac ca\)

\(\displaystyle x^2+px+q=0:\ \ x_1+x_2=-p,\ \ x_1x_2=q\)

\(\displaystyle x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2=0\) kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) olan denklem

\(\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)

\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

İkinci dereceden fonksiyon

\(\displaystyle y=ax^2+bx+c,\ \ a\neq0\)

\(\displaystyle T\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)\) parabolün tepe noktası

\(\displaystyle y=a(x-\alpha)^2+\beta,\quad \alpha=-\frac{b}{2a},\ \beta=-\frac{D}{4a}\) kanonik biçim

\(\displaystyle a>0\) parabol yukarı açılır, en küçük değer \(\beta\); \(a<0\) – aşağı, en büyük değer \(\beta\)

\(\displaystyle x=\alpha\) simetri ekseni; \(y\)-eksenini kestiği nokta \((0,c)\)

\(\displaystyle a>0,\ D>0:\ \ ax^2+bx+c<0\ \Leftrightarrow\ x_1<x<x_2\) ikinci dereceden eşitsizlik (\(x_1<x_2\)); \(x<x_1\) veya \(x>x_2\) için \(>0\)

\(\displaystyle a>0,\ D<0:\ \ ax^2+bx+c>0\) her reel \(x\) için

Üçgen

\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^\circ,\quad \alpha_1=\beta+\gamma\) dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır

\(\displaystyle |a-b|<c<a+b\) üçgen eşitsizliği

\(\displaystyle L=a+b+c,\quad P=\frac{a\cdot h_a}{2}\)

\(\displaystyle P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\frac{a+b+c}{2}\) Heron formülü

\(\displaystyle P=\frac{a\cdot b\cdot\sin\gamma}{2}\)

\(\displaystyle r=\frac Ps,\quad R=\frac{abc}{4P}\) iç ve çevrel çemberin yarıçapı

Dik ve eşkenar üçgen

\(\displaystyle c^2=a^2+b^2\) Pisagor teoremi (\(c\) – hipotenüs)

\(\displaystyle P=\frac{a\cdot b}{2},\quad h_c=\frac{a\cdot b}{c}\)

\(\displaystyle a^2=c\cdot p,\quad b^2=c\cdot q,\quad h_c^2=p\cdot q\) \(p, q\) – dik kenarların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri

\(\displaystyle R=\frac c2,\quad r=\frac{a+b-c}{2}\)

\(\displaystyle h=\frac{a\sqrt3}{2},\quad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\) eşkenar üçgen

\(\displaystyle R=\frac{a\sqrt3}{3},\quad r=\frac{a\sqrt3}{6}\)

Dörtgenler

\(\displaystyle L=4a,\quad P=a^2,\quad d=a\sqrt2\) kare

\(\displaystyle L=2(a+b),\quad P=a\cdot b,\quad d=\sqrt{a^2+b^2}\) dikdörtgen

\(\displaystyle L=2(a+b),\quad P=a\cdot h_a=b\cdot h_b\) paralelkenar

\(\displaystyle L=4a,\quad P=a\cdot h=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\) eşkenar dörtgen

\(\displaystyle P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=m\cdot h,\quad m=\frac{a+b}{2}\) yamuk (\(m\) – orta taban)

\(\displaystyle P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\) deltoid ve köşegenleri dik olan her dörtgen

\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ\) genel dörtgen: alan, köşegenle iki üçgene bölünerek bulunur

Çokgenler

\(\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ\) iç açılar toplamı; dış açılar toplamı \(360^\circ\)

\(\displaystyle D_n=\frac{n(n-3)}{2}\) köşegen sayısı; bir köşeden \(n-3\)

\(\displaystyle \alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n},\quad \varphi=\frac{360^\circ}{n}\) düzgün çokgen: iç açı ve merkez açı

\(\displaystyle P=\frac{n\cdot a\cdot r}{2}\) \(r\) – iç teğet çemberin yarıçapı

\(\displaystyle P=\frac{3a^2\sqrt3}{2},\quad R=a\) düzgün altıgen

Daire ve çember

\(\displaystyle L=2r\pi,\quad P=r^2\pi\)

\(\displaystyle l=\frac{r\pi\alpha}{180^\circ}\) yay uzunluğu

\(\displaystyle P_i=\frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ}=\frac{l\cdot r}{2}\) daire dilimi

\(\displaystyle P_o=P_i-P_\triangle\) daire parçası

\(\displaystyle P=(R^2-r^2)\pi\) daire halkası

\(\displaystyle \alpha=\frac{\varphi}{2}\) çevre açı, aynı yayı gören merkez açının yarısıdır; çapı gören çevre açı \(90^\circ\)

Vektörler

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)\) \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\) için

\(\displaystyle |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) uzunluk

\(\displaystyle \vec a\pm\vec b=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2),\quad k\vec a=(ka_1,\ ka_2)\)

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\) üçgen kuralı; ters vektör

\(\displaystyle \vec a=k\cdot\vec b\) doğrusal (paralel) vektörler

\(\displaystyle d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) iki nokta arasındaki uzaklık

\(\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) doğru parçasının orta noktası

Prizma

\(\displaystyle P=2B+M,\quad V=B\cdot H\)

\(\displaystyle P=6a^2,\quad V=a^3,\quad D=a\sqrt3\) küp

\(\displaystyle P=2(ab+bc+ca),\quad V=abc,\quad D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) dikdörtgenler prizması

Piramit

\(\displaystyle P=B+M,\quad V=\frac{B\cdot H}{3}\)

\(\displaystyle M=\frac{n\cdot a\cdot h}{2}\) düzgün piramit (\(h\) – yan yüz yüksekliği)

\(\displaystyle P=B_1+B_2+M,\quad V=\frac H3\left(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)\) kesik piramit

Silindir ve koni

\(\displaystyle M=2r\pi H,\quad P=2r\pi(r+H),\quad V=r^2\pi H\) silindir; eşkenar: \(H=2r\)

\(\displaystyle s^2=r^2+H^2,\quad M=r\pi s\) koni

\(\displaystyle P=r\pi(r+s),\quad V=\frac{r^2\pi H}{3}\)

\(\displaystyle s^2=H^2+(R-r)^2,\quad M=\pi s(R+r)\) kesik koni

\(\displaystyle P=\pi\left(R^2+r^2+s(R+r)\right),\quad V=\frac{\pi H}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\)

Küre

\(\displaystyle P=4R^2\pi,\quad V=\frac{4R^3\pi}{3}\)

\(\displaystyle P=2R\pi h\) küre kapağı ve küre kuşağı (\(h\) – yükseklik)

\(\displaystyle V=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}\) küre parçası

\(\displaystyle V=\frac{2R^2\pi h}{3}\) küre dilimi (sektör)

\(\displaystyle \rho=\sqrt{R^2-d^2}\) merkezden \(d\) uzaklıktaki düzlemle kesitin yarıçapı

Dik üçgen

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac ac,\quad \cos\alpha=\frac bc\)

\(\displaystyle \tan \alpha=\frac ab,\quad \cot \alpha=\frac ba\) \(a\) – karşı dik kenar, \(b\) – komşu dik kenar, \(c\) – hipotenüs

\(\displaystyle \alpha_{\text{rad}}=\frac{\alpha^\circ\cdot\pi}{180^\circ},\quad 180^\circ=\pi\) derece ve radyan

Özdeşlikler

\(\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\displaystyle \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cot \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

\(\displaystyle \tan \alpha\cdot \cot \alpha=1\)

\(\displaystyle 1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\quad 1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}\)

\(\displaystyle \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\) tümler açılar

\(\displaystyle \tan(90^\circ-\alpha)=\cot \alpha,\quad \cot(90^\circ-\alpha)=\tan \alpha\)

Değerler